, α β γ theo cụng thức trờn?
c)cosα + cosβ + cosγ
Nếu BD '⊥(ACB') thỡ hỡnh hộp đó cho
là hỡnh lập phương.
HS giỏi cú thể phỏt biểu bài toỏn theo yờu cầu của GV. Khi cỏc em phỏt biểu được
bài toỏn thỡ cỏc em cũng đó phỏt hiện ra sự tương tự giữa bài toỏn 3 và bài toỏn vừa phỏt biểu. Vỡ thế, bằng cố gắng trớ tuệ cỏc em cú thể giải được.
BA A C I D A’ B’ C’ I’ D’ Hỡnh 20
Nhưng nếu cỏc em khụng phỏt hiện được mối quan hệ giữa hai bài toỏn thỡ GV cú thể gợi ý:
GV: Hóy cố gắng nhỡn xem cú mối quan hệ nào giữa bài toỏn này với bài toỏn 5 khụng? – Một phần của hỡnh hộp là tam diện vuụng B.AB'C.
GV: Như thế giả thiết của bài toỏn 4 và bài toỏn 3 cú một phần tương tự nhau. Ta cú mối liờn hệ nào giữa cỏc gúc α β γ, , chưa? – Ta cú
2 2 2
cos α +cos β +cos γ =1.
GV: Nếu λ ϕ ψ, , là gúc hợp bởi OH với OA, OB, OC thỡ cú mối liờn hệ nào giữa cos , cos , cosλ ϕ ψ nữa khụng? Hóy xem cỏc gúc hợp bởi OH với
OA, OB, OC và cỏc gúc giữa mp ABC( ) với cỏc mặt phẳng
(OBC , OAC , OAB) ( ) ( ) cú liờn quan như thế nào với nhau? – Là cỏc gúc phụ nhau. Do đú: cos2λ =sin2λ = −1 cos2α, cos2ϕ =sin2ϕ = −1 cos2β,
2 2 2
cos ψ =sin ψ = −1 cos γ.
GV: Hóy phỏt biểu bài toỏn mới.
Bài toỏn 11.5. Cho tứ diện OABC cú OA, OB, OC vuụng gúc với nhau từng đụi một. Kẻ OH vuụng gúc với mặt phẳng (ABC). λ ϕ ψ, , lần lượt là số đo cỏc gúc hợp bởi OH với OA, OB, OC. Chứng minh rằng
2 2 2
cos λ +cos ϕ +cos ψ =1.
GV: Tiếp tục khai thỏc bài toỏn, nếu
OH khụng cũn là đường vuụng gúc mà là
đường bất kỡ thỡ cú cũn mối liờn hệ nào giữa cos , cos , cosλ ϕ ψ nữa khụng?
Bài toỏn 11.6. Cho tứ diện OABC cú
OA, OB, OC vuụng gúc với nhau từng đụi một. M là một điểm thuộc miền trong tam giỏc ABC. λ ϕ ψ, , lần lượt là số đo cỏc gúc hợp bởi OM với cỏc cạnh bờn OA, OB, OC. Chứng minh rằng cos2λ +cos2ϕ +cos2ψ =1.
OA’ C’ A’ C’ B’ H A B C M Hỡnh 21
GV: Để sử dụng dược kết quả của bài toỏn 5 ta cần tạo ra yếu tố nào? (Hỡnh 21) Dựng mp Q( ) ⊥OM tại H. Mặt phẳng này cắt cỏc cạnh OA, OB, OC theo thứ tự A ', B ', C '.
GV: Trong tứ diện OA ' B ' C ' ta cú điều gỡ? – Ta cú cos2λ +cos2ϕ +cos2ψ =1 .
Bài toỏn 11.7. Cho hỡnh lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là điểm trờn đường thẳng AD, AB, AA ' sao cho
a 2a 5a
AM , AN , AP
2 3 4 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
= = = . Xỏc định khoảng cỏch từ điểm A tới mặt phẳng
(MNP).
GV: Để tớnh khoảng cỏch từ điểm A tới mặt phẳng (MNP) ta cú thể làm như thế nào? Cú liờn quan nào với bài toỏn đó biết khụng?
HS: Gọi H là chõn đường vuụng gúc hạ từ đỉnh A xuống mặt phẳng
(MNP). Khi đú ta cú 2 2 2 2
1 1 1 1 10a
AH
AH = AM +AN +AP ⇒ = 689 .
Bài toỏn 11.8. Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D '. Gọi λ ϕ ψ, , là gúc giữa cỏc đường thẳng AB, AD, AA ' với AC '. Chứng minh rằng
2 2 2
cos λ +cos ϕ +cos ψ =1.
Bài toỏn 11.9. Cho hỡnh lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh bằng a. Tớnh tổng cỏc bỡnh phương cỏc hỡnh chiếu vuụng gúc của cỏc cạnh lờn một đường chộo chớnh.
