7. Cấu trúc luận văn
2.2.1 Biện pháp 1: Tổ chức cho HS các hoạt động nhận biết, hiểu và sử
các dạng biểu diễn về các đối tượng, quan hệ và các bước biến đổi toán học
2.2.1.1 Mục đích của biện pháp
Thông qua hoạt động dạy học hình thành và giúp HS hiểu đúng, sử dụng hợp lí các thuật ngữ, kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, bảng, biểu đồ,... trong quá trình học tập.
2.2.1.2 Nội dung biện pháp
Biện pháp này tác động đến thành tố thứ nhất của năng lực BDTH (đã trình bày trong chương 1). Các hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, công thức,...được xem là các BDTH trực quan có ý nghĩa nhất và được sử dụng rộng rãi nhất trong môn Toán. Do đó, HS cần hiểu đúng và sử dụng hiệu quả các kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, đồ thị,... để suy nghĩ, ghi nhớ hay trình bày một nội dung toán học. Điều này có ý nghĩa đặc biệt quan trọng đối với HS lớp đầu cấp.
2.2.1.3 Cách tổ chức thực hiện
a. Đầu tiên để bồi dưỡng được năng lực BDTH cho HS thì GV cần phải tự rèn luyện, tăng cường năng lực BDTH cho bản thân trong quá trình dạy học. Mỗi GV không chỉ hiểu, sử dụng đúng, hợp lí và chuẩn mực các biểu diễn tiêu chuẩn mà cần phải biết tạo ra các biểu diễn khác nhau cho cùng một nội dung toán học và tìm được cách biểu diễn phù hợp nhất.
GV cần nắm chắc, sử dụng đúng và hướng dẫn cho HS sử dụng đúng các dạng biểu diễn tiêu chuẩn của môn Toán đầu cấp THPT như sau:
(1) Các kí hiệu:
Các kí hiệu chỉ “quan hệ” thường dùng: =, <, >, ≤, ≥, ≠, ≈, ⊥, ∥, ∈, ∉, ⊂ , ⊃, ⇒, ⇔,...
Các kí hiệu phép toán: +, −,×, ∶,∪,∩, √ , √3 , ∑ ,... Các kí hiệu tập hợp số: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ,...
Mũ và chỉ số trên hoặc dưới: 𝑥2, 𝑥3, 𝑥1, 𝑥2,... Các kí hiệu khác: ∀, ∃, ∄, ∅, ±∞,...
Các kí hiệu về đơn vị đo độ dài, đo diện tích, đo khối lượng, đo góc: mm, cm, dm, m, km, m2, cm2, dm2, km2, g, kg, rad,...
(2) Các dạng bảng, biểu đồ: biểu đồ hình quạt, biểu đồ cột, các dạng bảng,...
(3) Các dạng sơ đồ, hình vẽ: các hình hình học, sơ đồ Ven, sơ đồ cây, sơ đồ tư duy,...dùng để hệ thống hóa kiến thức hay để chỉ ra mối quan hệ giữa các đối tượng toán học.
(4) Các dạng đồ thị: đồ thị của hàm số y=ax+b, đồ thị hàm số y=ax2, đồ thị hàm số y=ax2+bx+c (a≠0),...
Khi chuẩn bị soạn bài cho mỗi giờ lên lớp, GV cần tìm hiểu, làm rõ những biểu diễn HS đã biết và những biểu diễn được giới thiệu trong bài học mới để từ đó thiết kế các hoạt động học tập, liên kết, biến đổi và sử dụng các BDTH một cách phù hợp.
b. Theo tác giả Vũ Thị Bình, đối với các BDTH theo qui ước, được dạy tường minh như là một nội dung toán học thì GV cần thực hiện các bước sau:
Bước 1: GV giới thiệu một cách ngắn gọn cách gọi tên, cách viết, cách sử dụng các kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ, bảng,... Mô tả cấu tạo, ý nghĩa của BDTH bằng lời và bằng hình ảnh. Yêu cầu HS quan sát và mô tả lại (bằng lời hay bằng cách viết/vẽ ra), liên hệ với các biểu diễn đã biết có liên quan (nếu có).
