P(A )1 P(A)
2.2.1. Thiết lập các hoạt động tích cực hóa hoạt động của học sinh đảm bảo cho học sinh nắm vững được kiến thức cơ bản của Tổ hợp xác suất trong chương
học sinh nắm vững được kiến thức cơ bản của Tổ hợp - xác suất trong chương trình mơn Tốn lớp 11 Trung học phổ thơng.
2.2.1.1. Mục đích của biện pháp
Biện pháp này nhằm mục đích giúp HS lĩnh hội một cách hiệu quả các khái niệm, định lí , tính chất tổ hợp xác suất. Trong hoạt động nhận thức tốn học, thơng qua thiết lập các hoạt động tích cực hóa, HS sử dụng để hiểu và ghi nhớ các khái
niệm, các định lý, các tính chất, các quy tắc và làm rõ tính hệ thống của các tri thức đó. Vì thế biện pháp này, khơng chỉ hình thành cho HS một nền tảng kiến thức tốt chuẩn bị cho q trình GQVĐ mà cịn trang bị cho học sinh niềm say mê trong học Toán. Những kiến thức mà HS lĩnh hội đƣợc là nền tảng cơ sở, hỗ trợ q trình tìm hiểu thơng tin, thu thập thơng tin để GQVĐ. Góp phần bồi dƣỡng cho HS khả năng tìm hiểu thơng tin Toán học, thu thập thơng tin Tốn học và lƣu trữ các thông tin Tốn học. Từ đó, phát triển năng lực sử dụng ngơn ngữ, ký hiệu, cơng thức; Năng lực tính tốn, năng lực suy luận và chứng minh.
2.2.1.2. Cơ sở của biện pháp
Ngƣời có năng lực GQVĐ là ngƣời có thể giải quyết thành cơng các vấn đề. Polya cho rằng để một ngƣời GQVĐ thành công điều quan trọng là ngƣời đó phải có cơ sở tri thức tốn học đầy đủ để GQVĐ.
Do đó để góp phần giúp cho HS phát triển năng lực phát hiện và GQVĐ ngƣời GV cần giúp cho HS nắm vững các kiến thức cơ bản về tổ hợp xác suất. Biện pháp này đƣợc xây dựng dựa trên cơ sở việc nắm vững các kiến thức về tổ hợp xác suất là yêu cầu cần phải có để giúp HS giải các bài tốn.
2.2.1.3. Tổ chức thực hiện biện pháp
Với mỗi bài học:
Bước 1: GV phải lựa chọn khái niệm, định lí, quy tắc, phƣơng pháp cần dạy; Bước 2: GV xây dựng các hoạt động cần cho bài học;
Bước 3: GV tổ chức hƣớng dẫn, tổ chức các hoạt động và tập luyện cho HS
lĩnh hội kiến thức;
Bước 4: GV hƣớng dẫn HS hiểu, vận dụng các khái niệm, định lí, quy tắc,
a) Hướng dẫn và tập luyện cho học sinh thực hiện hoạt động một cách tích cực trong học khái niệm
Các hoạt động (HĐ) trong dạy học khái niệm hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp đƣợc xây dựng nhƣ sau:
* Định nghĩa hoán vị
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n1)
Mỗi kết quả của sự sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là 1 hoán vị của n phần tử đó
HĐ1: Gợi động cơ hình thành khái niệm
- Ví dụ: Tổ trƣởng tổ 1 lớp 11A7 phân cơng 6 thành viên của tổ trực vệ sinh tuần . Giả sử mỗi hs trực 1 ngày. Hãy nêu 2 cách sắp xếp phân công trực vệ sinh.
- Từ ví dụ mỗi kết quả của việc phân cơng trực vệ sinh theo thứ tự tên của 6 hs đƣợc gọi là 1 hoán vị tên của 6 HS.
HĐ2: Hình thành khái niệm
- Thơng qua HĐ1 giáo viên yêu cầu một học sinh phát biểu định nghĩa hoán vị. Sau đó giáo viên chính xác hóa: Hốn vị là sắp xếp các phần tử của 1 tập hợp.
HĐ3: Nhận dạng và thể hiện khái niệm hốn vị thơng qua các HĐ củng cố.
- Hãy liệt kê tất cả các số gồm 3 chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3.
- Từ ví dụ và bài tốn trên hãy nêu sự giống và khác nhau của 2 hốn vị bất kì? HS đƣa ra nhận xét.
GV chốt kiến thức:
Nhận xét: hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
- HĐ1 nhằm gợi động cơ tạo điều kiện để học sinh tiếp cận và có những hình dung ban đầu về hốn vị.
- HĐ2 nhằm khơi dậy đồng thời kiểm tra tính đúng đắn q trình tƣ duy đó của học sinh về hốn vị.
- HĐ3 là HĐ củng cố ở mức độ thấp nhất thông qua thao tác thực hành của bản thân ngƣời học.
* Định nghĩa chỉnh hợp
Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử (n1)
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau tử n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo 1 thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho HĐ1: Gợi động cơ hình thành khái niệm
- Ví dụ: Tổ trƣởng tổ 1 lớp 11A7 phân công 5 thành viên của tổ trực vệ sinh tuần . Giả sử mỗi 3 hs trực 1 ngày. Hãy nêu 2 cách sắp xếp phân công trực vệ sinh.
- Từ ví dụ mỗi kết quả của việc phân công trực vệ sinh theo thứ tự trên của 5 hs đƣợc gọi là 1 chỉnh hợp chập 3 của 5 HS.
HĐ2: Hình thành khái niệm
- Thơng qua HĐ1 giáo viên yêu cầu một học sinh phát biểu định nghĩa chỉnh hợp. Sau đó chính xác hóa: Chỉnh hợp là chọn ra k phần tử của n phần tử và sắp xếp các phần tử đó.
HĐ3: Nhận dạng và thể hiện khái niệm chỉnh hợp thông qua các HĐ củng cố.
- Cô phân công 2 em trong 3 em An, Đức, Bình làm lao động, một em tƣới cây, một em vệ sinh lớp. Hỏi thầy có bao nhiêu cách phân cơng nhƣ vậy?
- Thế nào là hai chỉnh hợp khác nhau?
- HĐ1 nhằm gợi động cơ tạo điều kiện để học sinh tiếp cận và có những hình dung ban đầu về chỉnh hợp.
- HĐ2 nhằm khơi dậy đồng thời kiểm tra tính đúng đắn q trình tƣ duy đó của học sinh về chỉnh hợp.
- HĐ3 là HĐ củng cố ở mức độ thấp nhất thông qua thao tác thực hành của bản thân ngƣời học.
* Định nghĩa tổ hợp
Định nghĩa: Gỉả sử tập A có n phần tử (n1). Mỗi tập con có k phần tử của A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử đã cho
HĐ1: Gợi động cơ hình thành khái niệm
- Ví dụ: Cơ phân cơng 2 em trong 3 em Anh, Đức, Bình đi dự thi văn nghệ do Đồn trƣờng tổ chức. Hỏi cơ có bao nhiêu cách phân cơng nhƣ vậy?
- Từ ví dụ mỗi kết quả của việc phân công trên đƣợc gọi là 1 tổ hợp chập 2 của 3 HS.
-Trƣờng hợp khác nếu cô phân công 5 em trong 10 em đi thi văn nghệ thì có liệt kê đƣợc các kết quả có thể khơng? Hoặc cơ phân cơng k em đƣợc chọn trong n em để thi văn nghệ thì làm thế nào?
HĐ2: Hình thành khái niệm
- Thông qua HĐ1 giáo viên yêu cầu một học sinh phát biểu định nghĩa tổ hợp. Sau đó chính xác hóa: Tổ hợp là chọn ra k phần tử của n phần tử và khơng sắp xếp các phần tử đó.
HĐ3: Nhận dạng và thể hiện khái niệm tổ hợp thơng qua các HĐ củng cố.
- Lấy ví dụ về tổ hợp
Giải thích các HĐ trên
- HĐ1 nhằm gợi động cơ tạo điều kiện để học sinh tiếp cận và có những hình dung ban đầu về tổ hợp.
- HĐ2 nhằm khơi dậy đồng thời kiểm tra tính đúng đắn q trình tƣ duy đó của học sinh về tổ hợp.
- HĐ3 là HĐ củng cố ở mức độ thấp nhất thông qua thao tác thực hành của bản thân ngƣời học.
b) Hướng dẫn và tập luyện cho HS hoạt động nhận thức một cách tích cực trong dạy học định lí
Các định lí chƣơng tổ hợp xác suất bao gồm: Định lí số các hốn vị, số các chỉnh hợp, số các tổ hợp, định lí về tính chất xác suất.
