Sử dụng phần mềm Geometer's Sketchpad làm phơng tiện trực quan trong quá
2.3.3.3 Các đối tợng cơ bản.
Có tất cả 13 dạng đối tợng cơ bản trong một văn bản Sketchpad. Ngoài các chức năng riêng của mình, mỗi đối tợng còn đợc dùng vào nhiều thao tác khác. Sau đây chúng tôi trình bày sơ bộ về các đối tợng cùng với các chức năng của chúng.
+ Điểm (Point).
Điểm là một thành tố cơ bản của hình học cổ điển, và những hình hình học khác nh những đờng thẳng và đờng tròn đều đợc định nghĩa dới dạng tập hợp điểm. Tất cả các phác thảo hình học của Sketchpad đều khởi nguồn từ các điểm. Các điểm trong Sketchpad đợc chia thành ba loại: điểm độc lập, điểm thuộc một đờng (đờng thẳng, đờng tròn,...) và giao điểm.
+ Đoạn thẳng, tia, đờng thẳng (Segment, Ray, và Line).
Đoạn thẳng, tia, và đờng thẳng là những đối tợng cơ bản trong hình
học Euclide, các hình hình học phần lớn thờng đợc xây dựng từ những đối tợng này. Chúng ta có thể xác định các đối tợng này qua hai điểm cho trớc, qua một điểm và song song hay vuông góc với một đờng thẳng đã chọn, tia phân giác của góc tạo thành bởi ba điểm.
Ta có thể sử dụng các đờng thẳng làm giá chứa các điểm, làm trục đối xứng của các phép đối xứng trục, dựng trung điểm của đoạn thẳng, dựng giao
điểm với các đờng khác (đờng thẳng, đờng tròn, cung...). Chúng ta có thể thực hiện các phép đo với các đờng thẳng nh: độ dài của một đoạn thẳng, tỷ lệ độ dài của hai đoạn thẳng, hiển thị phơng trình của một đờng thẳng, hệ số góc của một đoạn thẳng, tia, và đờng thẳng.
+ Đờng tròn và cung tròn.
Để vẽ nên các đối tợng này ngời ta thờng dùng công cụ Compa, ngoài ra còn có nhiều cách khác nhau để xây dựng một đờng tròn nh: đờng tròn từ tâm và một điểm nằm trên đờng tròn, đờng tròn từ tâm và độ dài bán kính. Với cung tròn ta có thể xác định qua ba điểm, cung tròn nằm trên đờng tròn đã chọn có hai đầu mút là hai điểm trên đờng tròn ấy.
Tơng tự nh đờng thẳng, ta có thể sử dụng các đờng tròn và cung tròn nh là giá con đờng chứa các điểm, xây dựng phần trong của chúng (hình tròn, hình cung, hình quạt) và giao điểm với các đờng khác, xây dựng hệ trục toạ độ nhận hình tròn đó làm hình tròn đơn vị. Một số lệnh trong chức năng Measure trên thanh Menu cho phép thực hiện các phép đo với các đờng tròn và cung tròn nh: chu vi của một đờng tròn, bán kính của một đờng tròn hoặc một cung tròn, diện tích của một đờng tròn, phơng trình của một đờng tròn, độ dài của một cung tròn, số đo của một cung tròn.
+ Đa giác và các phần trong
Trong Sketchpad có 4 dạng phần trong cơ bản gồm: đa giác, hình tròn, hình quạt tròn và hình viên phân của một cung tròn.
Ta có thể sử dụng các phần trong này làm giá chứa các điểm. Chẳng hạn một điểm chạy dọc theo chu của một đa giác, một hình tròn... Với các phần trong ta có thể đo diện tích, chu vi, bán kính, góc cung hay độ dài cung.
+ Phép đo, phép tính, và tham số:
Những phép đo, những phép tính, và những tham số là ba loại đối tợng của Sketchpad đợc biểu hiện dới dạng những con số, và nh vậy chúng có nhiều đặc trng chung. Kết quả của các phép đo và các phép tính cho ta thấy mối quan
hệ giữa các đối tợng. Các tham số cho phép ta có thể điều chỉnh các đối tợng theo ý đồ của tài liệu. Các giá trị của các phép đo, phép tính, và các tham số có thể sử dụng trong các phép biến đổi, tạo điểm, tính toán, tạo các hàm số, và phép lặp.
