7. Cấu trúc luận văn
2.2.2. Năng lực biểu diễn toán học
2.2.2.1. Quan niệm về năng lực biểu diễn toán học
Khả năng sử dụng và thao tác được nhiều loại biểu diễn khác nhau một cách thành thạo cho các đối tượng và tình huống toán học là năng lực biểu diễn toán học. Các biểu diễn bao gồm: bảng biểu, biểu đồ, hình ảnh, sơ đồ, văn bản cũng như các biểu diễn kí hiệu toán học khác. Trọng tâm của năng lực này là khả năng hiểu và sử dụng mối quan hệ giữa các biểu diễn khác nhau.
BDTH vừa hỗ trợ phát triển khả năng suy luận, nhận thức toán học vừa là phương tiện để trao đổi thông tin toán học mà nó làm đại diện. Trong thực tế, do bản chất trừu tượng của toán học, mọi người có thể tiếp cận đến ý tưởng toán học thông qua các đại diện của chúng. Có thể thấy, năng lực BDTH gắn kết chặt chẽ với khả năng giải mã, tạo mã (kí mã), chọn mã và chuyển mã bằng ngôn ngữ toán học, ngôn ngữbiểu tượng, ngôn ngữ hình thức.
Trong DH toán, việc thiết lập được nhiều biểu diễn khác nhau cho cùng một khái niệm toán học có tác dụng thúc đẩy việc hiểu khái niệm toán của HS. HS có thể chứng tỏ việc hiểu sâu sắc một khái niệm bằng cách chuyển từ biểu diễn này sang kiểu biểu diễn khác của cùng một khái niệm.
Ví dụ:Khi dạy bài “Chu vi hình chữ nhật” (SGK Lớp 3/trang 87)
Sau khi học xong bài, HS có thể biểu diễn công thức tính chu vi hình chữ nhật theo hai cách:
(1) Nêu quy tắc tính bằng ngôn ngữ: Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta lấy chiều dài cộng với chiều rộng (cùng đơn vị đo) rồi nhân với 2.
(2) HS viết và nêu công thức tính
P = (a + b) x 2 ( P là chu vi hình chữ nhật, a là chiều dài hình chữ nhật, b là chiều rộng hình chữ nhật).
Qua hai cách biểu diễn này giúp HS nắm được kiến thức về tính chu vi hình chữ nhật chắc chắn hơn.
Biểu diễn toán có thể xem như các mô hình nhận thức hiệu quả mà người dạy và người học có thể khai thác, tận dụng để thúc đẩy hiểu biết toán học. Nhiều nghiên cứu cho thấy, kĩ năng BDTH của HS quan trọng trong giải quyết vấn đề. Việc học tập của HS cần luôn hướng đến việc kết nối giữa các loại biểu diễn khác nhau như: tranh ảnh, các biểu tượng, các kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, biểu, bảng,...; biểu diễn bằng lời nói và bằng hìnhảnh;biểu diễn bên trong và biểu diễn bên ngoài.
2.2.2.2. Các biểu hiện đặc trưng của năng lực BDTH
Chương trình cốt lõi môn Toán bang New York đã đưa ra 3 tiêu chuẩn của năng lực BDTH : (1). Tạo ra và sử dụng biểu diễn để tổ chức, ghi lại và truyền đạt
ý tưởng toán học; (2). Lựa chọn, áp dụng, và phiên dịch giữa các biểu diễn toán
học để giải quyết vấn đề; (3). Sử dụng biểu diễn để mô hình hóa và giải thích các
Khung đánh giá lớp học toán xác định năng lực BDTH bao gồm: (1). Giải
mã, giải thích và phân biệt giữa các dạng biểu diễn khác nhau của các đối tượng và tình huống toán học, mối tương quan giữa các cách biểu diễn khác nhau; (2). Lựa
chọn và chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau tùy theo tình huống và mục đích[23, tr.13].
AERO đã mô tả về các chỉ số thực hiện của biểu diễn gồm:(1). Sử dụng biểu
diễn để mô hình hóa, giao tiếp và giải thích vấn đề; (2). Tạo và sử dụng biểu diễn tổ
chức, ghi lại và truyền đạt ý tưởng toán học; (3). Lựa chọn, áp dụng, và phiên dịch
giữa các biểu diễn toán học để giải quyết vấn đề [16, tr.3].
