Các kiến thức cần cung cấp cho học sinh.
- Hai vật có khoảng cách AB chuyển động ngược chiều nhau cùng xuất phát thì thời gian để chúng gặp nhau thì được tính như sau:
Thời gian = khoảng cách : tổng hai vận tốc.
t = s : (v1 + v2)
- Hai vật có khoảng cách AB chuyển động ngược chiều nhau cùng xuất phát thì tổng hai vận tốc được tính như sau:
Tổng hai vận tốc = khoảng cách : thời gian.
(v1 + v2) = s : t
- Hai vật có khoảng cách AB chuyển động ngược chiều nhau cùng xuất phát thì khoảng cách được tính như sau:
Khoảng cách = tổng hai vận tốc × thời gian.
s = (v1 + v2) × t
Phương pháp giải thường dùng.
Dù là toán chuyển động nhưng các bài toán dạng này còn chứa đựng nội dung của nhiều loại toán điển hình như: tìm hai số khi biết tổng và hiệu, tìm hai số khi biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ, trung bình cộng của hai số. Do đó khi dạy dạng toán này giáo viên nên cố gắng giúp học sinh nhận diện dạng toán để đưa ra cách giải quen thuộc của bài toán điển hình.
Đối với dạng này thường áp dụng các phương pháp giải sau: - Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng.
- Phương pháp tỉ số.
- Phương pháp rút về đơn vị. - Phương pháp giả thiết tạm.
- Phương pháp tính vận tốc trung bình.
Ví dụ 1: Khoảng cách từ A đến B là 54 km. Nếu cùng một lúc An đi từ A, Bình đi từ B ngược chiều nhau thì trong 3 giờ sẽ gặp nhau. Tìm vận tốc của mỗi bạn? Biết mỗi giờ An đi nhanh hơn Bình 6km.
Bài giải
Trong 1 giờ cả hai bạn đi được: 54 : 3 = 18 (km). Vận tốc của Bình là: (18 – 6) : 2 = 6 (km/giờ). Vận tốc của An là 6 + 6 = 12 (km/giờ).
Đáp số: An: 12 km/giờ. Bình: 6 km/giờ.
Ví dụ 2: Đoạn đường từ tỉnh A đến tỉnh B dài 245km. Người thứ nhất đi từ A đến B lúc 5 giờ sáng, nghỉ dọc đường 2 giờ. Người thứ hai đi từ B đến A lúc 6 giờ sáng, nghỉ dọc đường 2 giờ. Đến 12 giờ trưa thì hai người gặp nhau. Tìm vận tốc của mỗi người? Biết trong 1 giờ cả hai đi được 55 km.
Bài giải
Đến lúc gặp nhau người thứ nhất đã đi trong: 12 – 5 – 2 = 5 (giờ). Đến lúc gặp nhau người thứ hai đã đi trong: 12 – 6 – 2 = 4 (giờ). Trong 4 giờ cả hai đi được: 55 × 4 = 220 (km).
Vậy trong 1 giờ người thứ nhất đi được là: 245 – 220 = 25 (km). Trong 1 giờ người thứ hai đi được là: 55 – 25 = 30 (km).
Đáp số: Người thứ nhất : 25 km/giờ. Người thứ hai: 30 km/giờ.
Ví dụ 3: Hai địa điểm A và B cách nhau 56 km. Lúc 7 giờ 30 phút người thứ nhất khởi hành đi từ A đến B. Lúc 9 giờ 30 người thứ hai khởi hành đi từ B đến A. Hỏi: a) Hai người gặp nhau lúc mấy giờ? Biết vận tốc của người thứ nhất là 10 km/giờ, vận tốc của người thứ hai là 14 km/giờ.
b) Chỗ gặp nhau cách B bao nhiêu km?
Phân tích: Bài toán thuộc dạng toán hai vật chuyển động ngược chiều xuất phát
khác thời điểm. Gọi C là thời điểm xe thứ nhất đi đến lúc 9 giờ 30 phút.
Bài giải
Thời gian người thứ nhất đi nhiều hơn người thứ hai là: 9 giờ 30 phút – 7 giờ 30 phút = 2 giờ.
Vào lúc 9 giờ 30 phút người thứ nhất đã đi được một đoạn đường là: 2 × 10 = 20 (km).
Khi đó khoảng cách giữa hai người là: 56 – 20 = 36 (km). Trong 1 giờ cả hai đi được : 10 + 14 = 24 (km).
Hai người đi hết 36 km trong thời gian là: 36 : 24 = 1,5 (giờ) = 1 giờ 30 phút. Hai người gặp nhau lúc: 9 giờ 30 phút + 1 giờ 30 phút = 11 giờ.
