Một số kiến thức cần cung cấp cho học sinh.
- Hai vật có khoảng cách AB, cùng khởi hành thì thời gian chuyển động để gặp nhau (đuổi kịp nhau) được tính như sau:
Thời gian = khoảng cách : hiệu hai vận tốc.
t = s : (v1 - v2) với v1 > v2
- Hai vật có khoảng cách AB, cùng khởi hành cho đến khi gặp nhau thì khoảng cách đó được tính như sau:
Khoảng cách = hiệu vận tốc × thời gian.
s = (v1 - v2) × t với v1 > v2
- Hai vật có khoảng cách AB, cùng khởi hành cho đến khi gặp nhau thì hiệu hai vận tốc được tính như sau:
Hiệu hai vận tốc = khoảng cách : thời gian.
(v1 - v2) = s : t với v1 > v2
Phương pháp giải thường dùng
Cũng như dạng toán về hai vật chuyển động ngược chiều, dạng toán này cũng chứa đựng khá nhiều bài tập thuộc dạng toán điển hình. Do đó giáo viên cũng nên khuyến khích các em nhận dạng và đưa về dạng toán điểm hình để giải. Đối với dạng này ta thường áp dụng cách phương pháp giải sau:
+ Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng. + Phương pháp tỉ số.
+ Phương pháp rút về tỉ số. + Phương pháp giả thiết tạm.
+ Phương pháp tính vận tốc trung bình.
Ví dụ 1: Quãng đường từ nhà lên huyện dài 30 km. Một người đi xe đạp từ nhà lên huyện với vận tốc 12km/giờ. Sau đó 1 giờ 30 phút một người đi xe máy đuổi theo với vận tốc 36 km/ giờ. Hỏi khi người đi xe máy đuổi kịp người đi xe đạp thì hai người cách huyện bao nhiêu km?
Phân tích:
Bài giải
1 giờ 30 phút = 1,5 giờ.
Khi người đi xe máy bắt đầu đi thì người đi xe đạp đã đi được: 12 × 1,5 = 18 (km). Trong một giờ xe máy đi hơn xe đạp là: 36 – 12 = 24 (km).
Thời gian người đi xe máy đuổi kịp người đi xe đạp là: 18 : 24 = 0,75 (giờ). Nơi hai người gặp nhau cách nhà : 0,75 × 36 = 27 (km).
Nơi hai người gặp nhau cách huyện: 30 – 27 = 3 (km).
Đáp số: 3 km.
Ví dụ 2: Quãng đường AB dài 110km. Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 40 km/giờ. Sau khi đi được 30 phút, một ô tô xuất phát đi từ A đến B đuổi theo xe máy. Ô tô đuổi kịp xe máy cách B 10 km. Tìm vận tốc của ô tô?
Phân tích:
vxe máy – vxe đạp
vxe máy = 36km/giờ txe máy = tđuổi kịp
Khoảng cách = vxe đạp × txe đạp
Điểm gặp nhau sxe máy = vxe máy × txe máy
Bài giải
30 phút = 0,5 giờ.
Hai người gặp nhau cách A là: 110 – 10 = 100 (km).
Khi ô tô đuổi kịp xe máy thì xe máy đã đi được: 100 : 40 = 2,5 (giờ). Thời gian ô tô đuổi kịp xe máy là: 2,5 – 0,5 = 2 (giờ).
Vận tốc của ô tô là: 100 : 2 = 50 (km/giờ).
Đáp số: 50 km/giờ.
Ví dụ 3: Một chi đội tổ chức cắm trại ở một nơi cách trường 8km. Một số bạn đi bộ khởi hành lúc 6 giờ sáng với vận tốc 2 km/giờ. Một số bạn chở dụng cụ đi xe đạp với vận tốc 10 km/giờ. Hỏi các bạn đi xe đạp khởi hành lúc mới giờ để đến nơi cùng lúc với các bạn đi bộ?
Phân tích: Muốn biết thời điểm khởi hành của các bạn đi ta tìm thời gian một
nhóm bạn đi hết quãng đường AB, rồi tính xem các bạn đi xe đạp cần đi sau các bạn đi bộ bao lâu, từ đó tính được thời điểm khởi hành của các bạn đi xe đạp.
Bài giải
Các bạn đi bộ đi hết thời gian là: 8 : 2 = 4 (giờ).
Các bạn đi xe đạp hết thời gian là: 8 : 10 = 0,8 (giờ) = 48 phút.
Các bạn đi xe đạp phải xuất phát sau các bạn đi bộ là: 2 giờ - 48 phút = 1 giờ 12 phút. Thời điểm các bạn đi xe đạp xuất phát là: 6 giờ + 1 giờ 12 phút = 7 giờ 12 phút. Đáp số: 7 giờ 12 phút.