Bài toỏn 11.10. Cho hỡnh lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh bằng a. Tổng cỏc bỡnh phương cỏc hỡnh chiếu vuụng gúc của cỏc cạnh lờn một mặt phẳng bất kỡ bằng bao nhiờu?
Vớ dụ 12:
Bài toỏn 12.1. Chứng minh rằng hỡnh chiếu vuụng gúc của đỉnh A của tam giỏc ABC trờn cỏc đường phõn giỏc trong và ngoài của gúc B và gúc C
(Hỡnh 22a) Gọi A , A1 2 lần lượt là hỡnh chiếu của A lờn đường phõn giỏc trong và phõn giỏc ngoài của gúc B. Dễ thấy AA BA1 2 là hỡnh chữ nhật. Suy ra
1 2
AB A A∩ =O thỡ O là trung điểm của AB. Ta cũng cú: Vỡ OA1=OB⇒ OBAã 1=CBA 1ã 1( )
Vỡ BA1 là phõn giỏc trong của gúc B nờn OBAã 1 =CBA 2ã 1( )
Từ ( ) ( ) ã ã
1 1 1 2
1 , 2 ⇒OA B CBA= ⇒A A / /BC. Mặt khỏc A A1 2 đi qua trung điểm của AB nờn A A1 2 nằm trờn đường trung bỡnh của tam giỏc ABC. Tương tự như thế, chứng minh được hai hỡnh chiếu của C lờn phõn giỏc trong và phõn giỏc ngoài của gúc C cũng nằm trờn đường trung bỡnh của tam giỏc ABC. Như vậy bốn hỡnh chiếu của A thẳng hàng. A A1 2 nằm trờn đường trung bỡnh của tam giỏc ABC thỡ nú cũng cỏch đều đỉnh A và đỏy BC.
Con đường để chứng minh bài toỏn tương tự trong mặt phẳng gợi cho một hướng chứng minh bài toỏn trong khụng gian là
6 điểm đú cựng nằm trờn một mặt phẳng song song với mặt phẳng (BCD), đú là mặt phẳng cỏch đều đỉnh A và mặt phẳng
(BCD). Dự đoỏn như thế, HS cú được hướng để giải bài toỏn, hoặc nếu vẫn chưa tự mỡnh giải được thỡ cỏc em cũng hiểu vỡ sao GV lại làm như vậy. Cỏc em cũng cú thể tự đọc sỏch tham khảo vỡ hiểu được vỡ sao sỏch lại kẻ thờm đường phụ này, hay phõn tớch bài toỏn như thế. Lời giải cuối cựng mà sỏch đưa ra chỉ ghi lại kết quả của quỏ trỡnh suy nghĩ và tỡm tũi chứ khụng ghi lại quỏ trỡnh đú. Hỡnh 22a B C A A1 A2 O A3 A4
Bài toỏn 12.2. Hỡnh chiếu vuụng gúc của đỉnh một tứ diện lờn cỏc mặt phẳng phõn giỏc trong và ngoài của cỏc nhị diện cạnh tương ứng với đỉnh của nú đồng phẳng.
(Hỡnh 22b) Gọi A1 là hỡnh chiếu của A lờn mặt phẳng phõn giỏc trong của nhị diện cạnh BC. Chứng minh A1 cỏch đều A và mặt phẳng (BCD).
Thật vậy, Kẻ A H1 1 ⊥(BCD),
mặt phẳng (AA H1 1) giao với
đường thẳng BC tại O. Do đú giao tuyến của mặt phẳng (AA H1 1) và mặt phẳng (BCA1) là A O1 . Vỡ 1 ( ) 1 1 1 1 BC AA BC AA H BC A H ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒AOHã 1 là gúc phẳng nhị diện cạnh BC (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
và OA1 là phõn giỏc trong của AOHã 1.
Qua A1 dựng mặt phẳng ( )α song song với mặt phẳng (BCD). Giao tuyến của ( )α và (AA H1 1) là đường thẳng ∆. Khi đú ∆/ /OH1 (giao tuyến của mặt phẳng thứ ba với hai mặt phẳng song song).
Hạ AH⊥ ∆ thỡ AH A H= 1 1 (theo kết quả của bài toỏn trong mặt phẳng)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1) 1 1 / / BCD AA H BCD AA H α ⇒ α ⊥ ⊥ Kết hợp với ( ) (α ∩ AA H1 1) = ∆, AH⊥ ∆ ⇒AH⊥ α( ) . Suy ra ( )α cỏch đều đỉnh A và (BCD). Vớ dụ 13:
Bài toỏn 13.1. Cho xOyã và điểm A xOy∈ã . Dựng qua A đường thẳng ∆
sao cho ∆ cắt Ox,Oy tại M, N:
Hỡnh 22b α H H1 A1 A D B C O