- Hệ toạ độ quan sát
3. Quỹ tích_Locus: 1 Khái niệm
3.1. Khái niệm
Trong hình học, quỹ tích là tập hợp của tất cả các vị trí có thể có của một đối tợng thỏa mãn điều kiện đặc biệt nào đó. Cho ví dụ, bạn có thể xác định quỹ tích của những điểm cách đều hai điểm cố định hoặc quỹ tích của những đờng tròn có tâm chạy trên một đờng tròn cố định và đi qua một điểm cố định.
Các đối tợng xét quỹ tích có thể là các điểm, các đờng thẳng, đờng tròn, cung tròn, đa giác, và các phần trong.
Trong Sketchpad, một quỹ tích mô tả vị trí của một đối tợng trong khi điểm nào đó (mà đối tợng phụ thuộc di chuyển dọc theo một đờng dẫn cho trớc. Nói một cách hình thức thi quỹ tích là tập hợp các vị trí của một đối tợng sinh ra khi một điểm mà đối tợng đó phụ thuộc di chuyển theo lộ trình cho trớc.
Ta có thể lấy một vài ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho E là trung điểm của đoạn CD, điểm D cố định còn C chạy trên đoạn AB cho trớc. Ta có quỹ tích của điểm E là đoạn thẳng song song với AB và có độ dài bằng một nửa AB. Trong ví dụ này, điểm E là đối tợng bị điều khiển, điểm C là điểm điều khiển, và đoạn AB là đờng dẫn.
Đối tợng điều khiển: C Đờng dẫn: AB Đối tợng bị điều khiển: E
Quỹ tích của điểm E
Đối tợng điều khiển: điểm C Đờng dẫn: (O,OA) Đối tợng bị điều khiển: (C,CA)
O A A C
Quỹ tích của đờng tròn (C,CA) Ví dụ 2: Đờng tròn (C,CA) có tâm C nằm trên đờng tròn (O,OA) cho tr- ớc. Quỹ tích của đờng tròn (C,CA) khi điểm C chạy dọc theo đờng tròn (O,OA) là hình có dạng sóng (đợc mô tả ở bảng dới đây). Trong ví dụ này, đờng tròn (C,CA) là đối tợng bị điều khiển, điểm C là điểm điều khiển, và đờng tròn (O,OA) là đờng dẫn.
Nếu bạn cảm thấy việc xác định ra nhóm: đối tợng điều khiển, đờng dẫn, và đối tợng bị điều khiển để xác định một quỹ tích nh vậy không thích hợp, ta có thể xem xét quỹ tích với các cách nhìn khác.
Có một số ngời xem quỹ tích trong Sketchpad nh là một sự hình dung về một hàm trừu tợng. Trong cách nhìn này, một biến độc lập (đối tợng điều khiển) đợc giới hạn trên một miền đặc biệt (đờng dẫn). Giá trị của biến độc lập này (hình dung nh vị trí trên đờng dẫn) quyết định giá trị của một số biến phụ thuộc (hình dung nh đối tợng bị điều khiển). Quỹ tích ở đây chính là xấp xỉ tập các giá trị của hàm đó. Nó chỉ là một xấp xỉ vì Sketchpad chỉ cho quỹ tích dới dạng một số hữu hạn các giá trị của hàm đợc sắp xếp theo trật tự chứ không liệt kê tất cả các giá trị. Điều này đợc thể hiện rõ trong ví dụ 2, biến độc lập là điểm C giới hạn trong đờng dẫn là đờng tròn (O,OA); mỗi giá trị của biến C (vị trí trên đờng tròn) quyết định giá trị của biến phụ thuộc là đờng tròn (C,CA); quỹ tích là xấp xỉ tập tất cả các giá trị của biến phụ thuộc ở đây là một số vị trí của đờng tròn (C,CA) đợc sắp xếp một cách trật tự.
Một số ngời lại xem quỹ tích nh là hình dạng vết của một chuyển động. Với cách nghĩ này ta có một điểm chuyển động tự do (đối tợng điều khiển) chạy dọc theo một đối tợng mà nó đợc xác định (đờng dẫn) tạo nên những vết của các đối tợng tạo vết (đối tợng bị điều khiển). Khi điểm di chuyển tự do thì đối t- ợng tạo vết vẽ nên quỹ tích của nó.