Ví dụ 4: Một người đi xe máy từ tỉnh A, một người đi xe đạp từ tỉnh B, hai tỉnh cách nhau 80 km. Nếu họ đi ngược chiều nhau thì sẽ gặp nhau sau 2 giờ. Nếu họ đi cùng chiều thì xe máy sẽ đuổi kịp xe đạp sau 4 giờ. Tính vận tốc của mỗi người? Biết rằng họ khởi hành cùng một lúc.
Vôtô = s : tô tô
T ôtô = txe máy – 30 phút txe máy = s : vxe máy
s = 110 - 10
Phân tích: Từ thời gian gặp nhau nếu đi ngược chiều ta tình được tổng vận tốc
của hai xe, nếu đi cùng chiều ta tính được hiệu vận tốc của hai xe. Đến đây ta đưa ra bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu.
Bài giải
Trong một giờ xe máy và xe đạp đi được là: 80 : 2 = 40 (km).
Nếu đi cùng chiều thì trong 1 giờ xe máy đi hơn xe đạp là: 80 : 4 = 20 (km). Vận tốc của xe máy là: (40 + 20) : 2 = 30 (km/giờ).
Vận tốc của xe đạp là: 40 – 30 = 10 (km/giờ).
Đáp số: Xe máy: 30 km/giờ. Xe đạp: 10 km/giờ.
Ví dụ 5: Hai vận động viên tham gia thi chạy. Người thứ nhất chạy từ A đến B hết 1 phút 15 giây. Người thứ hai chạy từ A đến B hết 1 phút 20 giây. Hai người cùng xuất phát tại A thì sau 48 giây họ cách nhau 20 km. Tính vận tốc của mỗi người theo m/ phút và km/ giờ?
Phân tích: Muốn tính vận tốc của mỗi người ta tính hiệu vận tốc của hai người
và tỉ số vận tốc của hai người. Để tìm được tỉ số vận tốc của hai người ta dựa vào tỉ số thời gian hai người đã chạy:
Bài giải
1 phút 15 giây = 75 giây. 1 phút 20 giây = 80 giây. 48 giây = 0,8 phút.
Tỉ số thời gian chạy của người thứ nhất với người thứ hai là: 80 75 = 16 15 . Trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ nghịch. Do đó tỉ số vận tốc của người thứ nhất với người thứ hai là:
1516 16
.
Hiệu vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai là: 20 : 0,8 = 25 (m/phút). Vận tốc chạy của người thứ nhất là: 25 : (16 - 15) × 16 = 400 (m/phút) = 24 km/giờ.
I chạy 48 giây
II chạy 48 giây
Vận tốc của người thứ hai là: 400 – 25 = 375 (m/giây) = 22,5 km/giờ. Đáp số: Người thứ nhất: 24 km/giờ. Người thứ hai: 22,5 kn/giờ.
Ví dụ 6: Một người đi xe đạp với vận tốc 12 km/giờ và một ô tô đi với vận tốc 48 km/giờ cùng khởi hành từ địa điểm A đến địa điểm B lúc 6 giờ. Sau đi được nửa giờ thì một xe máy đi với vận tốc 35 km/giờ cũng xuất phát từ A đến B. Hỏi trên quãng AB vào lúc mấy giờ thì xe máy ở chính giữa xe đạp và ô tô?
Phân tích: Bài toán gồm 3 động tử chuyển động. Ta giả sử có một xe thứ tư xuất
phát từ A lúc 6 giờ có vận tốc bằng vận tốc trung bình của người đi xe đạp và người đi ô tô. Xe thứ tư luôn luôn ở điểm chính giữa khoảng cách giữa xe đạp và ô tô. Như vậy ta chỉ cần tính xem xe máy đuổi kịp xe thứ tư vào lúc nào.
Bài giải
Giả sử có một xe thứ tư xuất phát từ A lúc 6 giờ với vận tốc bằng vận tốc trung bình của người đi xe đạp và người đi ô tô. Khi đó vận tốc của xe thứ tư là:
(12 + 48) : 2 = 30 (km/giờ).
Sau nửa giờ xe thứ tư đi được: 30 : 2 = 15 (km).
Thời gian để xe máy đuổi kịp xe thứ tư là: 15 : ( 35 – 30) = 3 (giờ).
Xe máy ở chính giữa xe đạp và ô tô vào lúc: 6 giờ + 30 phút + 3 giờ = 9 giờ 30 phút. Đáp số: 9 giờ 30 phút.
Ví dụ 7: Anh đi từ nhà đến trường hết 30 phút. Em đi từ nhà đến trường mất 40 phút. Hỏi nếu em đi trước anh 5 phút thì anh sẽ đuổi kịp em chỗ nào trên quãng đường từ nhà đến trường?
