7. Cấu trúc luận văn
2.2.1. Quan niệm về biểu diễn và biểu diễn toán học
Theo Từ điển từ và ngữ Việt Nam, biểu diễn: “ghi bằng hình vẽ hoặc kí
hiệu” [6, tr.147]; một số trang từ điển trực tuyến cũng mô tả biểu diễn: “Diễn tả
bằng công thức hoặc hình vẽ” (Từ điển Tra từ); “Diễn tả bằng kí hiệu hoặc hình vẽ”
(Từ điển Lạc Việt).
Theo Gerald Goldin và Nina Shteingold, một biểu diễn thường là một dấu hiệu hoặc một hình dạng của các dấu hiệu, ký tự hoặc các đối tượng có thể đại diện (tượng trưng, phản ánh, mã hóa, hoặc mô tả) cho một cái gì đó khác hơn chính nó [21, tr.3]. Hiệp hội quốc gia các GV toán (NCTM, 2000) cho rằng biểu diễn được hiểu là một tổ chức các hình ảnh, kí hiệu (dấu hiệu trên giấy, hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ, đồ thị, phác thảo hình học, các phươngtrình) [25, tr.16].
Các tác giả Hoàng Chúng, Hà Sĩ Hồ, Nguyễn Bá Kim tuy không dùng thuật ngữ “biểu diễn” nhưng khi nói đến NNTH đã quan tâm tới loại ngôn ngữ sơ đồ, đồ thị, hìnhảnh, tranh vẽ...và nhấn mạnh cần rèn luyện cho HS nắm vững, sử dụng và phiên dịch chúng sang ngôn ngữ kí hiệu toán học và NNTN (dẫn theo [5]).
Theo tác giả Vũ Thị Bình (2016) quan niệm rằng, BDTH là việc sử dụng, sắp
xếp các thuật ngữ, kí hiệu, hình ảnh (sơ đồ, biểu đồ, hình vẽ, đồ thị, dấu hiệu trên giấy, phác thảo hình học,...) hay các đối tượng cụ thể hàm chứa nội dung toán học để mô tả, tượng trưng hoặc đại diện cho một đối tượng, quan hệ hay một qui trình toán học.
Quan niệm trên cho thấy: BDTH gồm các biểu diễn trên các đối tượng thực (các đối tượng, quan hệ trong cuộc sốngtự nhiên –xã hội), các biểu diễn trực quan
(sử dụng các sơ đồ, biểu, bảng, các hình ảnh cụ thể,...) và các biểu diễn ngôn ngữ (các thuật ngữ, công thức, kí hiệu toán học...).
Nói cách khác, BDTH là sự trình bày một nội dung toán học bằng các thuật ngữ, kí hiệu, biểu tượng. BDTH có thể thay đổi tùy theo bối cảnh hoặc theo cách mà ta sử dụng các biểu diễn. BDTH cũng được xem là kết quả của quá trình BDTH.
Ví dụ:Khi dạy bài “Diện tích của một hình” (SGK lớp 3/trang 150)
Bài tập 3: So sánh diện tích hình A với diện tích hình B.
Với HS lớp 3 có các cách so sánh như sau:
Cách 1: HS vận dụng cách đếm số ô vuông ở mỗi hình:
- Hình A có 9 ô vuông. Hình B có 9 ô vuông. - HS so sánh: 9 (ô vuông) = 9 (ô vuông) Vậy diện tích hình A bằng diện tích hình B.
Cách 2: Vẽ hình A vào vở nháp, sau đó dùng kéo cắt theo đường cao hạ từ đỉnh cân xuống. Sau đó ghép hai mảnh của tam giác vừa cắt thành hình vuông.
Cách 3: Vẽ hình B vào vở nháp, sau đó cắt hình B thành hai hình tam giác và ghép lại để được hình A.
Qua ví dụ trên, đã cho thấy được có 3 cách sử dụng để hướng dẫn HS so sánh diện tích của hình A và hình B.Đồng thời thể hiện HS đã biết sử dụng kí hiệu, dấu hiệu trên giấy, phác thảo hình học,... được coi là biểu diễn trực quan có hiệu quả và được sử dụng rất nhiều trong môn toán. Bởi với HS tiểu học tư duy mang đậm màu sắc xúc cảm và chiếm ưu thế ở tư duy trực quan hành động nên biểu diễn trực quan sẽ giúp HS dễ tiếp thu bài cũng như gây hứng thú với HS.
2.2.1.2. Phân loại biểu diễn toán học
a) Biểudiễn theo qui ước và biểu diễn không theo quiước
Trong toán học có những biểu diễn đãđược phát triển theo thời gian và được thống nhất sử dụng rộng rãi trong chương trình môn toán, như: Hệ thống kí tự số, công thức, đồ thị, hình hình học, biểu đồ, ... Đây là những biểu diễn theo qui ước
(biểu diễn tiêu chuẩn). Ngoài ra, còn có những biểu diễn không theo qui ước (biểu
diễn không tiêu chuẩn) là các hệ thống ký hiệu, các sơ đồ, hình vẽ ước lệ, các mô hình, phác thảo có tính cá nhân, được tạo ra trong quá trình nhận thức toán học của mỗi cá nhân[21].
