Vớ dụ 11:
Bài toỏn 11.1. Cho tam giỏc ABC. Vẽ đường thẳng a qua A và song song với BC, đường thẳng b qua B và song song với CA, đường thẳng c qua
C và song song với AB. Cỏc đường thẳng a∩ =b M, c b N,∩ = c a P∩ = . Chứng minh rằng A, B,C là trung điểm cỏc cạnh của tam giỏc MNP.
(Hỡnh 17) Theo cỏch dựng ta cú cỏc hỡnh bỡnh hành: ACBM, ACNB nờn
AC BM BN= = ⇒B là trung điểm của MN. Tương tự ta cú A, B,C là trung điểm cỏc cạnh của tam giỏc MNP.
GV: Em cú thể mở rộng bài toỏn trong khụng gian khụng?
Bài toỏn 11.2. Cho tứ diện ABCD. Qua mỗi đỉnh của tứ diện vẽ cỏc mặt phẳng song song với mặt đối diện. Cỏc mặt phẳng ấy cắt nhau tạo thành cỏc đỉnh M, N, P,Q. Chứng minh rằng A, B,C, D lần lượt là trọng tõm của cỏc mặt tứ diện.
(Hỡnh 18) Qua A dựng mặt phẳng song song với mp NPQ( ). Khi đú mặt phẳng này cắt (MNP , MNQ , MPQ) ( ) ( ) theo cỏc giao tuyến
IJ / /NP, IK / /NQ, JK / /PQ.
Vỡ mp ABD / /mp NPQ( ) ( ) nờn mp ABD( ) cắt cỏc mặt phẳng mp MPQ ,( )
( ) ( )
mp MNP , mp MNQ theo cỏc giao tuyến IK, IJ, JK lần lượt song song với
NQ, NP, PQ. A A M P C B N a c b Hỡnh 17 _P M K B’ C A B D J I N Q Hỡnh 18
( )
mp ABD cắt hai mặt phẳng song song mp MNP , mp ABC( ) ( ) theo giao tuyến IJ, AB nờn IJ / /AB. Tương tự, IK / /DB, JK / /AD.
Vậy ỏp dụng bài toỏn phẳng đối với tam giỏc ABD ta cú: A, B, D lần lượt là trung điểm ba cạnh IK, KJ, IJ.
Gọi B' MB PQ= ∩ . Theo định lớ Tha lột: MJ MB JB K MP = MB'=PB'B'Q = Β
B'
⇒ là trung điểm của PQ.
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cú B thuộc cỏc đường trung tuyến của tam giỏc MPQ nờn Blà trọng tõm của tam giỏc MPQ.
Chứng minh tương tự cho cỏc điểm A, C, D.
Bài toỏn 11.3. Cho tứ diện OABC cú OA, OB, OC vuụng gúc với nhau từng đụi một. Gọi α β γ, , lần lượt là số đo của cỏc gúc giữa mp ABC( ) với cỏc mặt phẳng (OBC , OAC , OAB) ( ) ( ). Chứng minh rằng:
a) cos2α +cos2β +cos2γ =1.
b) ( ) (2 ) (2 ) (2 )2
ABC OBC OCA OAB
SV = SV + SV + SV .
Lời giải: a) (Hỡnh 19)
GV: Cỏc em đó được biết cụng thức nào liờn quan đến cosin của gúc giữa hai mặt phẳng ( ) ( )P , P ' ? – Cụng thức S' S.cos= ϕ, trong đú S là diện tớch của đa giỏc H trong mặt phẳng ( )P và
S' là diện tớch hỡnh chiếu H’ của H trờn mặt phẳng ( )P ' .
GV: Hóy biểu diễn cosin cỏc gúc
, ,α β γ theo cụng thức trờn? (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});