Tất cả các phép tính, tất cả các tham số, và đa số các phép đo đều chỉ có một giá trị đơn. Những giá trị này đều đợc sử dụng theo cùng một cách nh nhau: các giá trị có đơn vị độ dài (cm, inch) có thể đợc chỉ định làm giá trị độ dài trong phép tịnh tiến, xây dựng hệ trục tọa độ lấy giá trị độ dài làm độ dài đơn vị, các giá trị có đơn vị góc (độ, radian) có thể đợc chỉ định làm góc quay trong phép quay hay góc tịnh tiến, các giá trị không có đơn vị có thể đợc chỉ định làm hệ số trong phép vị tự.
+ Hệ toạ độ:
Một hệ toạ độ lợng tử hoá mặt phẳng và xác định vị trí các đối tợng trong mặt phẳng đó. Một hệ toạ độ đợc xác định bởi các thành phần cơ bản nh: gốc tọa độ, độ dài đơn vị, và một hệ thống các trục. Gốc tọa độ là một điểm nằm tại vị trí trung tâm của hệ toạ độ. Độ dài đơn vị xác định kích thớc của mỗi đơn vị trên một trục. Hệ thống các trục của hệ toạ độ xác định cách đo của hệ toạ độ đó. Thông thờng ta hay dùng hệ tọa độ dạng vuông có hệ thống đờng kẻ thẳng đứng và nằm ngang, khoảng cách giữa các đờng bằng nhau và bằng độ dài đơn vị. Dạng thứ hai là hệ toạ độ chữ nhật cũng gồm các đờng thẳng đứng và ngang nhng khoảng cách giữa các đờng đứng và các đờng ngang không bằng nhau. Với hai dạng này thì tọa độ mỗi điểm đợc biểu bởi cặp sô (x,y). Cuối cùng là hệ toạ độ cực, gồm hệ thống các đờng tròn có tâm là gốc toạ độ, khoảng cách giữa các đờng tròn liên tiếp bằng độ dài đơn vị để xác định khoảng cách đến gốc toạ độ và hệ thống các đờng thẳng qua gốc toạ độ, hai đờng cạnh nhau tạo với nhau một góc không đổi để xác định góc tạo với phơng ngang. Tọa độ mỗi điểm là cặp (r,theta).
Các phép đo, hàm, hệ số góc, toạ độ điểm... thờng dựa trên một hệ toạ độ xác định. Với một hệ trục tọa độ ta có các thao tác cơ bản nh: thay đổi đơn vị; dựng một điểm trên hệ tọa độ; vẽ đồ thị cho một hàm số.
Mặc dù đa số các tài liệu Sketchpad chỉ mặc định một hệ toạ độ, nhng nếu muốn vẫn có thể tạo ra nhiều hệ toạ độ tồn tại cùng một lúc. Khi tồn tại cùng lúc nhiều hệ toạ độ thì mỗi điểm, mỗi đồ thị... sẽ mang toạ độ, phơng trình khác nhau trên các hệ toạ độ khác nhau, qua đó ta có thể so sánh mối tơng quan giữa các toạ độ. Tuy nhiên trong một thời điểm bất kỳ luôn có một hệ toạ độ đ- ợc chỉ định làm hệ toạ độ chính và các tính toán tại thời điểm đó phụ thuộc vào hệ toạ độ đó.
+ Quỹ tích (Locus).
Trong hình học, quỹ tích là tập hợp của tất cả các vị trí có thể có của một đối tợng thỏa mãn điều kiện đặc biệt nào đó. Cho ví dụ, bạn có thể xác định quỹ tích của những điểm cách đều hai điểm cố định hoặc quỹ tích của những đờng tròn có tâm chạy trên một đờng tròn cố định và đi qua một điểm cố định.