Việc đặt tên cho những khái niệm động là cả một vấn đề và nó có một lịch sử từ rất lâu: khi De Witt và Johan Isaac Newton nghiên cứu sự xây dựng của hình conic vào thế kỷ XVII, họ dùng thuật ngữ directrix để nói tới cái mà chúng ta gọi là vật điều khiển (driver). Ngày nay, khi nói về các quỹ tích dạng này các nhà toán học lại dùng thuật ngữ directrix để thay cho cái mà chúng ta đang gọi là đờng dẫn (driver path)!
Sử dụng tuỳ chọn Edit/Properties/Plot ta có thể thay đổi mức độ xấp xỉ của một quỹ tích (thông thờng có thể thay đổi từ 10 đến 10000 mẫu).
Trong toán học, một quỹ tích có thể mô tả với một số vô hạn vị trí của đối tợng bị điều khiển. Tuy nhiên, để trình bày một số vô hạn vị trí theo đúng yêu cầu sẽ không khả thi với một máy tính. Thay vào đó Sketchpad chỉ trình
bày một số lớn (nhng không vô hạn) vị trí đợc sắp một cách đều đặn. Mỗi vị trí mà Sketchpad trình bày đợc gọi một mẫu (sample).
3.2. Cách xây dựng quỹ tích:
Để xây dựng một quỹ tích, trớc hết ta phải xây dựng đối tợng bị điều khiển (đối tợng mà bạn muốn tìm quỹ tích) theo mối liên hệ với đối tợng điều khiển. Đối tợng điều khiển ở đây phải là một điểm nằm trên một đờng dẫn cho trớc hoặc bạn phải xây dựng một đờng dẫn riêng biệt dọc theo quỹ đạo của đối tợng điều khiển.
Các bớc xây dựng một quỹ tích:
i. Lựa chọn đối tợng điều khiển và đối tợng bị điều khiển.
ii. Nếu đối tợng điều khiển là một điểm độc lập, thì ta lựa chọn đờng dẫn cho nó (một đờng dẫn không phụ thuộc vào đối tợng điều khiển) sau đó liên kết điểm điều khiển với đờng dẫn.
iii. Dùng tuỳ chọn Construct/Locus để dựng quỹ tích.
3.3. Các dạng thể hiện một quỹ tích:
Bạn có thể thay đổi màu và độ đậm nét của một quỹ tích gióng nh làm với những đối tợng khác, và bạn cũng có thể đặt nhãn cho một quỹ tích điểm. Bên cạnh đó còn có một số thao tác đặc biệt mà chỉ có thể làm với quỹ tích.
Khi một quỹ tích mới đợc xây dựng, số mẫu (sample) của nó đợc mặc định bởi một giá trị đợc cho trong bảng giá trị u tiên (Advanced Preferences).
+Xác định số mẫu:
Sau khi một quỹ tích đã đợc xây dựng, bạn có thể sử dụng tuỳ chọn Edit/Properties/Plot để thay đổi số mẫu. Nói chung số mẫu càng lớn thì quỹ tích càng tốt nhng chiếm dung lợng lớn nên di chuyển sẽ chậm chạp hơn.
+Quỹ tích liên tục (Continuous Plot) và quỹ tích gián đoạn (Discrete Plot):
Nếu quỹ tích là một quỹ tích điểm, thì bạn có thể sử dụng tuỳ chọn Edit/Properties/Plot để lụa chọn việc thể hiện quỹ tích dới đờng liên tục (các mẫu liên kết với nhau bằng các đoạn thẳng) hay các điểm rời rạc (các mẫu rời nhau). M O A B C M O A B C
Một quỹ tích điểm đơn giản là quỹ tích của một điểm, ngợc với quỹ tích của một đờng tròn hoặc đờng thẳng hoặc những đối tợng khác.
+Thay đổi kích thớc của một quỹ tích điểm:
Nếu một quỹ tích điểm đợc dựa vào một đờng dẫn đóng (nh một đờng tròn) hoặc hữu hạn (nh một đoạn hoặc cung) thì miền của đối tợng điều khiển đợc cố định. Nhng nếu đờng dẫn là mở và vô hạn (nh một tia hoặc đờng thẳng) thì miền của đối tợng điều khiển là vô hạn. Điều này dẫn đến khả năng quỹ tích là vô hạn! Nếu có thể, Sketchpad giới hạn miền của đờng dẫn vào trong trang màn hình. Mỗi quỹ tích điểm vô hạn nh vạy thờng chỉ đợc biễu diễn bởi một đoạn và điểm mút có đặt dấu mũi tên.
l k d M A D
Nếu bạn muốn thay đổi kích thớc của một quỹ tích điểm, hãy sử dụng công cụ mũi tên để kéo đầu mũi tên của quỹ tích để kéo dài hay rút ngắn độ dài của quỹ tích.