Niss Mogens chỉ ra đặc điểm của năng lực biểu diễn bao gồm việc có thể
hiểu và sử dụng các dạng biểu diễn khác nhau; hiểu được mối quan hệqua lại giữa các hình thức biểu diễn; lựa chọn và chuyển đổi giữa các biểu diễn tùy thuộc vào hoàn cảnh và mục đích [28, tr.107].
Các quan niệm trên đều tập trung vào khả năng hiểu và sử dụng BDTH của HS trong học tập toán. GV cần phải biết tạo ra và hướng dẫn HS tạo ra các sơ đồ, mô hình, biểu đồ,... cần thiết cho việc tư duy, ghi nhớ và giao tiếp toán học trong học tập.
Trên cơ sở đó, chúng tôi xác định 3 thành tố và các biểu hiện đặc trưng của năng lực BDTH cụ thể đượctrình bày trong Bảng 2.3.
Bảng 2.4. Các thành tốvà biểu hiện đặc trưng của năng lực BDTH
Thành tố Biểu hiệnđặc trưng 1. Hiểu và sử dụng hiệu quả các BDTH để suy nghĩ, ghi nhớ hay trình bày nội dung toán học
1.1. Phân biệt, hiểu đúng nội dung của các đối tượng và quan hệtoán học trong các BDTH.
1.2. Sửdụng được hệ thống BDTH để suy nghĩ, ghi nhớhay trình bày nộidung toán học.
2. Liên kết, biến đổi hoặc tạo ra các BDTH phù hợp để tìm kiếm ý tưởng, giải pháp hoặc giải quyếtvấn đề toánhọc
2.1. Biết liên kết, biến đổi các biểu diễn để kết nối, lập luận, chứng minh; tìm kiếm giải pháp, ý tưởng toán học.
2.2. Tạo ra các BDTH phù hợp để biểu thị các đối tượng, quan hệ hay phương án giải quyết vấn đề toán họctrong các tình huốngkhác nhau
3. Lựa chọn, chuyển đổi các BDTH thuận lợi trong nhận thức, thực hành, ghi nhớvà GTTH. 3.1. Lựa chọn cách BDTH hợp lí trong các tình huốnghọctập đadạng.
3.2. Chuyển đổi giữa các dạng BDTH thuận lợi cho nhậnthức, thực hành, ghi nhớvà GTTH.
3.3. Phiên dịch từ NNTN sang các BDTH để mô hình hóa, phù hợp với bối cảnh cụ thể, tạo hiệu quả trongtưduy và giao tiếp.
Năng lực BDTH được hình thành và phát triển qua các hoạt động BDTH. Ở đó, HS được tập luyện sử dụng các BDTH, khai thác, lựa chọn, biến đổi và tạo ra các BDTH khác nhau để giải quyết các vấn đề toán học. Qua đó, HS nhận ra tính đơn giản và hiệu quả của các dạng biểu diễn, vai trò của biểu diễn trong giao tiếp cũng như trong nhận thức toán học (tư duy).
2.2.2.3. Các mức độ năng lực biểu diễn toán học
Với cách nhìn nhận năng lực BDTH của HS thể hiện qua mức độ và chất lượng thực hiện các hoạt động BDTH, trong tương quan so sánh với các bạn cùng trang lứa, vận dụng cách xây dựng mức độ hiểu biết toán học theo PISA và căn cứ vào kết quả khảo sát năng lực của 280 HS lớp 3, dự giờ, phân tích, tìm hiểu vở ghi, các bài kiểm tra toán của HSTH, chúng tôi đề xuất 5 mức độ năng lực BDTH được sử dụng trong nghiên cứu của Luận văn như sau:
Mức độ 1: Hiểu được nội dung các biểu diễn quen thuộc cho các đối tượng
và quan hệ toán học. Còn gặp khó khăn và nhiều sai sót trong việc sử dụng các kí
hiệu, hình vẽ, sơ đồ,...
Mức độ 2:Bước đầu sử dụng các BDTH quen thuộc để mô tả, minh họa cho
một đối tượng hay quan hệ toán học nhưng chưa chính xác, rõ ràng, đầy đủ.
Mức độ 3:Sử dụng được các biểu diễn toán học để biểu thị các đối tượng và các quan hệ toán học có tính qui luật tương đối phù hợp.
Mức độ 4: Sử dụng hiệu quả các BDTH trong tư duy và giao tiếp. Giải thích, đánh giá được các dạng biểu diễn khác nhau. Tạo ra hoặc kết nối các biểu
diễn để mô hình hóa (ở dạng đơn giản) trong giải quyết vấn đề toán học.
Mức độ 5: Vận dụng linh hoạt, sáng tạo các BDTH trong phân tích, tổng
hợp, suy luận, khái quát hóa và chứng minh toán học. Sử dụng và tạo ra các BDTH
phù hợp để mô hình hóa trong giải quyết các vấn đề toán học gắn với bối cảnh cụ
thể.
Sau đây là một ví dụ minh họacho các mức độ DH toán lớp 3 mà chúng tôi đã thực nghiệm trong thực tiễn.
Ví dụ:So sánh chu vi hình chữ nhật ABCD (có cạnh AB = CD = 6cm, AD = BC = 3cm) và hình chữ nhật MNPQ ( có cạnh MN = PQ = 5cm, MQ = NP = 4cm).
Mức độ 1: HS biểu diễn được các cạnh của 2 hình chữ nhật bằng sơ đồ ( vận dụng kiến thức tóm tắt sơ đồ dạng toán nhiều hơn, ít hơn ở lớp 2 để tóm tắt).
Ta có sơ đồ:
Hình chữ nhật ABCD:
Cạnh AB :
Hình chữ nhật MNPQ:
Cạnh MN :
Cạnh MQ:
Nhận xét: Với sơ đồ như trên chưa đủ dữ kiện đề bài, biểu diễn chưa đầy đủ. Vì vậy, khi giải toán, HS thường xác định nhầm lẫn khi so sánh chu vi của hai hình chữ nhật.
Mức độ2: HS biểu diễn sơ đồ như sau:
Hình chữ nhật ABCD: Cạnh AB: Cạnh AD: Hình chữ nhật MNPQ: Cạnh MN : Cạnh MQ:
Nhận xét: Với biểu diễn 2, HS đã biểu diễn được đầy đủ các yếu tố đề bài đã cho đơn vị đo của các cạnh. Tuy nhiên, biểu diễn chưa đầy đủ để tính được chu vi của mỗi hình chữ nhật trên.
Mức độ 3: HS vẽ được sơ đồ như sau:
Hình chữ nhật ABCD: Cạnh AB: Cạnh AD: 6cm 3cm 5cm 4cm 6cm 3cm
Hình chữ nhật MNPQ:
Cạnh MN :
Cạnh MQ:
Nhận xét: Trong tóm tắt, HS đã mô tả rõ yếu tố đã cho với yếu tố phải tìm tương đối phù hợp. Tuy nhiên, HS chưa sử dụng được một số biểu diễn khác (kí hiệu, hình vẽ, mô hình) để thuận lợi trong nhận thức, thực hành khi học hình học.
Mức độ 4:HS dựa vào đề bài có thể biểu diễn bài toán dưới dạng hình vẽ để so sánh chu vi hai hình chữ nhật đã cho.
Nhận xét: Việc biểu diễn toán học trong bài tập này không chỉ bằng việc diễn tả bằng hình vẽ mà còn biểu diễn kí hiệu ( sử dụng số, chữ cái và các kí hiệu toán) các em đãđược học.
Mức độ 5: GV có thể hướng dẫn HS sử dụng biểu diễn trực quan động (trên các phần mềm hình học động) khi dạy bài hình chữ nhật.
5cm
4cm
Nhận xét: GV có thể sử dụng biểu diễn trực quan động để tạo cho HS sự chủ động trong việc tìm ra và thực hiện các thao tác động trên biểu diễn. Hơn nữa, trong những điều kiện cho phép, GV có thể cho HS tự thiết kế biểu diễn trực quan và dùng nó để khảo sát, khám phá kiến thức cũng như giải quyết vấn đề khi học toán qua chủ đề Góc và Hìnhở lớp 3.
Việc sử dụng BDTH một mặt là phương tiện hữu ích hỗ trợ HS trong suy luận, tư duy, mặt khác tăng cường khả năng giao tiếp toán học. Bởi khi đó, HS phải giải thích, trình bày một cách thuyết phục, sáng tạo cho giải pháp của riêng mình.