Bước 2: Thực hiện các hoạt động nhận dạng và thể hiện các BDTH. Phân tích các kí hiệu, biểu tượng, những ưu điểm, hạn chế (nếu có) của các dạng biểu diễn khác nhau cho cùng một đối tượng hay quan hệ toán học theo từng trường hợp.
Bước 3: Vận dụng các BDTH trong các tình huống cụ thể, có tính minh họa. GV gợi ý, định hướng cho HS sử dụng BDTH một cách hợp lí.
Sau mỗi biểu diễn tiêu chuẩn được giới thiệu, GV nên dành thời gian để cho HS vận dụng biểu diễn trong trình bày, lập luận một cách phù hợp, sáng tạo.
c. Đối với các biểu diễn ở dạng mô hình, sơ đồ hướng dẫn, tóm tắt,... không thao những qui ước chặt chẽ, có tính trực quan, dễ cảm nhận, thường được sử dụng như công cụ để tư duy, ghi nhớ, tóm tắt, tổng kết, hệ thống hóa... Nếu là những BDTH đơn giản, quen thuộc, GV có thể cho HS tự giải mã. Còn nếu là các biểu diễn mới gặp hay phức tạp hơn thì GV cần có sự gợi ý, định hướng để HS hiểu đúng nội dung toán học mà biểu diễn đó thể hiện. Đối với các công cụ biểu diễn mới, GV cần hướng dẫn HS theo những bước sau: giới thiệu về công cụ biểu diễn; hướng dẫn các thao tác cơ bản để tạo ra các biểu diễn đó; minh họa sử dụng biểu diễn trong toán học và trong thực tiễn; thực hành vận dụng các BDTH từ dễ đến khó, từ nội dung đơn giản đến phức tạp.
Trong dạy học Hình học, khi một đối tượng hay quan hệ hình học mới được hình thành, GV cần chú trọng đến các hoạt động nhận dạng và thể hiện, như: đọc hình để trả lời câu hỏi, vẽ hình theo yêu cầu, ... Cần đảm bảo HS phải biết (và thành thạo) về vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận và cách trình bày chứng minh hình học. Đặc biệt trong dạy học Hình học, GV giúp HS từng bước hiểu và sử dụng “sơ đồ tìm đoán”- phép suy luận có tính chất tìm đoán, cụ thể ở đây là phép suy ngược tiến, coi đây như một công cụ quan trọng hỗ trợ tư duy trong quá trình tìm kiếm con đường chứng minh hình học.
Để giúp HS hiểu và sử dụng đúng các BDTH, điều kiện thuận lợi nhất để thực hiện các biện pháp nói trên là khi dạy học những khái niệm, định lí, những qui tắc, công thức hay một tri thức phương pháp; khi ôn tập, hệ thống hóa kiến thức,...
2.2.1.4 Những chú ý khi thực hiện biện pháp
Thứ nhất, để hình thành năng lực BDTH cho HS cần dạy cho HS cách sử dụng đúng các kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ, bảng,...đã được qui ước trong môn Toán. HS cần được tiếp cận chúng trên nhiều phương diện và thông qua các hoạt động học tập gắn với tình huống cụ thể.
Thứ hai, khi tổ chức dạy học cần chú ý:
- GV cần phối hợp giữa mô tả bằng lời và bằng hình ảnh (viết, vẽ,...) đảm bảo sự chuẩn mực, tính chính xác, có điểm nhấn để thu hút HS khi quan sát, nhận diện và làm theo.
- Lực chọn tình huống, bối cảnh vận dụng đa dạng, phong phú. - Tạo cơ hội cho HS thể hiện việc luyện tập sử dụng các biểu diễn. - Việc đánh giá, nhận xét cần được xem xét theo quan điểm của người học. - Đặt ra các câu hỏi (không phán xét) để HS tự lí giải cho sự lựa chọn của mình, tạo điều kiện cho HS thể hiện sự linh hoạt, sáng tạo trong hoạt động BDTH.
Ví dụ 2.1: Dạy học giới thiệu về kí hiệu ∀ và ∃ (SGK Đại số 10, trang 7) Bước 1: GV phân tích ví dụ 6 (SGK Đại số, trang 7), ví dụ 7 (SGK Đại số, trang 8) và giới thiệu như trong SGK một cách rõ ràng kết hợp lời nói và viết bảng: “Kí hiệu ∀ đọc là “với mọi”; Kí hiệu ∃ đọc là “có một” (tồn tại một) hay “có ít nhất một” (tồn tại ít nhất một)”.
Cho HS ghi nhận kí hiệu và đồng thời viết lại ví dụ 6, 7 trong SGK lên bảng nhằm khắc sâu ý nghĩa của hai kí hiệu trên cho HS.
Ví dụ 6: Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0 ∀𝑥 ∈ ℝ: 𝑥2 ≥ 0 ℎ𝑎𝑦 𝑥2 ≥ 0, ∀ 𝑥 ∈ ℝ
Ví dụ 7: Có một số nguyên nhỏ hơn 0 ∃𝑛 ∈ ℤ: 𝑛 < 0
Bước 2: Phân tích kí hiệu ∀ và ∃ trong mệnh đề phủ định của một mệnh đề. Trong một mệnh đề bất kì có chứa kí hiệu ∀ (hay kí hiệu ∃) đều có thể lập được mệnh đề phủ định của mệnh đề ban đầu có chứa kí hiệu ∃ (hay kí hiệu
∀). GV phân tích rõ ràng, chi tiết ví dụ 9 (SGK Đại số 10, trang 8) để HS nắm được mệnh đề chứa kí hiệu ∀ (hay kí hiệu ∃) và mệnh đề phủ định của nó, cách lập mệnh đề phủ định chứa kí hiệu ∃ (hay kí hiệu ∀).
GV cho HS theo dõi và ghi chép lại mệnh đề P và mệnh đề phủ định 𝑃̅
Bước 3: HS vận dụng làm các hoạt động 8, 9, 10 (ĐS 10, tr.8), 11 (ĐS 10, tr.9) và tham khảo làm các bài tập 5, 6, 7 trong SGK Đại số 10 trang 10 để hiểu rõ và rèn luyện khả năng sử dụng kí hiệu ∀, ∃ từ mức độ nhận thức, thông hiểu:
Bài 5 (SGK ĐS 10, tr.10): Dùng kí hiệu ∀, ∃ để viết các mệnh đề sau: a) Mọi số nhân với 1 đều bằng chính nó;
b) Có một số cộng với chính nó bằng 0; c) Mọi số cộng với số đối của nó đều bằng 0. Đến vận dụng, vận dụng cao:
Bài 7 (SGK ĐS 10, tr.10): Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó:
a) ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝑛 𝑐ℎ𝑖𝑎 ℎế𝑡 𝑐ℎ𝑜 𝑛
b) ∃ 𝑥 ∈ ℚ ∶ 𝑥2 = 2
c) ∀ 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 < 𝑥 + 1
d) ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∶ 3𝑥 = 𝑥2 + 1
Ví dụ 2.2: Củng cố khái niệm hàm số bậc hai y=ax2+bx+c (a≠0) cho HS thông qua bài tập sau:
1) Hãy biểu diễn hàm số y=-2x2+x+3 theo các cách khác nhau, chỉ ra ưu điểm của mỗi cách biểu diễn.
2) Hãy lấy ví dụ trong thực tiễn có ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai
Nhận xét: đối với bài tập này HS có thể đưa ra một số cách biểu diễn sau:
Dạng công thức: y=-2x2+x+3
Ưu điểm của cách này là biểu diễn ngắn gọn, mang tính khái quát.
