7. Cấu trúc luận văn
1.2.3 Đặc điểm của biểu diễn toán học trong sách giáo khoa toán 10
Đa số HS hiện nay học toán theo chương trình cơ bản nên trong luận văn này tôi lựa chọn SGK đại số 10 và SGK hình học 10 cơ bản (chuẩn) hiện hành của Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – NXBGD để phân tích.
Chương trình toán lớp 10 THPT gồm 105 tiết chia làm hai phần: Đại số và Hình học với tỉ lệ số tiết Đại số cả năm học gấp gần 1,5 lần số tiết Hình học. Về chương trình, theo Dự thảo chương trình giáo dục tổng thể (2018) thì nội dung chương trình Toán xoay quanh ba mạch kiến thức: số và đại số, hình học
và đo lường, thống kê và xác suất. Một số BDTH trong nội dung Số và Đại số, thống kê thể hiện trong SGK Đại số 10 được trình bày chi tiết trong phụ lục 5, cụ thể một số BDTH ví dụ như: Chương 1: Mệnh đề. Tập hợp Cách biểu diễn 1 (NNTN) Cách biểu diễn 2 (kí hiệu) Cách biểu diễn 3
(biểu tượng, hình vẽ, biểu đồ Ven,...) Phần bù của khoảng từ 2 đến +∞ trong ℝ là nửa khoảng từ -∞ đến 2 ℝ ∖ (2; +∞) = (-∞; 2] Tập các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 20 A= {𝑥 ∈ ℕ/ x < 20, x⋮3}. A = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} Tập hợp C gồm các phần tủ thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B C = A ∪ B Tập hợp các số nguyên là tập con của tập hợp các số hữu tỉ. ℤ ⊂ ℚ Đoạn từ a đến b (trên tập hợp số thực) [a; b] ={x∈ ℝ|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai Cách biểu diễn 1
(biểu diễn bằng công thức)
Cách biểu diễn 2 (biểu diễn dạng bảng)
Cách biểu diễn 3 (biểu diễn bằng đồ thị)
Hàm số y = 1 2𝑥2 X -2 -1 0 1 2 y = 1 2𝑥2 2 1/2 0 1/2 2
Chương 3: Phương trình và hệ phương trình
- Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: 3x - 2y = 7 Cách biểu diễn 1: Tập nghiệm A ={(x; y)/ 3x - 2y = 7}. Cách biểu diễn 2: X -2 -1 0 1 2 Y -13/2 -5 -7 -2 -1/2 Cách biểu diễn 3:
Hình 1.6: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 3x - 2y = 7
- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Cách biểu diễn 1:
Tập nghiệm A ={(xo; yo)/ {𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1 (𝑑) 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2 (𝑑′)}.
Hình 1.7: Minh họa tập nghiệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các giao điểm của đường thẳng (d) và (d’). Do đó, xảy ra ba trường hợp như trên.
Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn 2x + y ≤ 3 Cách 1: A = {M(x0; y0)|2𝑥0 + 𝑦0 ≤ 3}
Cách 2: biểu diễn hình học
Hình 1.8: Biểu diễn hình học miền nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn 2x + y ≤ 3.
Bên cạnh đó còn có nội dung định lí dấu của nhị thức bậc nhất hay tam thức bậc hai đều có nhiều cách biểu diễn khác nhau như ví dụ 1.1.
Chương 5: Thống kê
Như bài tập mẫu SBT Đại số 10 trang 142, cho các số liệu thống kê thành tích chạy 50 m của học sinh lớp 10A ở trường Trung học phổ thông C (đơn vị : giây) 6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6 6,6 6,7 7,0 7,1 7,2 8,3 8,5 7,4 7,3 7,2 7,1 7,0 8,4 8,1 7,1 7,3 7,5 7,5 7,6 8,7 7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8 Ngoài yêu cầu như trong SBT.
Yêu cầu khác: nhận xét trong lớp 10A số HS chạy 50m hết từ 7s đến dưới 8,5s chiếm bao nhiêu phần trăm ? Đa số HS có thành tích chạy 50 m nằm trong khoảng thời gian nào ?
Các số liệu thu thập được có thể được đưa ra bằng bảng như trên hay bằng bảng tần số, tần suất và bằng các dạng biểu đồ. Đó cũng chính là một số cách biểu diễn HS có thể lựa chọn tùy mục đích và sự nhạy bén của mỗi HS để giải quyết nhanh chóng yêu cầu của bài.
Bảng tần số, tần suất:
Lớp thời gian chạy (s) Tần số Tần suất (%)
[6,0; 6,5) 2 6,06 [6,5; 7,0) 5 15,15 [7,0; 7,5) 10 30,30 [7,5; 8,0) 9 27,27 [8,0; 8,5) 4 12,12 [8,5; 9,0] 3 9,10 Cộng 33 100 (%)
Biểu đồ tần suất hình cột về thời gian (giây) chạy 50 m của HS lớp 10A ở trường THPT C.
Hình 1.9: (Nguồn: SBT Đại số 10)
Đường gấp khúc tần suất về thời gian (giây) chạy 50 m của học sinh lớp 10A ở trường THPT C
Hình 1.10: (Nguồn: SBT Đại số 10)
Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác.
Như ở ví dụ 1.2 có thể biểu diễn định nghĩa các giá trị lượng giác của một cung như sau:
Cách 1: Biểu diễn sử dụng kí hiệu toán học
sin 𝛼 = 𝑂𝐾̅̅̅̅; cos 𝛼 = 𝑂𝐻̅̅̅̅;
tan 𝛼 = sin 𝛼
cos 𝛼 (cos 𝛼 ≠ 0); cot 𝛼 = cos 𝛼
Trong đó: cung ↷
𝐴𝑀 có sđ ↷
𝐴𝑀 = 𝛼 ; 𝑂𝐾̅̅̅̅ = 𝑦; 𝑂𝐻̅̅̅̅ = 𝑥; M=(x;y). Cách 2: Biểu diễn bằng ngôn ngữ
Trên đường tròn lượng giác cho cung ↷
𝐴𝑀 có sđ ↷
𝐴𝑀 = 𝛼.
Tung độ y = 𝑂𝐾̅̅̅̅ của điểm M gọi là sin của 𝛼. Hoành độ x = 𝑂𝐻̅̅̅̅ của điểm M gọi là cos của 𝛼.
Nếu cos 𝛼 ≠ 0, tỉ số sin 𝛼
cos 𝛼 gọi là tang của 𝛼 và kí hiệu là tan 𝛼 (người ta
còn dùng kí hiệu tg 𝛼).
Nếu sin 𝛼 ≠ 0, tỉ số cos 𝛼
sin 𝛼 gọi là côtang của 𝛼 và kí hiệu là cot 𝛼 (người ta
còn dùng kí hiệu cotg 𝛼).
Cách 3: Biểu diễn bằng hình vẽ minh họa
Hình học thì gồm 3 chương sau: Chương 1: Vecto
Chương 2: Tích vô hướng của hai vecto và ứng dụng Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Trong SGK toán lớp 10 bao gồm cả đại số và hình học đều xuất hiện các dạng biểu diễn từ cao đến thấp dần theo phân loại của Tadao: Biểu diễn kí hiệu (S2), biểu diễn ngôn ngữ (S1), biểu diễn minh họa (I), biểu diễn thao tác (E2), biểu diễn thực tế (E1).
Biểu diễn kí hiệu (S2): ví dụ 7 (SGK Đại số, trang 8)
Câu “Có một số nguyên nhỏ hơn 0” là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau: ∃ 𝑛 ∈ ℤ ∶ 𝑛 < 0.
Đây là ví dụ sử dụng số, chữ cái và các kí hiệu toán học.
Biểu diễn ngôn ngữ (S1): Ví dụ định nghĩa vecto pháp tuyến của đường thẳng trong SGK Hình học 10, trang 73:
Vecto 𝑛⃗ được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu 𝑛⃗ ≠ 0⃗ và 𝑢⃗
vuông góc với vecto chỉ phương của ∆.
Biểu diễn minh họa (I): Trong SGK Đại số 10 – trang 115 đã sử dụng biểu đồ hình cột để mô tả chiều cao của 36 HS trong bảng phân bố tần số ghép lớp (đã được trình bày ở bài trước).