Ví dụ: Khi học xong bài “Chu vi hình chữ nhật” (SGK Lớp 3/ trang 87) thì HS biết được quy tắc và công thức tính chu vi hình chữ nhật:
Quy tắc: Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta lấy chiều dài cộng với chiều rộng (cùng đơn vị đo) rồi nhân với 2.
Công thức: P = (a+ b) x 2 ( P là chu vi hình chữ nhật, a là chiều dài hình chữ nhật, b là chiều rộng hình chữ nhật).
Nhận xét: Hoạt động biểu diễn ở đây được diễn đạt dưới dạng quy tắc và công thức. Với cách biểu diễn như trên là biểu diễn có qui ước.
Ví dụ: Cho mảnh đất được ghép bởi hình chữ nhật có chiều dài 14m, chiều rộng 6m và hình vuông có cạnh 7m. Tính diện tích mảnh đất.
Với bài tập này, sau khi đọc xong đề bài, HS có thể biểu diễn lại mảnh đất dưới dạng hình vẽ như hình bên. Cách HS biểu diễn như hình bên được gọi là biểu diễn không theo quy ước.
Hình 2.2. Biểu diễn không theo quy ước
b) Biểu diễn bên trong và biểu diễn bên ngoài
Biểu diễn bên trong thường diễn ra trong ý nghĩ của HS khi sử dụng biểu diễn để hỗ trợ cho tư duy, cho nhận thức hay giải quyết cácvấn đề toán học.
Biểu diễn bên ngoài thể hiện khi HS trình bày suy nghĩ, trao đổi, lập luận, giải thích, kết nối các đối tượng và các mối quan hệ toán học bằng BDTH. Như vậy, biểu diễn bên ngoài có chức năng hỗ trợ phát triển tư duy, đồng thời góp phần giao tiếp một cách hiệu quả, sáng tạo.
Ví dụ: Khi dạy bài “Diện tích của một hình” (SGK/trang 150), Bài tập 3: So sánh diện tích hình A với diện tích hình B.
Quá trình suy nghĩ, hình dung việc biểu diễn các hình sao cho mỗi hình ứng với số ô vuông cần tìm là biểu diễn bên trong. Khi HS tạo ra các hình có diện tích bằng nhau bằng cách thay đổi tương ứng trên bản vẽ thìđo là biểu diễn ngoài. Cùng
một “biểu diễn bên trong” nhưng HS có thể có “biểu diễn ngoài” là những sản phẩm khác nhau. Để rút ngắn khoảng cách này cần thông qua các hoạt động luyện tập, thực hành, chuyển đổi các BDTH.
c) Phân loạitheo các hình thức sửdụngcác BDTH
Theo J. Bruner chia biểu diễn thành 3 dạng có tính thứ tự từ thấp đến cao:
E (Enactive): Cụ thể → I (Iconic): Hình tượng → S (Symbolic): Kí hiệu. (viết tắt: EIS). Trong đó, cụ thể gồm các biểu diễn thực tế ở mức độ thấp nhất và các biểu diễn thao tác được; hình tượng các biểu diễn trực quan sử dụng các hìnhảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng...; kí hiệu gồm các biểu diễn ngôn ngữ và biểu diễn kí hiệu [4, tr.33]. Trên cơ sở nghiên cứu nguyên tắc EIS của J. Bruner và hệ thống biểu diễn của Lesh, Tadao đãđưa ra 5 dạng biểu diễn từ cao đến thấp dần. Tadao (2007) đưa ra 5 dạng biểu diễn từ cao đến thấp được trình bày trong Bảng 2.3.
Bảng 2.3. Các dạng biểu diễn toán học theo Tadao
Loại biểu diễn Nội dung Đặc điểm
Biểu diễn ký hiệu (S2) Sử dụng ký hiệu toán học (số, chữ
cái và các ký hiệu) Ngắn gọn và rõ ràng
Biểu diễn ngôn ngữ (S1)
Sử dụng ngôn ngữ toán học hoặc ngôn ngữ hằng ngày
Mangđến cảm giác quen thuộc nhưng thiếu cô đọng
Biểu diễn minh họa (I) Sử dụng hình ảnh, sơ đồ, đồ thị, biểu đồ
Giàu tính trực quan và sinh động
Biểu diễn thao tác (E2)
Biểu diễn bằng sử dụng các mô hình giả định hay các đối tượng
mà HS có thể tác động trựctiếp Cụ thể và tự nhiên
Biểu diễn thực tế (E1) Các biểu diễn dựa trên trạng thái của đối tượng thức
Ví dụ:Khi học bài “Hình chữ nhật” (SGK Lớp 3/ trang 84), có nhiều dạng để biểu diễn công thức hình chữ nhật như:
S2: Biểudiễn sử dụng kí hiệu toán học
Hình chữ nhật ABCD có:
-4 góc đỉnh A, B, C, D đều là các góc vuông.
- 4 cạnh gồm: 2 cạnh dài là AB và CD, 2 cạnh ngắn là AD và BC.