Dạng bảng:
x ... -1 0 1 ...
y=-2x2+x+3 ... 0 3 2 ... Ưu điểm: trình bày tường minh, cụ thể tại một số giá trị của đối số ta có ngay giá trị của hàm số. Cách trình bày này sẽ giúp HS dễ thực hiện các thao tác vẽ đồ thị hàm số.
Dạng đồ thị:
Hình 2.1
Ưu điểm của cách biểu diễn này là giúp HS dễ tưởng tượng vì tính trực quan, dễ xác định được các giá trị tương ứng của x và y.
Trong thực tiễn dễ thấy nhiều công trình thường gặp có liên quan đến hàm số bậc hai như: các đài phun nước, cảnh bắn pháo hoa, các cây cầu, vòm nhà, cổng ra vào, hầm đường bộ, quỹ đạo (đường đi) của quả bóng trong bóng đá,...
Ví dụ như cổng parabol của trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Hình 2.2: Cổng parabol của trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Việc tổ chức cho HS thực hành, luyện tập để HS tự nhận xét, đánh giá các biểu diễn sẽ giúp HS hiểu sâu hơn về hàm số nói chung và hàm số bậc hai nói riêng. Hàm số có thể được biểu diễn đại số, biểu diễn theo thống kê hay biểu diễn
bằng đồ thị. Qua đó, HS sẽ thấy được ý nghĩa thực tiễn của nội dung toán học được học, vai trò của BDTH trong học tập và góp phần hình thành khả năng chuyển đổi các dạng BDTH của cùng một nội dung toán học cho HS.
Ví dụ 2.3: Củng cố kiến thức về các hệ thức lượng trong tam giác vuông (hoạt động 1 SGK Hình học 10, tr.46)
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH=h và có BC=a, CA=b, AB=c. Gọi BH=c’ và CH=b’. Hãy điền vào các ô trống trong các hệ thức sau đây để được các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Hình 2.3 𝑎2 = 𝑏2+ sin 𝐵 = cos 𝐶 = 𝑎 𝑏2 = 𝑎 × sin 𝐶 = cos 𝐵 = 𝑎 𝑐2 = 𝑎 × tan 𝐵 = cot 𝐶 = 𝑐 ℎ2 = 𝑏′ × 𝑎ℎ = 𝑏 × cot 𝐵 = tan 𝐶 = 𝑏 1 = 1 𝑏2+ 1 𝑐2
Nhận xét: Để nắm được kiến thức hình học và giúp cho việc giải quyết các vấn đề hình học gặp phải trong quá trình học tập được nhanh chóng, chính xác thì HS cần được ôn lại kiến thức giống như dạng bài tập trên. Bài tập trên giúp HS gợi nhớ lại những kiến thức đã học về hệ thức lượng trong tam giác vuông nhằm làm cơ sở, nền tảng cho HS tiếp thu kiến thức mới có liên quan trong chương trình toán 10 là các hệ thức lượng trong tam giác, giải tam giác. Đồng
thời, bài tập như trên còn rèn cho HS hiểu và sử dụng đúng các BDTH dưới dạng hình vẽ, kí hiệu, thuật ngữ. Tương tự như:
Ví dụ 2.4: Thực hiện các nhiệm vụ sau:
1) Quan sát các hình vẽ sau, cho biết trong mỗi hình đường tròn lượng giác biểu diễn cung có số đo là?
... ...
... ... Hình 2.4
2) Điền vào chỗ trống (...) những từ thích hợp để được khẳng định đúng: Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có ... cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B.
Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là ...
