(ϕ,f ) và ứng dụng
2.2 Phân lớp các nhóm phạm trù
Trong mục này, chúng tôi sẽ sử dụng Định lý 2.6 để chứng minh định lý phân lớp cho phạm trù các nhóm phạm trù.
Với mỗi nhóm phạm trùG, nhóm π0Gvà π0G-môđunπ1Glà hai bất biến đầu tiên của nó. Tập các nhóm phạm trù có chung hai bất biến đầu tiên đã được phân lớp bởi nhóm đối đồng điềuH3(π0G, π1G)(xem Mệnh đề 13, trang 105 [50]). Bây giờ chúng ta sẽ trình bày định lý phân lớp chính xác cho các nhóm phạm trù và các hàm tử monoidal giữa chúng.
Ký hiệuCGlà phạm trù có vật là các nhóm phạm trù, các mũi tên là các hàm tử monoidal giữa chúng. Chúng ta xác định phạm trù H3
Gr có vật là bộ ba(Π, A, h), trong đó Πlà một nhóm, A là một Π-môđun và h ∈ H3(Π, A). Mũi tên (ϕ, f) : (Π, A, h) → (Π0, A0, h0)
trong H3
Gr là cặp (ϕ, f) sao cho tồn tại g : Π2 → A0 để (ϕ, f, g) là một hàm tử monoidal
(Π, A, h)→(Π0, A0, h0), nghĩa làϕ∗h0 =f∗h∈H3(Π, A0). Hợp thành trongH3
Gr được cho bởi
(ϕ0, f0)◦(ϕ, f) = (ϕ0◦ϕ, f0◦f).
Ta có nhận xét rằng, hai hàm tử monoidal F, F0 : G → G0 là đồng luân khi và chỉ khi
G→G0 cùng cảm sinh cặp(ϕ, f)là
Hom(ϕ,f)[G,G0],
ta đưa ra một phiên bản của Mệnh đề 8 [21]. Trong [21], khái niệm nhóm phạm trù được gọi là "compact monoidal groupoid", và các tác giả đã chỉ ra được rằng có một song tương đương T : H3
Gr → CG. Tuy nhiên, hàm tửd trong định lý dưới đây không chỉ đơn giản là "ngược" của hàm tử phân lớp T mà nó cho ta những thông tin đầy đủ hơn trong sự phân lớp này.
Định lý 2.7 (Định lý phân lớp). Tồn tại một hàm tử phân lớp:
d: CG → H3Gr G 7→ (π0G, π1G, hG) (F,Fe) 7→ (F0, F1)
có các tính chất sau:
i)dF là một đẳng cấu khi và chỉ khi F là một tương đương.
ii)d là một toàn ánh trên tập các vật.
iii) dlà đầy đủ nhưng không trung thành. Với(ϕ, f) :dG→dG0 thì có một song ánh
d:Hom(ϕ,f)[G,G0]→H2(π0G, π1G0). (2.3) Chứng minh. Trong nhóm phạm trùG, với mỗi đính(Xs, iX)ta có thể xây dựng được một nhóm phạm trù thu gọn (π0G, π1G, h). Khi thay đổi cách chọn đính thì 3-đối chu trìnhh
được thay thế bởi 3-đối chu trìnhh0 cùng lớp đối đồng điều vớih. Bởi vậyGxác định duy nhất một phần tử h∈H3(π0G, π1G). Điều này chứng tỏd là một ánh xạ trên tập các vật.
Đối với các hàm tử monoidal G →F G0 →F0 G00, dễ thấy(F0F)0 = F00F0. Do(F0F)∗ là cái hợp thành I00 F 0 ∗ →F0I0 F 0(F∗) → F0F I,
nên với u∈Aut(I)ta có:
(F0F)1(u) = (F0F)−1∗ (F0F)(u)(F0F)∗
=F∗0−1F0(F∗−1)F0F(u)F0(F∗)F∗0
=F∗0−1F0(F1(u))F∗0 =F10(F1(u)).
Nghĩa là d(F0◦F) = (dF0)◦(dF).
Dễ thấyd(idG) = iddG. Bởi vậydlà một hàm tử. i) Do Mệnh đề 2.1.
ii) Nếu (Π, A, h) là một vật của H3
Gr thì S = (Π, A, h) là một nhóm phạm trù kiểu
(Π, A)và hiển nhiêndS= (Π, A, h).
iii) Giả sử(ϕ, f)là một mũi tên trong HomH3
Gr(dG, dG0), thì tồn tại hàmg : (π0G)2 →
π1G0 sao cho
ϕ∗hG0 =f∗hG+∂g.
Thế thì theo Định lý 2.6 ta có hàm tử monoidal
K = (ϕ, f, g) : (π0G, π1G, hG)→(π0G0, π1G0, hG0).
Khi đó, hàm tử monoidal hợp thànhF =H0KG :G→Hcảm sinhdF = (ϕ, f). Điều này chứng tỏ hàm tử dlà đầy đủ.
Để chứng minh song ánh (2.3) ta chứng minh tương ứng
Ω :Hom(ϕ,f)[G,G0]→Hom(ϕ,f)[SG, SG0] (2.4)
[F]7→[SF]
là một song ánh.
Rõ ràng nếu F, F0 : G → G0 đồng luân thì các hàm tử monoidal cảm sinh SF, SF0 :
SG → SG0 là đồng luân. Ngược lại, nếu F, F0 có SF, SF0 là đồng luân thì các hợp thành
E =H0(SF)GvàE0 =H0(SF0)Gđồng luân, vớiH0, Glà các tương đương monoidal chính tắc. Các hàm tử monoidal E, E0 lần lượt đồng luân vớiF, F0. Bởi vậy, F và F0 đồng luân. Điều này chứng tỏ Ωlà một đơn ánh.
NếuK = (ϕ, f, g) :SG →SG0 là một hàm tử monoidal thì cái hợp thành