Các đối tợng xét quỹ tích có thể là các điểm, các đờng thẳng, đờng tròn, cung tròn, đa giác, và các phần trong.
Trong Sketchpad, một quỹ tích mô tả vị trí của một đối tợng trong khi điểm nào đó (mà đối tợng phụ thuộc di chuyển dọc theo một đờng dẫn cho trớc. Nói một cách hình thức thì quỹ tích là tập hợp các vị trí của một đối tợng sinh ra khi một điểm mà đối tợng đó phụ thuộc di chuyển theo lộ trình cho trớc.
Có một số ngời xem quỹ tích trong Sketchpad nh là một sự hình dung về một hàm trừu tợng. Trong cách nhìn này, một biến độc lập (đối tợng điều khiển) đợc giới hạn trên một miền đặc biệt (đờng dẫn). Giá trị của biến độc lập này (hình dung nh vị trí trên đờng dẫn) quyết định giá trị của một số biến phụ thuộc (hình dung nh đối tợng bị điều khiển). Quỹ tích ở đây chính là xấp xỉ tập các
giá trị của hàm đó. Nó chỉ là một xấp xỉ vì Sketchpad chỉ cho quỹ tích dới dạng một số hữu hạn các giá trị của hàm đợc sắp xếp theo trật tự chứ không liệt kê tất cả các giá trị. Một số ngời lại xem quỹ tích nh là hình dạng vết của một chuyển động. Với cách nghĩ này ta có một điểm chuyển động tự do (đối tợng điều khiển) chạy dọc theo một đối tợng mà nó đợc xác định (đờng dẫn) tạo nên những vết của các đối tợng tạo vết (đối tợng bị điều khiển). Khi điểm di chuyển tự do thì đối tợng tạo vết vẽ nên quỹ tích của nó.
Trong toán học, một quỹ tích có thể mô tả với một số vô hạn vị trí của đối tợng bị điều khiển. Tuy nhiên, để trình bày một số vô hạn vị trí theo đúng yêu cầu sẽ không khả thi với một máy tính. Thay vào đó Sketchpad chỉ trình bày một số lớn (nhng không vô hạn) vị trí đợc sắp một cách đều đặn. Mỗi vị trí mà Sketchpad trình bày đợc gọi một mẫu (sample).
Với một quỹ tích điểm, thì ta có thể lựa chọn cách thức thể hiện quỹ tích dới dạng một đờng liên tục (các mẫu liên kết với nhau bằng các đoạn thẳng) hay các điểm rời rạc (các mẫu rời nhau).
MO
O
A
B
C
M
O
A
B
C
Một quỹ tích điểm đơn giản là quỹ tích của một điểm, ngợc với quỹ tích của một đờng tròn hoặc đờng thẳng hoặc những đối tợng khác.
Nếu một quỹ tích điểm đợc dựa vào một đờng dẫn đóng (nh một đờng tròn) hoặc hữu hạn (nh một đoạn hoặc cung) thì miền của đối tợng điều khiển đợc cố định. Nhng nếu đờng dẫn là mở và vô hạn (nh một tia hoặc đờng thẳng) thì miền của đối tợng điều khiển là vô hạn. Điều này dẫn đến khả năng quỹ tích là vô hạn! Nếu có thể, Sketchpad giới hạn miền của đờng dẫn vào trong trang
O
AC C
màn hình. Mỗi quỹ tích điểm vô hạn nh vậy thờng chỉ đợc biễu diễn bởi một đoạn và điểm mút có đặt dấu mũi tên.
l k d M A D
+ Hàm số và đồ thị hàm số (Function, Function Plots).
Sketchpad cho phép định nghĩa những hàm số bằng phơng trình của nó và có thể vẽ đồ thị của chúng trên một hệ thống tọa độ.
Sketchpad cho phép tạo ra những hàm số và họ các hàm số; đánh giá những hàm số và sử dụng chúng trong những việc tính toán; soạn thảo những hàm số hay vẽ đồ thị hàm số trong các hệ toạ độ chữ nhật hay hệ tọa độ cực; kết
hợp và tạo ra những hàm số bằng nhiều cách khác nhau; phân biệt sự khác biệt giữa các hàm số.