Số đo của các cung lượng giác có cùng ...sai khác nhau ... của 2𝜋. Ta viết:
𝑠đ 𝐴𝑀↷ = ⋯ , 𝑘 ∈ ℤ.
cos(𝑎 − 𝑏) = ⋯ cos 𝑏 + sin 𝑎 … ; sin(𝑎 − 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 … cos 𝑎 sin 𝑏 sin 𝑎 … = ⋯ [cos(𝑎 − 𝑏) … cos(𝑎 + 𝑏)]
Điền các giá trị vào bảng sau: 𝛼 0 𝜋 6 𝜋 4 𝜋 3 𝜋 2 sin 𝛼 ... ... ... ... ... cos 𝛼 ... ... ... ... ... tan 𝛼 ... ... ... ... Không xác định cot 𝛼 Không xác định ... ... ... ...
3) Bài 6 (SGK Đại số 10, tr. 140): Trên đường tròn lượng giác gốc A, xác định các điểm M khác nhau biết rằng cung có số đo tương ứng là (trong đó k là số nguyên tùy ý)
k 𝜋; k 𝜋 2; k 𝜋
3.
Ví dụ 2.5: Sau khi học xong về vecto cùng phương, vecto cùng hướng, ngược hướng, các vecto bằng nhau, GV có thể củng cố bằng một số bài tập sau: a) Các khẳng định sau đúng hay sai ?
1) Vecto – không là vecto có phương tùy ý.
2) Hai vecto cùng phương với một vecto thứ ba thì cùng phương với nhau 3) Hai vecto cùng phương với một vecto thứ ba khác 0⃗ thì cùng phương với
nhau.
4) Hai vecto cùng ngược hướng với một vecto thứ ba thì cùng hướng với nhau. 5) Điều kiện cần để hai vecto bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau. b) Hãy chỉ ra các vecto cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vecto bằng nhau trong hình sau (bài 2 SGK Hình học 10, tr.7):
Hình 2.5
c) Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.
1) Tìm các vecto khác vecto 0⃗ và cùng phương với vecto 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ; 2) Tìm các vecto bằng vecto 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .
d) Cho hình bình hành ABCD.
Dựng 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ .
Nhận xét: Các bài tập trên đều nhằm giúp cho HS hiểu và sử dụng đúng các BDTH về vecto dưới dạng hình vẽ, kí hiệu, thuật ngữ. Trong dạy học về các đối tượng và quan hệ hình học, cần phải cho HS luyện tập các dạng bài tập tương tự để thứ nhất là củng cố kiến thức đã học cho HS, thứ hai là để HS rèn luyện sử dụng các BDTH.
Ví dụ 2.6 Dạy học dấu của nhị thức bậc nhất
GV có thể đưa ra bài tập dạng phiếu học tập như sau: Cho hàm số f(x)=2x+3, hãy thực hiện những yêu cầu sau:
a) Xác định –b/a =?
b) Điền giá trị đúng vào ? trong bảng các giá trị sau:
x ... -3 -2 -3/2 -1 0 ... f(x) ... ...?... ...?... 0 ...?... ...?... ...
c) Em có nhận xét gì về dấu của các giá trị f(x) ?
GV có thể gợi ý cho HS nhận xét về dấu các giá trị của f(x) tại x thuộc
(−𝑏
𝑎; +∞) và (−∞; −𝑏
𝑎) so với hệ số a?
HS quan sát, hiểu và “giải mã” để đi đến dự đoán. GV nhận xét và kết luận định lí dấu của nhị thức bậc nhất.
Nhận xét: Qua các hoạt động đa dạng, HS học được cách sử dụng các BDTH, phù hợp trong tìm kiếm các giải pháp cũng như giúp HS nắm chắc, hiểu sâu tri thức toán học.
Ví dụ 2.7 (bài 10 SGK Hình học 10, tr.60)
Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300 m. Từ P và Q thẳng hàng đến chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc 𝐵𝑃𝐴̂ = 350 và 𝐵𝑄𝐴̂ = 480. Tính chiều cao của tháp.
Yêu cầu HS đọc và suy nghĩ về yêu cầu của bài toán. GV gợi ý cho HS: Đề bài cho biết những gì?