Phân tích: Biết thời gian đi từ nhà đến trường của mỗi người ta tính được trong
1 phút mỗi người đi được để tính hiệu vận tốc. Biết em đi trước anh 5 phút ta tính được quãng đường em đi trong 5 phút (khoảng cách). Từ đó tính được thời gian anh đuổi kịp em để suy ra thời điểm gặp nhau.
Bài giải
Trong 1 phút anh đi được 30
1
quãng đường. Trong 1 phút em đi được
401 1
Mỗi phút anh đi nhiều hơn em: 30 1 - 40 1 = 120 1 ( quãng đường). Em đi trước anh:
405 5 = 120 15 (quãng đường). Vậy anh sẽ đuổi kịp em sau:
12015 15 : 120 1 = 15 (phút). Chỗ đuổi kịp nằm ở: 30 15 = 2 1 (quãng đường).
Vậy điểm gặp nhau của hai anh em nằm ở chính giữa quãng đường.
Ví dụ 8: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/giờ. Một thời gian sau một ôtô thứ hai cũng đi từ A đến B với vận tốc 70 km/giờ. Như vậy cả hai ô tô cùng đến B một lúc, nhưng đi được quãng đường thì ô tô thứ nhất giảm tốc độ xuống còn 40 km/giờ nên hai ô tô gặp nhau cách B 105 km. Tính quãng đường AB?
Bài giải
Vì ô tô thứ nhất giảm tốc độ nên ô tô thứ hai đuổi kịp ô tô thứ nhất tại H và khi ô tô thứ hai đến B thì ô tô thứ nhất đến D, AC =
21 1
AB. Khi đến C thì ô tô thứ nhất giảm tốc độ còn 40 km/giờ =
32 2
vận tốc cũ. Nên quãng đường đi được cũng bằng
32 2
quãng đường đi với vận tốc cũ hay CD =
32 2 CB. Suy ra BD = 3 1
CB. Thời gian ô tô thứ hai đi quãng đường HB là: 105 : 70 = 1,5 (giờ). Quãng đường HD dài là: 40 × 1,5 = 60 (km).
Quãng đường BD dài là: 105 – 60 = 45 (km). Quãng đường CB dài là: 45 × 3 = 135 (km). Quãng đường AB dài là: 135 × 2 = 270 (km).
Đáp số: 270 km.
Ví dụ 9: Địa điểm A cách địa điểm B 24 km. Vào lúc 6 giờ một người đi từ A
đến B. Đến lúc 7 giờ 20 phút một người đi xe đạp từ A đuổi kịp người đi bộ lúc
A C H D B
7 giờ 50 phút. Đến B người đi xe đạp quay về A ngay và gặp người đi bộ lúc 9 giờ 20 phút. Tính vận tốc của mỗi người?
Bài giải
Gọi C là nơi người đi bộ gặp nguời đi xe đạp lần thứ nhất, D là nơi gặp lần thứ 2. Người đi bộ đi quãng đường AC mất:
7 giờ 50 phút – 6 giờ = 1 giờ 50 phút = 110 phút.
Người đi xe đạp đi quãng đường AC mất: 7 giờ 50 phút – 7 giờ 20 phút = 30 phút. Trên cùng một quãng đường thì thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc. Tỉ số vận tốc của người đi xe đạp với người đi bộ là
11030 30
= 11
3 . Suy ra vận tốc của người đi bộ bằng
113 3
vận tốc của người đi xe đạp.
Người đi xe đạp đi quãng đường AB và BD mất: 9 giờ 20 phút – 7 giờ 20 phút = 2 giờ = 120 phút. Vậy người đi bộ sẽ đi quãng đường đó mất:
3 11 11 120
= 440 (phút).
Do đó người đi bộ sẽ đi quãng đường AD + AB + BD ( chính là 2 lần quãng đường AB hết :
9 giờ 20 phút – 6 giờ + 440 phút = 3 giờ 20 phút + 440 phút = 640 phút. Vận tốc của người đi bộ là:
64060 60 2 24
= 4,5 (km/giờ). Vận tốc của người đi xe đạp là:
311 11 5 , 4 = 16,5 (km/giờ).
Đáp số: Người đi bộ: 4,5 km/giờ. Người đi xe đạp: 16,5 km/giờ.
Ví dụ 10: Cùng một lúc có hai người khởi hành từ làng ra thì xã cách nhau 48 km. Người thứ nhất đi ngựa với vận tốc 7 km/giờ. Người thứ hai đi xe đạp với vận tốc 13 km/giờ. Hỏi sau mấy giờ cùng đi thì đoạn đường còn lại của người thứ nhất gấp 3 lần đoạn dường còn lại của người thứ hai?
C D B
A
Bài giải
Coi đoạn đường còn lại của người thứ nhất là 1 phần thì đoạn đường còn lại của người thứ hai là 3 phần. Như vậy trong cùng một thời gian thì người thứ hai đi nhiều hơn người thứ nhất: 3 – 2 = 1 (phần).
Mỗi giờ người thứ hai đi nhiều hơn người thứ nhất là: 13 – 7 = 6 (km). Do đó mỗi phần biểu thị vận tốc là: 6 : 2 = 3 ( km/giờ).
Nếu người thứ hai tăng vận tốc thêm 3 km/giờ thì thời gian đi từ A đến chỗ đoạn đường còn lại của người thứ nhất gấp 3 lần đoạn đường của người thứ hai.
Vậy thời gian phải tìm là: 48 : (13 + 3) = 3 (giờ).
Đáp số: 3 giờ.
Bài tập
Bài 3.1. Lúc 12 giờ trưa một ô tô xuất phát từ A với vận tốc 60 km/giờ dự kiến sẽ tới B lúc 3 giờ 30 phút chiều. Cùng lúc đó tại địa điểm C trên đường từ A đến B cách A 40 km. Một người đi xe máy về B với vận tốc 35 km/giờ. Hỏi: a) Lúc mấy giờ hai người gặp nhau?
b) Địa điểm gặp nhau cách A bao xa?
Bài 3.2. Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc 5 km/giờ. Sau đó một ô tô cũng đi từ A đến B vào lúc 8 giờ 18 phút còn cách người đi bộ 8 km. Và lúc 8 giờ 30 phút thì gặp người đi bộ. Tính vận tốc của ô tô?
Bài 3.3. Lúc 8 giờ một xe khách đi từ A đến B vào lúc 14 giờ cùng ngày. Lúc 9 giờ lại có một xe con đi từ A đến B vào lúc 13 giờ 30 phút cùng ngày. Tìm khoảng cách từ A đến điểm xe con đuổi kịp xe khách? Biết vận tốc của xe con lớn hơn của xe khách 20 km/giờ.
Bài 3.4. Quãng đường từ A đến B dài 30 km. Lúc 8 giờ người thứ nhất khởi hành từ A đến B với vận tốc 10 km/giờ. Hỏi người thứ hai phải khởi hành từ A lúc mấy giờ để đến B sau người kia 15 phút? Biết vận tốc của người thứ hai là 15 km/giờ.
Bài 3.5. Một người đi ô tô và một người đi xe đạp khởi hành cùng một lúc: ô tô đi từ A, xe đạp đi từ B. Nếu hai xe đi ngược chiều nhau thì sau 2 giờ sẽ gặp nhau, nếu hai xe khởi hành cùng chiều thì ô tô sẽ đuổi kịp xe máy sau 4 giờ chuyển động. Tính vận tốc của mỗi xe? Biết rằng A cách B 96km.
Bài 3.6. Hai ô tô A và B cách nhau 45 km cùng chuyển động về phía C. Sau 3 giờ thì ô tô đi từ A đuổi kịp ô tô đi từ B. Tính vận tốc của mỗi xe? Biết rằng vận tốc của ô tô đi từ A bằng 1,5 lần vận tốc của ô tô đi từ B.
Bài 3.7. Thời gian em đi từ nhà đến trường nhiều hơn chị là 10 phút. Một hôm em đi trước chị 5 phút. Hỏi chị đuổi kịp em ở chỗ nào trên đường tới trường?
Bài 3.8. Quãng đường AB dài 570 km. Lúc 8 giờ sáng hai ô tô cùng khởi hành từ A đến B. Xe thứ nhất chạy với vận tốc 60 km/giờ, xe thứ hai chạy với vận tốc 80 km/giờ. Lúc 9 giờ 30 phút xe thứ ba cũng khởi hành từ A với vận tốc 100 km/giờ đi đến B. Hỏi lúc mấy giờ xe thứ ba sẽ ở điểm chính giữa khoảng cách của hai xe kia?
Bài 3.9. Một ô tô đi từ A về B với vận tốc 55 km/giờ. Sau đó một thời gian một ô tô cũng đi từ A về B với vận tốc 62 km/giờ. Như vậy cả hai ô tô sẽ đến B cùng một lúc, nhưng đi được
32 2
quãng đường AB thì ô tô thứ nhất giảm tốc độ đi chỉ còn một nửa nên hai xe gặp nhau cách B 124 km. Tính quãng đường AB?
Bài 3.10. Hai người đi từ A đến B, người thứ nhất đi bằng xe đạp trong 3 giờ với vận tốc 16 km/giờ, sau đó đi bằng xe lửa trong 6 giờ. Người thứ hai đi bằng ô