Chỗ gặp nhau cách B là: 14 × 1,5 = 21 (km).
Đáp số: a) 11 giờ, b) 21 km.
Ví dụ 4: Hai ô tô đi từ A và B ngược chiều nhau. Chúng gặp nhau tại điểm chính giữa quãng đường AB vào lúc 10 giờ. Vận tốc của ô tô đi từ A là 60 km/giờ, vận tốc của ô tô đi từ B là 50 km/giờ. Hỏi ô tô đi từ A xuất phát lúc mấy giờ? Biết ô tô đi từ B xuất phát lúc 8 giờ 30 phút.
Phân tích:
Chỗ gặp nhau cách B ? km t2 = sBC : (v1 + v2) Thời điểm gặp nhau
v2 = 14km/giờ sBC = sAB – sAC v1 = 10km/giờ
tAC = 9 giờ 30 phút – 7 giờ 30 phút sAB = 56km sAC = v1× tAC
Bài giải
Thời gian ô tô đi từ B khởi hành cho đến khi hai xe gặp nhau là: 10 giờ - 8 giờ 30 phút = 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ.
Quãng đường ô tô đi từ B đã đi được là: 50 × 1,5 = 75 (km). Vậy ô tô đi từ A cũng đi được quãng đường 75 km.
Thời gian để ô tô đi từ A đi được quãng đường đó là: 75 : 60 = 1,25 giờ = 1 giờ 15 phút.
Ô tô đi từ A xuất phát từ lúc: 10 giờ - 1 giờ 15 phút = 8 giờ 45 phút. Đáp số: 8 giờ 45 phút.
Ví dụ 5: Hai xe cùng khởi hành từ 2 địa điểm và đi ngược chiều nhau. Xe thứ nhất đi từ A đến B, xe thứ hai đi từ B đến A. Xe thứ nhất đi từ A đến B hết 6 giờ, xe thứ hai đi từ B đến A hết 4 giờ. Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì hai xe gặp nhau?
Phân tích: Khi hai xe gặp nhau tức là tổng quãng đường hai xe đi được vừa bằng
quãng đường AB. Vậy để tính thời gian hai xe gặp nhau ta đi tính thời gian hai xe đi hết quãng đường dựa vào thời gian đi hết quãng đường của hai xe.
Bài giải
Trong 1 giờ xe thứ nhất đi được là: 1 : 6 =
61 1
(quãng đường). Trong 1 giờ xe thứ hai đi được là: 1 : 4 =
41 1
(quãng đường). Trong 1 giờ cả hai xe đi được quãng đường là:
61 1 + 4 1 = 12 5 (quãng đường). Thời gian mỗi xe đi để gặp nhau là: 1 :
125 5
= 2,4 (giờ).
Đáp số: 2,4 giờ. Thời điểm A xuất phát = 10 giờ – tA
tA = sA : vA
vA = 60km/giờ sA = sB = vB × tB
Ví dụ 6: Một người ở vùng cao đi bộ từ xã A đến xã B cách nhau 15km, khởi hành lúc 6 giờ 30 phút với vận tốc 4 km/giờ. Hôm sau người đó ra về lúc 8 giờ với vận tốc 5 km/giờ. Cả đi và về người đó nhận thấy mình đều đi qua một cây cầu đều vào cùng một giờ. Hỏi người đó qua cầu lúc mấy giờ?
Phân tích: Bài toán có một chuyển động nhưng ta có thể coi bài toán gồm hai
chuyển động ngược chiều nhau, xuất phát khác thời điểm, một người đi từ A, một người đi từ B.
Bài giải
Vào lúc 8 giờ người đi từ A đã đi được:
8 giờ - 6 giờ 30 phút = 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ.
Quãng đường người đó đi từ A trong 1,5 giờ là: 4 × 1,5 = 6 (km). Lúc 8 giờ hai người cách nhau là: 15 – 6 = 9 (km).
Tổng vận tốc của hai người là: 4 +5 = 9 (km/giờ).
Thời gian đi từ lúc 8 giờ đến lúc hai người gặp nhau là: 9 : 9 = 1 (giờ). Vậy người đó qua cầu lúc: 8 + 1 = 9 (giờ).
Đáp số: 9 giờ.
Ví dụ 7: Hai người đi ngược chiều nhau và cùng xuất phát cùng một lúc tại hai địa điểm A và B thì sau 5 giờ thì hai người gặp nhau. Nhưng sau khi được 2 giờ thì người thứ nhất bị hỏng xe và phải dừng lại sửa. Vì vậy người thứ hai phải đi thêm 9 giờ nữa mới gặp người thứ nhất đang sửa xe. Hỏi mỗi người đi một mình thì trong bao lâu thì đi hết quãng đường AB?
