- Hệ toạ độ quan sát
2.5.3.2Sử dụng phần mềm Geometer's Sketchpad vào dạy học định lý ch ơng quan hệ vuông góc.
ơng quan hệ vuông góc.
Việc dạy học định lý nhằm cung cấp cho học sinh một trong những vốn kiến thức cơ bản của bộ môn. Đó cũng là những cơ hội thuận lợi để phát triển ở học sinh khả năng suy luận và chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ.
Thông thờng việc dạy học định lý có thể đợc thực hiện thông qua hai con đờng: suy diễn và suy đoán. Hai con đờng này đợc minh họa bởi sơ đồ sau:
Tùy theo nội dung mỗi định lý và điều kiện cụ thể mà lựa chọn con đờng cho phù hợp. Tuy vậy trong cả hai cách trên thì phơng tiện trực quan luôn đóng vai trò quan trọng trong hai khâu chính đó là tạo động cơ và củng cố định lý.
Theo sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000, chơng quan hệ vuông góc có khá nhiều định lý quan trọng:
+ Trong bài đầu tiên, hai đờng thẳng vuông góc, có định lý về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa hai đờng thẳng. Trong hình học phẳng cũng có một định lý phát biểu hoàn toàn tơng tự. Điều đáng lu ý ở đây lại là mệnh đề đảo của nó. Trong hình học phẳng thì đúng nhng trong không gian thì không còn đúng nữa. Đây là một điểm dễ mắc sai lầm ở học sinh mà giáo viên cần lu ý nhấn mạnh. Chúng ta có thể thực hiện tốt điều này bằng việc sử dụng hệ trục đã xây dựng. Có thể sơ lợc nh sau: Trớc hết ta cho xây dựng mô hình tổng thể gồm 3 đờng thẳng a, b, c trong đó a//b và c⊥a. Mô hình này có thể dùng để giới thiệu định lý đồng thời đặt vấn đề về sự đúng đắn của
Gợi động cơ và phát biểu vấn đề
Suy diễn dẫn tới định lý Dự đoán và phát biểu định lý Phát biểu định lý Chứng minh định lý Vận dụng định lý để giải quyết vấn đề đặt ra Củng cố định lý
mệnh đề đảo cho học sinh. Sau khi cho học sinh nhận xét về tính đúng đắn của mệnh đề đảo, giáo viên chốt lại kết luận và lấy phản ví dụ bằng mô hình. Phản ví dụ có thể thực hiện bằng cách cho đờng thẳng b quay quanh trục c (qúa trình quay này đờng thẳng b luôn nằm trong mặt phẳng cố định vuông góc với c).
+ Có thể nói trọng tâm của chơng quan hệ vuông góc tập trung trong bài số 2: Đờng thẳng vuông góc vói mặt phẳng. Tất cả có 4 định lý và 5 tính chất gồm: Định lý mở đầu cho khái niệm đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng và hệ quả; 2 định lý về sự xác định đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng; nhóm 5 tính chất về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng; định lý ba đờng vuông góc; định lý xác định mặt phẳng trung trực.
Nói chung có thể có nhiều cách chứng minh cho một định lý. Chẳng hạn khi dạy định lí:
Qua một điểm O cho trớc, có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đờng thẳng ∆ cho trớc[3, tr 61].
Ta có thể dùng phơng pháp đi từ định lý tơng tự trong hình học phẳng: Có một và chỉ một đờng thẳng a' đi qua một điểm O và vuông góc với một đờng thẳng a cho trớc.
Từ đó chuyển sang định lý trong không gian.
Trong trờng hợp này ta có thể dùng phép chiếu đứng để thể hiện ý tởng. Đầu tiên ta dựng sẵn mô hình gồm: một đờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng trong không gian (mặt phẳng này song song với mặt phẳng Oxy), dựng kèm với hai mặt phẳng phụ trong quá trình chứng minh (hai mặt phẳng này ta cho ẩn đi bằng một nút điều khiển).
Sau khi dựng xong mô hình trong không gian ta chuyển hệ trục sang góc độ chiếu đứng (chỉ hiển thị mặt Oxy), lúc này ta sẽ thu đợc mô hình của định lí trong hình học phẳng.