* Định lí số các hốn vị
Định lí: Pn n n( 1)...2.1
HĐ1: Hình thành định lí
- Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp các bạn An, Bình, Chi, Dung ngồi vào cùng một bàn bốn chỗ? (GV hƣớng dẫn HS thực hiện theo 2 cách: cách 1 liệt kê các phần tử và cách hai sử dụng quy tắc nhân).
- Từ ví dụ về số cách sắp xếp bốn bạn ngồi cùng bàn ta có định lí: Pn n n( 1)...2.1
Pn: là số các hốn vị của n phần tử.
HĐ2: Chứng minh định lí
- Thông qua HĐ1 GV yêu cầu HS nhắc lại cách tìm số các hốn vị của 4 phần tử, sau đó sử dụng thao tác trí tuệ khái qt hóa từ 2 hoặc 3 trƣờng hợp cụ thể để dẫn đến cách chứng minh định lí theo quy tắc nhân.
HĐ3: Củng cố định lí
- Lấy ví dụ: cho các số 1;2;3;4;5;6 có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số từ các số trên?
- Cho HS làm hoạt động 2 SGK: Trong giờ giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm 10 ngƣời xếp thành hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Giải thích các HĐ trên
- HĐ1 nhằm gợi động cơ tạo điều kiện để học sinh tiếp cận và có những hình dung ban đầu định lí số hốn vị.
- HĐ2 nhằm kiểm tra tính đúng đắn q trình tƣ duy đó của học sinh định lí hốn vị.
- HĐ3 là HĐ củng cố định lí ở mức độ thấp nhất thơng qua thao tác thực hành của bản thân ngƣời học.
* Định lí số chỉnh hợp
Định lí: Ak
n = n(n-1)...(n-k+1)
HĐ1: Hình thành định lí
- Ví dụ: Tổ trƣởng tổ 1 lớp 11A7 phân công 5 thành viên của tổ trực vệ sinh tuần. Giả sử mỗi 3 HS trực 1 ngày (mỗi học sinh làm một nhiệm vụ khác nhau). Hãy tìm số cách phân cơng trực vệ sinh? (GV hƣớng dẫn HS thực hiện theo 2 cách: cách 1 liệt kê các phần tử và cách hai sử dụng quy tắc nhân).
- Từ ví dụ về số cách sắp xếp 3 HS trực vệ sinh ta có định lí: Akn = n(n-1)...(n-k+1) Akn: là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử.
- Thông qua HĐ1 GV yêu cầu HS nhắc lại cách tìm số các chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử, sau đó sử dụng thao tác trí tuệ khái qt hóa từ 2 hoặc 3 trƣờng hợp cụ thể để dẫn đến cách chứng minh định lí theo quy tắc nhân.
- GV chốt lại nội dung định lí và đƣa ra nội dung chú ý: + Với 0! = 1, ta có: ! !,1 k n n A k n n k + Pn = Ann HĐ3: Củng cố định lí
- Lấy ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập từ các chữ số: 1,2,3,4,5,6,7,8?
Giải thích các HĐ trên
- HĐ1 nhằm gợi động cơ tạo điều kiện để học sinh tiếp cận và có những hình dung ban đầu định lí số chỉnh hợp.
- HĐ2 nhằm kiểm tra tính đúng đắn q trình tƣ duy đó của học sinh định lí chỉnh hợp.
- HĐ3 là HĐ củng cố định lí ở mức độ thấp nhất thơng qua thao tác thực hành của bản thân ngƣời học.
* Định lí số tổ hợp Định lí: ! !( )! k n n C k n k HĐ1: Hình thành định lí
- Ví dụ: Cơ phân cơng 2 em trong 3 em Anh, Đức, Bình đi dự thi văn nghệ do Đồn trƣờng tổ chức. Hỏi cơ có bao nhiêu cách phân cơng nhƣ vậy? (GV hƣớng dẫn HS thực hiện theo 2 cách: cách 1 liệt kê các phần tử và cách hai sử dụng quy tắc nhân).
- Từ ví dụ về số cách sắp xếp 2 HS trong 3 HS đi thi văn nghệ ta có định lí: ! !( )! k n n C k n k (0 ) k n C k n là số các tổ hợp chập k của n phần tử. HĐ2: Chứng minh định lí
- Thông qua HĐ1 GV yêu cầu HS nhắc lại cách tìm số các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử, sau đó sử dụng thao tác trí tuệ khái qt hóa từ 2 hoặc 3 trƣờng hợp cụ thể để dẫn đến cách chứng minh định lí theo quy tắc nhân.
HĐ3: Củng cố định lí
- Lấy ví dụ: một chi đồn có 8 đồn viên nam và 4 đồn viên nữ. Cần lập 1 đồn cơng tác gồm 7 ngƣời. Hỏi có bao nhiêu cách lập đồn cơng tác trong đó có đúng 2 nữ?
Giải thích các HĐ trên
- HĐ1 nhằm gợi động cơ tạo điều kiện để học sinh tiếp cận và có những hình dung ban đầu định lí số tổ hợp.
- HĐ2 nhằm kiểm tra tính đúng đắn quá trình tƣ duy đó của học sinh định lí tổ hợp.
- HĐ3 là HĐ củng cố định lí ở mức độ thấp nhất thông qua thao tác thực hành của bản thân ngƣời học.
* Định lí về tính chất xác suất
Định lí: a)P()=0, P()=1 b)0P A( ) 1 , với mọi biến cố A c)Nếu A và B xung khắc thì
P(AB)=P(A)+P(B) (cơng thức cộng xác suất)
- Ví dụ: Tính P(), P()? Có nhận xét gì về giá trị củaP A( )? - Từ ví dụ trên ta có định lí:
a)P()=0, P()=1
b)0P A( ) 1 , với mọi biến cố A c)Nếu A và b xung khắc thì
P(AB)=P(A)+P(B) (công thức cộng xác suất)
HĐ2: Chứng minh định lí
- Thơng qua HĐ1 GV u cầu HS nhắc định lí, chữa lại ví dụ đi đến chứng minh định lí, sau đó dẫn đễn hệ quả: Với mọi biến cố A ta có: P(A)=1-P(A)
HĐ3: Củng cố định lí
- Lấy ví dụ: Từ 1 hộp chứa 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Hãy tính xác suất sao cho hai quả đó
a) khác màu b) cùng màu
Giải thích các HĐ trên
- HĐ1 nhằm gợi động cơ tạo điều kiện để học sinh tiếp cận và có những hình dung ban đầu định lí tính chất xác suất.
- HĐ2 nhằm kiểm tra tính đúng đắn q trình tƣ duy đó của học sinh định lí tính chất xác suất.
- HĐ3 là HĐ củng cố định lí ở mức độ thấp nhất thông qua thao tác thực hành của bản thân ngƣời học.
c) Hướng dẫn và tập luyện cho HS hoạt động nhận thức tích cực hóa để hiểu và tìm kiếm các quy tắc, cơng thức
Quy tắc: Một cơng việc đƣợc hồn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành
động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện khơng trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì cơng việc đó có m+n cách thực hiện.
HĐ1: Gợi động cơ hình thành quy tắc
- Ví dụ: Một hộp chứa 5 quả cầu trắng đƣợc đánh số từ 1 đến 5 và hai quả cầu đen đánh số 6,7. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 trong các quả cầu đấy?
- Từ ví dụ trên ta có quy tắc: Một cơng việc đƣợc hồn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện khơng trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì cơng việc đó có m+n cách thực hiện.
HĐ2: Mở rộng quy tắc
- Thông qua HĐ1 GV yêu cầu HS nhắc quy tắc. đƣa ra nhận xét: Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn khơng giao nhau thì n( AB) = n(A) + n(B)
- GV đặt câu hỏi: có thể mở rộng quy tắc theo nhiều hành động khơng? - Từ đó đƣa đến chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.
HĐ3: Củng cố quy tắc
- Lấy ví dụ:
a) 1 hộp có chứa 10 bóng đèn màu đỏvà 7 bóng đèn màu xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đƣợc 1 bóng đèn trong hộp ?
b) Trên giá sách có 9 quyển sách tốn khác nhau, 7 quyển sách vật lí khác nhau và 5 quyển sách hóa học khác nhau. Một hs đƣợc chọn 1 quyển. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Giải thích các HĐ trên
- HĐ1 nhằm gợi động cơ tạo điều kiện để học sinh tiếp cận và có những hình