+ Phép lặp (Iteration) và các hình ảnh (Iterated Images).
Tác động lặp một hành động hay một thao tác chính là làm đi làm lại hành động đó nhiều lần. Trong toán học, tác động lặp tơng ứng với quá trình áp dụng một quy tắc dựng hình, một phép tính, hoặc một thao tác nào đó lên chính kết quả trớc đây của chính thao tác đó. Muốn vậy kết quả của mỗi thao tác (đầu ra) phải có dạng giống với dữ kiện ban đầu (đầu vào).Một thao tác sẽ dùng đầu
21 1 -1 -2 -4 -2 2 f x( ) = a⋅x2+b⋅x+c c = -1.00 b = 2.00 a = 1.00
a b c Định lý Pitago: a2 + b2 = c2 B C A
ra của thao tác trớc làm đầu vào và đầu ra của nó sẽ trở thành đầu vào của thao tác tiếp sau, cứ nh vậy lặp đi lặp lại nhiều lần.
Sketchpad cho phép bạn thực hiện tác động lặp bất kì mối quan hệ toán học nào (đã xây dựng trong tài liệu hiện thời) để tạo ra các đối tợng nh các hình phân hình (fractal), các hình tự đồng dạng, hay các dãy số và chuỗi.
Khi định nghĩa những tác động lặp mới
cũng có thể: tạo ra tác động lặp kép mà trong đó mỗi bớc lặp sản sinh không chỉ một đầu ra mà có nhiều đầu ra. Các tác động lặp nh vậy sẽ tạo ra những mảng trang trí và những hình phân hình (ví dụ nh hình trên, AB có hai ảnh là A’C và CB’); tạo ra những tác động lặp mà số lần lặp của nó phụ thuộc vào một tham số hay một kết quả tính toán nào đó trong tài liệu.
+ Bảng biểu (Table)
Sử dụng bảng biểu để khảo sát sự thay đổi giá trị của các tham số theo thời gian. Trong một bảng thờng có nhiều cột và nhiều hàng, mỗi cột biểu thị cho một phép đo còn mỗi hàng biểu thị giá trị của phép đo tại thời điểm hàng đ- ợc thêm vào bảng.
+ Lời thuyết minh
Trong một tài liệu Sketchpad chúng ta thờng sử dụng những lời thuyết minh để giải thích một vấn đề nào đó. Bạn có thể định dạng những lời thuyết minh này qua việc lựa chọn kích thớc, kiểu chữ, màu, các biểu tợng toán học, công thức toán học... Bên cạnh đó
bạn còn có thể hợp nhất những giá trị của những phép đo, những phép tính, với những nhãn của những đối tợng đó trong một lời thuyết minh.
Ví dụ nh lời thuyết minh: "Một hình chữ nhật có hai cạnh là 3cm và 2cm có diện tích là 6cm2" đợc tạo ra từ việc hợp nhất hai lời thuyết minh "Một
C B' B' A'
hình chữ nhật có hai cạnh là", "có diện tích là" với hai tham số a=3 cm, b=2 cm và một phép tính a.b=6 cm2. Khi các đối tợng thay đổi thì lời thuyết minh t- ơng ứng thay đổi theo.
+ Nút điều khiển (Action Button).
Những nút điều khiển là những đối tợng tạo ra trong tài liệu, khi bấm vào sẽ thực hiện một hoạt động nào đó nh ẩn hoặc hiện (hide, show) những đối t- ợng, di chuyển hoặc làm sống động (animate) các đối tợng, liên kết (link) với một trang khác trong tài liệu hoặc tới một trang web, cuộn (scoll) cửa sổ tài liệu tới một vị trí đặc biệt, hoặc tiến hành một biểu diễn. Sử dụng những nút điều khiển cho phép ta lặp lại những hoạt động thờng xuyên đợc tiện lợi hơn hoặc hỗ trợ trong việc diễn giải một vấn đề đợc sinh động hơn mà không cần chỉnh sửa lại sau mỗi lần sử dụng.
Có 6 loại nút điều khiển cơ bản bao gồm:
