, AA '= a Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường chộo AC B'D ' (Hỡnh 2) Đoạn vuụng gúc chung của
a) Xem xột một đối tượng trong mối quan hệ với cỏc đối tượng khỏc.
Vớ dụ 6: Nhỡn tứ diện trong mối quan hệ với hỡnh hộp
Bài toỏn 6.1. Cho tứ diện ABCD cú AB CD c,= = CA BD b,= = BC AD a= = . Tỡm tõm và bỏm kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đú.(Hỡnh 8)
Thụng thường HS biết cỏc cỏch tỡm tõm mặt cầu ngoại tiếp hỡnh đa diện là:
Thứ nhất, dựng trục đường trũn ngoại tiếp đỏy, dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bờn. Giao điểm của mặt phẳng và trục là tõm mặt cầu.
Thứ hai, dựng trục của đường trũn ngoại tiếp đỏy, dựng trục đường trũn ngoại tiếp một mặt bờn, hai đường thẳng cắt nhau ở tõm của tõm mặt cầu ngoại tiếp.
Tuy nhiờn, khi gặp bài toỏn này, HS cảm thấy lỳng tỳng khi dựng trục của đường trũn vỡ cỏc em khụng biết xỏc định đường trung trực như thế nào để tỡm tõm đường trũn ngoại tiếp đỏy. Vậy là một bài toỏn cú qui trỡnh giải như bài toỏn dựng tõm khụng phải lỳc nào cũng dễ dàng đối
với HS, bởi vỡ cú những trường hợp ỏp dụng qui trỡnh thỡ tớnh bỏn kớnh rất khú khăn.
Ở bài toỏn này, HS chỉ cần nhỡn hỡnh tứ diện ABCD là hỡnh nội tiếp trong hỡnh hộp chữ nhật AC'BD '.A 'CB'D thỡ việc tỡm tõm trở nờn rất dễ. Tõm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là tõm mặt cầu ngoại tiếp hỡnh hộp chữ nhật, vậy đú là trung điểm của đường chộo C 'D.
Bài toỏn 6.2. Cho tứ diện trực tõm
ABCD.
1. Chứng minh cỏc đoạn trung bỡnh của tứ diện bằng nhau.
2. Chứng minh tổng cỏc bỡnh phương hai cạnh đối của tứ diện bằng nhau.(Hỡnh 9)
Đối với bài toỏn này, HS cú thể giải trực tiếp, song việc đặt tứ diện vào hỡnh
hộp, chuyển bài toỏn tứ diện thành bài toỏn hỡnh hộp giỳp HS cú phương phỏp giải đơn giản hơn, ngắn gọn hơn và trực quan hơn.
I B B ’ D J B A ’ C ’ C Hỡnh 9 A D ’ A c D’ B B’ D I C’ J C b a A’ Hỡnh 8
GV: Hóy nhớ lại tớnh chất của tứ diện trực tõm? – Tứ diện trực tõm là tứ diện cú cỏc cạnh đối vuụng gúc với nhau; tứ diện trực tõm nội tiếp được trong hỡnh hộp cú cỏc mặt là hỡnh thoi.
GV: Sử dụng cỏc tớnh chất đú cú thể giải bài toỏn này khụng? HS: Gọi hỡnh hộp ngoại tiếp tứ diện đú là AC'BD '.A 'CB'D. Ta cú: AB / /A 'B' CD A 'B' CD AB ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ hỡnh bỡnh hành CA 'DB' là hỡnh thoi. Hỡnh bỡnh hành AC'BD ' cũng là hỡnh thoi.
Chứng minh tương tự ta cú cỏc mặt cũn lại của hỡnh hộp cũng là hỡnh thoi.
Vậy tứ diện trực tõm ABCD nội tiếp trong hỡnh hộp AC'BD '.A 'CB'D cú sỏu mặt là hỡnh thoi cạnh bằng nhau, bằng a.
Gọi I, J là trung điểm cỏc cạnh AB, CD. Nhận xột gỡ về quan hệ của đoạn thẳng IJ với tứ diện và với mặt chộo ABB'A ' của hỡnh hộp ?
IJ là đoạn trung bỡnh của tứ diện. IJ cũng là đoạn trung bỡnh của hỡnh bỡnh hành ABB'A '.
Do đú: IJ AA ' a= = .
Chứng minh cỏc đường trung bỡnh cũn lại tương tự cũng bằng a. Vậy 3 đoạn trung bỡnh của tứ diện trực tõm dài bằng nhau.
GV: Nhận xột gỡ hai mặt đỏy của hỡnh hộp ? – Hai mặt đỏy của hỡnh hộp là hai hỡnh bỡnh hành bằng nhau.
GV: Hóy tớnh AD2 +BC2 qua a ?
HS: Ta cú: AB2+CD2 =AB2+C 'D '2 =4a2 Tương tự: AC2+BD2 =4a2; AD2+BC2 =4a2 Vậy: AB2+CD2 =AC2+BD2 =AD2+BC2
Cú thể cho HS rốn luyện cỏch nhỡn nhận tứ diện trong mối quan hệ với hỡnh hộp bằng cỏc bài tập:
Bài toỏn 6.3. Cho tứ diện vuụng OABC cú gúc tam diện là O, OA a,=
OB b,OC c= = . Tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài toỏn 6.4. Cho tứ diện gần đều ABCD. Chứng minh rằng tõm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là trọng tõm của tứ diện đú.
Bài toỏn 6.5. Cho tứ diện gần đều ABCD. Cú AB CD c,= = AC BD b,= =
AD BC a= = . Tớnh thể tớch tứ diện.
Bài toỏn 6.6. Cho hỡnh lập phương ABCD.A 'B'C 'D ' cạnh bằng a. M, N
lần lượt là trung điểm của BC,C 'D '. Dựng đường vuụng gúc chung của hai đường thẳng MN và B'D.