Biểu diễn thao tác (E2): Như biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn: x+2y<4. (Bài tập 1 SGK Đại số 10, tr.99)
Với những dạng bài tập này, để HS dễ hiểu GV có thể sử dụng các phần mềm công cụ hỗ trợ dạy học để thao tác, giải thích, minh họa cho HS thấy tập nghiệm hoặc miền nghiệm. Trong ví dụ này, GV có thể sử dụng phần mềm Graph để minh họa như sau:
Hình 1.11: Minh họa miền nghiệm bằng Graph
Biểu diễn thực tế (E1): Ví dụ trong SGK Đại số, trang 139
Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có số đo lần lượt là: a) 25𝜋
4 ; b) -765o.
Hay ví dụ như hoạt động 4 trong SGK Hình học, trang 87: Hãy xác định tọa độ các tiêu điểm và vẽ hình elip trong ví dụ đã cho bên trên trong SGK.
Đối với những ví dụ này HS cần tự vẽ đường tròn lượng giác, vẽ hình elip và biểu diễn các cung lượng giác, xác định tọa độ tiêu điểm theo yêu cầu.
Từ những phân tích trên, đặc điểm của BDTH trong SGK toán 10 có thể được xác định là tính ngắn gọn, rõ ràng trong biểu đạt các nội dung toán học; các BDTH giàu tính trực quan, cụ thể; tính linh hoạt, uyển chuyển trong chuyển đổi giữa các dạng BDTH giúp cho các nhóm HS tiếp thu kiến thức hiệu quả.
1.2.4 Năng lực biểu diễn toán học
Theo OECD (2009), năng lực BDTH là khả năng sử dụng và thao tác thành thạo nhiều loại biểu diễn khác nhau cho các đối tượng và tình huống toán học. Các biểu diễn bao gồm: Đồ thị, bảng biểu, biểu đồ, hình ảnh, sơ đồ, văn bản cũng như các biểu diễn đại số và biểu diễn kí hiệu toán học khác. Trọng tâm của năng lực này là khả năng hiểu và sử dụng mối quan hệ giữa các biểu diễn khác nhau. Do đó mà năng lực BDTH được OECD xác định là một năng lực cơ bản, quan trọng trong 8 năng lực Toán học đăc trưng.
Theo Vũ Thị Bình (2016), năng lực BDTH là khả năng hiểu, sử dụng, lựa chọn, tạo ra và chuyển đổi các BDTH để suy nghĩ, ghi nhớ, mô tả, giải thích, lập luận, kết nối và trao đổi các ý tưởng trong giải quyết các vấn đề toán học. Đây là quan niệm phù hợp với hướng nghiên cứu của luận văn.
Trong quá trình giải quyết một vấn đề toán học, khả năng sử dụng, thao tác thành thạo các loại biểu diễn thích hợp, chính xác đóng vai trò quan trọng hàng đầu dẫn đến việc giải quyết vấn đề toán học gặp phải có hiệu quả và nhanh chóng hay không. Đồng thời, do môn toán thường có nhiều nội dung trừu tượng nên HS thường tiếp cận với đối tượng, nội dung toán học gặp phải thông qua đại diện của chúng. Năng lực BDTH cũng góp phần phát triển khả năng tư duy, suy luận và giúp HS sử dụng chính xác, có hiệu quả NNTH trong quá trình học tập môn toán. Chính vì vậy, trong quá trình dạy và học môn toán cần chú trọng rèn luyện, phát triển năng lực BDTH cho HS.
Trong mỗi lớp học, trình độ hay khả năng nhận thức, tiếp thu kiến thức toán học của mỗi HS là không đồng đều. Vì vậy, đối với từng HS lại có những loại biểu diễn phù hợp với nhận thức cá nhân riêng. Do đó, trong quá trình dạy và học môn toán việc thiết lập một nội dung, ý tưởng toán học theo nhiều loại biểu diễn khác nhau góp phần giúp cho HS tiếp thu tốt nội dung kiến thức và đồng thời ở chiều hướng ngược lại nếu HS có thể trình bày một nội dung toán học theo nhiều loại biểu diễn thì tức là HS đó đã hiểu và nắm vững, chính xác nội dung, ý tưởng toán học đó.