Hai cạnh dài có độ dài bằng nhau, viết là: AB = CD
Hai cạnh ngắn có độ dài bằng nhau, viết là: AD = BC
S1: Biểu diễn bằng ngôn ngữ:
- Hình chữ nhật có 4 góc vuông, có hai cạnh dài bằng nhau và 2 cạnh ngắn bằng nhau.
-Độ dài cạnh dài gọi là chiều dài, độ dài cạnh ngắn gọi là chiều rộng.
E2: Biểu diễn trên công cụ dạy học
GV chiếu trên máy: Trong các hình dưới đây, hình nào là hình chữ nhật?
E1: HS tự thao tác trên sách giáo khoa để tìmđúng hình nào là hình chữ nhật.
Trình tự cơ bản của biểu diễn là chuyển từ biểu diễn cụ thể đến biểu diễn trừu tượng độ cao ( biểu diễn kí hiệu, S2).
Cách phân loại của Taodao quan tâm đến việc chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn toán học cũng như trong từng dạng biểu diễn. HS có thể phát triển hiểu biết toán học khi HS sáng tạo, so sánh và sử dụng các biểu diễn khác nhau.
d) Phân loạitheo hoạt động biểu diễn
Hội Giáo viên Toán Hoa Kỳ (NCTM) (2014) đưa ra 5 loại hoạt động cho BDTH được nối kết với nhau như hình 2.3.
Hình 2.3. Sự chuyển đổi giữa các hoạt động biểu diễn toán học (NCTM, 2014)
- Biểu diễn trực quan (visual): minh họa, chỉ ra hoặc làm việc với các ý tưởng toán học bằng cách sử dụng sơ đồ, hình ảnh, trục số, đồ thị, và các hình vẽ khác.
- Biểu diễn bằng ký hiệu (symbolic): ghi nhớ hoặc làm việc với các ý tưởng toán học sử dụng số, biến, bảng và các ký hiệu khác.
- Biểu diễn bằng ngôn ngữ (verbal): sử dụng từ hoặc cụm từ để giải thích, tranh luận, xác định hoặc mô tả ý tưởng toán học, tạo cầu nối ngôn ngữ toán học hình thức và không hình thức.
- Biểu diễn theo ngữ cảnh (contextual): tình huống các ý tưởng toán học vào cuộc sống thực hoặc trong tưởng tượng.
(Trực quan)
(Ký hiệu)
(Ngôn ngữ)
(Tự nhiên)
- Biểu diễn tự nhiên (physical): sử dụng các vật thật để chỉ ra, thực hiện, tác động hay thao tác (như khối lập phương, que đếm, băng giấy,…).
Nhận thấy cách phân loại theo NCTM (2014) và Tadao (2007) có sự trùng nhau về tổng thể và ba dạng biểu diễn trực quan, ký hiệu và ngôn ngữ. Hai cách phân loại này đều chỉ ra giữa các dạng biểu diễn và trong mỗi dạng luôn có sự chuyển đổi giữa các kiểu BDTH là vấn đề rất cần thiết trong học toán, giúp HS hiểu sâu các khái niệm toán học và có công cụ hữu hiệu trong hoạt động giải toán.
2.2.1.3. Biểu diễn toán động
Biểu diễn trực toán động trên máy tính là biểu diễn trong đó cho phép sử dụng các thao tác tác động lên các đối tượng trong biểu diễn. Với sự hỗ trợ của máy tính cùng các phần mềm hình học động, có thể thiết kế được các biểu diễn loại này để hỗ trợ học sinh khám phá tri thức toán.
Finzer và Jackiw (1998) trong nghiên cứu của mình đã đề cập đến thao tác động trên các phần mềm hình học động và vai trò của nó trong hỗ trợ học sinh học toán. Chúng tôi tin rằng công nghệ có thể hỗ trợ tốt nhất cho việc học toán thông qua thực nghiệm bằng các thao tác động, trong đó người học khám phá, thực nghiệm và hình thành kiến thức toán học một cách tương tác. Các môi trường thao tác động được đặc trưng bởi ba tính chất:
• Thao tác là trực tiếp.
• Sự chuyển động là liên tục.
• Môi trường thuận lợi cho các thao tác.
Dựa vào ba đặc điểm trên, việc sử dụng các biểu diễn toán động cần tạo cho học sinh có sự chủ động trong việc tìm ra và thực hiện các thao tác động trên biểu diễn. Hơn nữa, trong những điều kiện cho phép, giáo viên có thể cho học sinh tự thiết kế biểu diễn trực quan và dùng nó để khảo sát, khám phá kiến thức cũng như giải quyết vấn đề.
Ví dụ: Khi dạy bài “Hình chữ nhật” trong chương trình toán lớp 3. Giáo viên có thể sử dụng biểu diễn trực quan động để HS dựa vào các yếu tố cạnh, góc, đỉnh của hìnhđể nhận dạng, nêu tên hình.
Qua việc chủ động dựng hình chữ nhật ABCD và khi kéo rê hình chữ nhật ABCD học sinh sẽ cảm thấy dễ dàng và thú vị hơn khi học chủ đề Góc và Hình ở lớp 3.