Phân tích: Người thứ hai phải đi thêm 9 giờ nữa mới gặp người thứ nhất tức là
trong 9 giờ người thứ hai đi được quãng đường bằng quãng đường hai người đi Thời điểm gặp nhau
tB = K/c : (vA+ vB) K/c = sAB – sA tính tới 8 giờ
sA tính tới 8 giờ = tA tính tới 8 giờ × vA
vA = 4km/giờ vB = 5km/giờ sAB = 15km
trong 5 – 2 = 3 giờ (người thứ nhất đi trong 3 giờ + người thứ hai đi trong 3 giờ). Ta tính thời gian người thứ hai đi quãng đường mà người thứ nhất đi trong 3 giờ để có tỉ số vận tốc giữa hai người. Từ đó ta tính được thời gian mà người thứ hai đi quãng đường mà người thứ nhất đi trong 5 giờ rồi tính tổng thời gian người thứ hai đi hết quãng đường AB.
Bài giải
Nếu người thứ nhất không hỏng xe thì thời gian mỗi người đi tiếp để gặp nhau là: 5 – 2 = 3 (giờ).
Quãng đường người thứ nhất đi trong 3 giờ được người thứ hai đi trong: 9 – 3 = 6 (giờ).
Vậy vận tốc người thứ hai bằng
63 3 = 2 1 vận tốc người thứ nhất.
Người thứ hai đi quãng đường của người thứ nhất đi trong 5 giờ sẽ mất: 6 : 3 × 5 = 10 (giờ).
Người thứ hai đi quãng đường AB trong: 10 +5 = 15 (giờ).
Người thứ nhất đi hết quãng đường AB trong: 15 : 2 = 7,5 (giờ ).
Đáp số: Người thứ nhất: 7,5 giờ. Người thứ hai: 15 giờ.
Ví dụ 8: Xe thứ nhất đi từ A đến B hết 2 giờ 30 phút. Xe thứ hai đi từ B đến A hết 2 giờ 48 phút. Biết rằng hai xe cùng khởi hành và sau1 giờ 15 phút chuyển động thì chúng còn cách nhau 25 km. Tính vận tốc của mỗi xe?
Phân tích: Muốn biết vận tốc xe thứ hai ta tính thời gian xe này đi quãng đường
25 km. Muốn vậy ta tính thời gian xe thứ hai đi quãng đường BD và CA (sơ đồ) dựa trên tỉ số thời gian đi quãng đường AB của xe thứ nhất với xe thứ hai.
Bài giải
Đổi các đơn vị thời gian ra phút: 3 giờ 20 phút = 200 phút. 2 giờ 48 phút = 168 phút. 1 giờ 15 phút = 75 phút.
Tỉ số thời gian đi quãng đưỡng AB của xe thứ nhất với xe thứ hai là: 168 200 = 21 25 = 63 75
Nếu trên đoạn đường mà xe thứ nhất đi hết 75 phút thì xe thứ hai chỉ đi hết 63 phút. Ta có sơ đồ:
Xe thứ nhất đi từ A đến C hết 75 phút nên xe thứ hai đi từ C đến A hết 63 phút. Do đó xe thứ hai đi từ B đến D và từ C đến A hết số phút là: 75 + 63 = 138 (phút). Xe thứ hai đi từ A đến B hết 168 phút. Do đó xe này đi từ D đến C hết số phút là: 168 – 138 = 30 (phút) = 0,5 giờ.
Vận tốc của xe thứ hai là: 25 : 0,5 = 50 (km/giờ).
Trên cùng một quãng đường, thời gian và vận tốc tỉ lệ nghịch với nhau. Do đó vận tốc của xe thứ nhất là: 50 × 21
25 = 42 (km/giờ).
Đáp số: Xe thứ nhất: 42 km/giờ. Xe thứ hai: 50 km/giờ.
Ví dụ 9: Hai người đi xe đạp ngược chiều nhau cùng khởi hành cùng một lúc. Người thứ nhất đi từ A, người thứ hai đi từ B và đi nhanh hơn người thứ nhất. Họ gặp nhau cách A 6 km. Sau khi gặp nhau, người thứ nhất đến B rồi quay trở lại và người thứ hai đến A cũng quay trở lại. Họ gặp nhau lần hai cách B 4 km. Tính xem quãng đường AB dài bao nhiêu km?
Bài giải
Biểu thì quãng đường người thứ nhất đi bằng nét liền, quãng đường người thứ hai đi bằng nét đứt ta có quãng đường hai người đi cho đến lúc gặp nhau lần thứ hai qua sơ đồ sau:
A C 25km D B Xe I 75 phút Xe II 75 phút 4km D A C B 6km
Cho đến khi gặp nhau lần thứ hai tại D thì người thứ hai đã đi được 3 lần quãng đường AB. Cứ mỗi lần hai người đi được 1 lần quãng đường thì người thứ nhất đi được: 6 × 3 = 18 (km).
Quãng đường AB dài là: 18 – 4 = 14 (km).
Đáp số: 14 km.
Ví dụ 10: Lúc 7 giờ sáng, một người đi từ A đến B và một người khác đi từ B đến A. Cả hai cùng đến đích của mình lúc 2 giờ chiều. Vì đường đi khó dần từ A đến B nên người đi từ A giờ đầu đi được 15 km. Mỗi giờ sau đó lại giảm đi 1km. Người đi từ B giờ cuối đi được 15km, cứ mỗi giờ trước đó lại giảm đi 1 km. Hỏi:
a) Tính quãng đường AB?
b) Sau lúc khởi hành 4 giờ hai người cách nhau bao nhiêu km?
Phân tích:
Để tính được quãng đường AB phải tính xem mỗi giờ người đi từ A đi được bao nhiêu km. Do người đi từ A giờ đầu đi được 15 km, mỗi giờ sau đó giảm đi 1 km nên vận tốc của người này sẽ là một dãy số có quy luật số hạng sau kém số hạng trước 1 đơn vị. Để biết dạy số gồm bao nhiêu số hạng ta đi tìm thời gian người này đi từ A đến B.
Vẽ sơ đồ để tính sau 4 giờ hai người cách nhau bao nhiêu km.
Bài giải
Hai người đi đến đích của mình trong: 14 – 7 = 7 (giờ).
Vận tốc của người đi từ A đến B lập thành dãy số: 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9. Vận tốc của người đi từ B đến A lập thành dãy số: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Hai dãy số trên đều có các số hạng giống nhau.
Vậy quãng đường AB dài là: 9 + 10 + 11 +12 + 13 + 14 + 15 = 84 (km).
Nhìn sơ đồ ta thấy sau 4 giờ người đi từ A đến M, người đi từ B đến M. MN = 12 km. Vậy sau lúc khởi hành hai người cách nhau 12 km.
Đáp số: a) 84 km, b) 12 km. N M B 15 14 13 12 12 11 10 9 A
Bài tập vận dụng
Bài 2.1. Quãng đường AB dài 420 km. Cùng một lúc hai ô tô khởi hành, một từ A, một từ B và đi ngược chiều nhau. Khi hai xe gặp nhau tại C thì thấy: đoạn đường AC dài hơn đoạn đường BC 62 km. Tính đoạn đường mỗi xe đi được?
Bài 2.2. Hai tỉnh A và B cách nhau 72 km, lúc 7 giờ có một người đi xe máy từ A về B và một người đạp xe từ B đến A với vận tốc bằng
31 1
vận tốc xe máy. Hai người gặp nhau 8 giờ 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe?
Bài 2.3. Hai thành phố cách nhau 186 km. Lúc 6 giờ một người đi từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ. Lúc 7 giờ một người đi từ B đến A với vận tốc 35 km/giờ. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ và gặp nhau cách chỗ A bao xa?
Bài 2.4. Lúc 7 giờ 15 phút một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 45 km/giờ. Lúc 7 giờ 39 phút một ô tô đi từ B đến A với vận tốc 60 km/giờ. Hai xe gặp nhau sau khởi hành 40 phút. Tính quãng đường AB?
Bài 2.5. Lúc 6 giờ kém 15 phút hai người đi ô tô cùng xuất phát từ hai địa điểm A và B, họ đi về phía nhau. Đến 7 giờ 15 phút, quãng đường người đi từ B đã đi được ngắn hơn quãng đường người đi từ A đã đi được 9 km nhưng lại dài hơn khoảng cách giữa hai xe lúc đó là 6 km. Tính vận tốc mỗi xe? Biết quãng đường AB dài 201 km.
Bài 2.6. Lúc 7 giờ sáng một ô tô khởi hành từ A đi về phía B. Lúc 9 giờ sáng một người đi xe máy từ B về phía A và gặp ô tô lúc 12 giờ trưa trên đường đi. Tìm vận tốc của ô tô và vận tốc của xe máy? Biết rằng trong một giờ cả ô tô và xe máy đi được 86km và quãng đường AB dài 358 km
Bài 2.7. Một ô tô đi từ A đến B hết 9 giờ. Một ô tô khác đi từ B về A hết 6 giờ. Hai ô tô cùng khởi hành cùng một lúc một từ A, một từ B thì sau bao lâu thì gặp nhau?
Bài 2.8. Xe thứ nhất đi từ A đến B hết 6 giờ. Xe thứ hai đi từ B về A hết 5