Với mô hình này, sau khi dẫn dắt cho học sinh phát biểu lại định lý trong hình học phẳng, ta đặt vấn đề mở rộng định lý đã biết sang hình học không
gian. Sau khi các thao tác suy đoán của học sinh (dới sự định hớng của giáo viên) ta cho học sinh tự phát biểu định lý. Để củng cố cho sự tởng tợng không gian vừa hình thành ở học sinh ta cho quay hệ trục sang nhiều góc độ khác nhau và tiến hành chứng minh (nếu cần). Việc cho xoay chuyển hệ trục sẽ giúp học sinh có đợc một biểu tợng đúng đắn, tránh đợc hiện tợng chỉ thuộc cách phát biểu định lý mà không nắm đợc ý nghĩa của nó dẫn đến việc không biết cách vận dụng khi giải toán.
Vừa rồi là một ví dụ minh họa cho phơng pháp sử dụng các phép chiếu bằng, chiếu đứng... để chuyển các bài toán phẳng sang các bài toán không gian. Phơng pháp này còn đợc dùng nhiều trong dạy giải bài tập toán.
Trong bài này việc sử dụng mô hình không gian có thể mang lại hiệu quả rất tốt, đặc biệt với nhóm 5 tính chất về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc. Ta có thể gợi động cơ bằng cách lấy tiền đề là 2 định lý trong hình học phẳng: ⇒ ⊥ ⊥ a // b c b c a và ⊥ ⇒ ⊥ a c a // b b c .
Sau đó đặt vấn đề cho học sinh: kiểm tra tính đúng đắn của chúng khi lần lợt thay 1 hoặc 2 đờng thẳng thành mặt phẳng (lu ý với các trờng hợp có hai mặt phẳng vuông góc ta để lại cho bài tiếp theo). Lấy ví dụ với định lý đầu ta có 4 trờng hợp: ⇒ ⊥ ⊥ (P) //(Q) c (Q) c (P) ; ⇒ ⊥ ⊥ (P) // b c b c (P) ; ⇒ ⊥ ⊥ a //(P) c (P) c a và ⇒ ⊥ ⊥ a // b (P) b (P) a .
Trong 4 trờng hợp trên có 2 trờng hợp thuộc nhóm 5 tính chất mà sách giáo khoa đề cập đến (trờng hợp 1 và trờng hợp 4). Trờng hợp 2 là đúng và có thể suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Riêng trờng hợp 3 không còn đúng nữa.
Tất cả các trờng hợp trên ta có thể lấy chung một mô hình là một hình lập phơng.
Bằng thao tác cho ẩn/hiện các đối tợng không cần thiết (hay tô đậm các đối tợng chính) kết hợp với lời thuyết minh giáo viên có thể giới thiệu cho học sinh cả phần chứng minh của 5 tính chất (phần chứng minh này đặc soạn sẵn và có thể cho hiện ra cùng lúc với các đối tợng liên quan trong mỗi trờng hợp). Nh vậy với 4 trờng hợp trên ta tạo ra 4 nút trình diễn, khi ta click chuột vào nút trình diễn nào thì hình minh họa cùng với lời giải tơng ứng sẽ hiện lên.
Với cách làm này giáo viên có thể định hớng cho học sinh tự tìm tòi khám phá một cách tích cực. Tránh đợc tình trạng học sinh chỉ đợc giới thiệu các tính chất mà không hiểu nguồn gốc cũng nh ý nghĩa của chúng dẫn đến áp dụng một cách máy móc, không linh hoạt.
+ Bài 3, hai mặt phẳng vuông góc, có bốn định lý về hai mặt phẳng vuông góc kèm với chứng minh cụ thể cho từng định lý. Bài 4, khoảng cách, có định lý về sự xác định đờng vuông góc chung và 3 tính chất về khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau. Bài 5, góc, chỉ có 1 định lý diện tích hình chiếu và hệ quả.
Cả 3 bài này chỉ có một định lý quan trọng là định lý diện tích hình chiếu. Định lý thoạt nhìn thì nó mang ý nghĩa là công cụ tính toán nhiều hơn, tuy nhiên có rất nhiều bài toán có thể ứng dụng định lý này rất hiệu quả (nhất là
A B C A’ D D’ C’ B’
các bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng). Để học sinh nhận thấy đợc các ứng dụng nh vậy, khi dạy định lý này ta không chỉ đa ra mô hình cho định lý một cách đơn độc mà sử dụng một mô hình của một bài toán có sử dụng định lý để giải. Chẳng hạn, ta gợi động cơ bằng cách xét bài toán: