Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và mở rộng nhóm đẳng biến kiểuΓ môđun
4.2.2 Xây dựng nhóm phạm trù phân bậc thu gọn bằng phương pháp hệ nhân tử
hệ nhân tử
Khái niệm hệ nhân tử trong lý thuyết Schreier-Eilenberg-Mac Lane về mở rộng nhóm đã được lên cấp độ phạm trù bởi A. Grothendieck [47] với tên gọi giả hàm tử. Sau đó, vào năm 2001 A. M. Cegarra - A. R. Garzón - J. A. Ortega đã sử dụng khái niệm này để phân lớp các phạm trù monoidal phân bậc trong [13]. Tuy nhiên, trong các công trình tiếp theo sự phân lớp các nhóm phạm trù phân bậc trong [14] vào năm 2002, phân lớp các nhóm phạm trù bện phân bậc trong [17] và phân lớp các phạm trù Picard phân bậc trong [18] vào năm 2007 thì A. M. Cegarra và các cộng sự lại không sử dụng phương pháp hệ nhân tử. Nhận thấy triển vọng của phương pháp này, N. T. Quang đã đề nghị một cách tiếp cận mới cho bài toán phân lớp các nhóm phạm trù phân bậc sử dụng phương pháp hệ nhân tử để và thu
được định lý phân lớp bằng con đường khá ngắn gọn. Sau này, trong công trình [12] với sự cộng tác của M. Calvo, A. M. Cegarra và N. T. Quang, các tác giả đã quay lại sử dụng phương pháp hệ nhân tử để nghiên cứu về nhóm phạm trù phân thớ.
Theo ý tưởng này, ở đây, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng mỗi nhóm phạm trù Γ-phân bậc G cảm sinh một hệ nhân tử F mà mở rộng tích chéo của nó, ∆F, là một nhóm phạm trù
Γ-phân bậc tương đương monoidal với G. Hơn nữa, ∆F chính là nhóm phạm trù Γ-phân bậc R
Γ(Π, A, h).
Trước hết, bằng phép xây dựng tương tự như trong Bước 1 của phép chứng minh Định lý 2.13, ta có thể chỉ ra được rằng mỗi nhóm phạm trùΓ-phân bậc(G, gr)cảm sinh một hệ nhân tử F trênΓvới các hệ tử trong nhóm phạm trù KerG.
Cũng tương tự như Bước 2 của phép chứng minh Định lý 2.13, ta thấy rằng từ một hệ nhân tử F có thể xây dựng được một nhóm phạm trù Γ-phân bậc, ký hiệu ∆F, gọi là mở rộng tích chéo của F.
Hơn nữa, mỗi nhóm phạm trù Γ-phân bậcGlà tương đương với mở rộng tích chéo của một hệ nhân tửF với hệ tử trong nhóm phạm trùKerGbởi tương đương monoidal Γ-phân bậc (K,K, Ke ∗) : ∆F →Gcho bởi
K(X) =X, K(X (a,σ→)Y) = (X a◦Υ
σ X
→ Y), KeX,Y =id, K∗ =id.
Ta cần tới kết quả sau đây để chỉ ra rằng thực raGtương đương với mở rộng tích chéo của một hệ nhân tử lấy hệ tử trong nhóm phạm trù kiểu (Π, A).
Mệnh đề 4.2. (Mệnh đề 3.1 [34]) NếuG,G0 là hai nhóm phạm trù tương đương monoidal thì mỗi hệ nhân tửF lấy hệ tử trongGcảm sinh một hệ nhân tửF0 lấy hệ tử trongG0. Hơn nữa, các mở rộng tích chéo tương ứng là tương đươngΓ-phân bậc.
Bây giờ, theo lưu ý ở trên,Gtương đương với mở rộng tích chéo∆F, vớiF là hệ nhân tử lấy hệ tử trong nhóm phạm trùKerG. Do KerGtương đương monoidal với nhóm phạm trù thu gọn SKerG của nó nên theo Mệnh đề 4.2,F cảm sinh hệ nhân tửFS lấy hệ tử trong
SKerG = (Π, A) sao cho∆F tương đương với∆FS. Do đó Gtương đương với∆FS. Định lý 4.3. (Định lý 3.2, Mệnh đề 4.1 [34]) Giả sử Γ là một nhóm, Slà nhóm phạm trù kiểu(Π, A, h). Khi đó mỗi hệ nhân tửF = (S, Fσ, ησ,τ)cảm sinh các cấu trúcΓ-nhóm trên
Π,Π-môđunΓ-đẳng biến trênA và một 3-đối chu trình chuẩn tắchF ∈Z3
Γ(Π, A).
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.5, mỗi hàm tử monoidal Fσ :S −→Slà một cặp đồng cấu nhóm (ϕσ : Π→ Π, fσ : A → A).Hơn nữa, doFσ là một tự tương đương nên ϕσ, fσ là những tự đẳng cấu nhóm.
Mặt khác, nếuσ, τ ∈Γthìησ,τ
x :FσFτ(x)−→Fστ(x)là một mũi tên trongS= (Π, A)
nên ta có Fστ(x) = (FσFτ)(x),∀x∈Π. Suy ra, ϕστ =ϕσϕτ. Vớiσ ∈Γ, x∈Π, a∈A,ta đặt σx=ϕσ(x), σa=fσ(a). Ta có (στ)x=ϕστ(x) =ϕσ(ϕτ(x)) =σ(τ x), σ(xy) = ϕσ(xy) =ϕσ(x)ϕσ(y) =σxσy. Do đóΠ là mộtΓ-nhóm.
Mặt khác, ràng buộc kết hợphcủa nhóm phạm trùSthỏa mãn điều kiện 3-đối chu trình (4.1) (suy từ điều kiện khớp (1.1)).
Bây giờ đặt Fex,yσ = (fe(x, y, σ), σ(xy)). DoFσ là một hàm tử monoidal vàF∗σ =idnên điều kiện khớp (1.6) trở thành
e
f(y, z, σ)−fe(xy, z, σ) +fe(x, yz, σ)−fe(x, y, σ) = σ(h(x, y, z))−h(σx, σy, σz),
Đây chính là điều kiện 3-đối chu trình (4.2). Điều kiện khớp (1.7) kéo theo tính chuẩn tắc của hàm fe:fe(x,1, σ) =fe(1, y, σ) = 0.
Bây giờ xét đẳng cấu hàm tử monoidal ησ,τ = (ησ,τ x ), với
ησ,τx = (t(x, σ, τ), στ x) :FσFτx−→Fστx.
Theo định nghĩa của một phép biến đổi tự nhiên của các hàm tử monoidal ta có các hệ thức sau.
fσfτ =fστ, (4.7)
e
f(x, y, στ)−fe(τ x, τ y, σ)−σ(fe((x, y, τ)) = t(y, σ, τ)−t(xy, σ, τ) +t(x, σ, τ), (4.8) và t thỏa mãn điều kiện chuẩn tắct(1, σ, τ) = 0.
Hệ thức (4.7) xác định một đồng cấu nhóm
f : Γ→AutA,
do đó Alà mộtΓ-môđun.
Hệ thức (4.8) chính là điều kiện 3-đối chu trình (4.3). Điều kiện (2.6) của hệ nhân tử dẫn đến hệ thức
σt(x, τ, γ) +t(x, σ, τ γ) =t(x, στ, γ) +t(γx, σ, τ).
Đây là điều kiện 3-đối chu trình (4.4). Vậy hF = (h,f , te ) là một 3-đối chu trình chuẩn tắc thuộc Z3
Hệ quả 4.4. Mỗi nhóm phạm trù Γ-phân bậcG cảm sinh các cấu trúcΓ-nhóm trên Π =
π0G, Π-môđun Γ-đẳng biến trên A = π1G, và cảm sinh một 3-đối chu trình chuẩn tắc
h ∈ZΓ3(Π, A).
Từ Nhận xét 2.14, ta suy ra rằng vớiF là hệ nhân tử lấy hệ tử trong nhóm phạm trùSG
kiểu(Π, A, h), thì nhóm phạm trùΓ-phân bậc∆F cũng chính là nhóm phạm trùΓ-phân bậc
R
Γ(π0G, π1G, h)đã được đề cập đến ở mục 4.2.1. Ta gọi đó là nhóm phạm trùΓ-phân bậc thu gọn của nhóm phạm trù Γ-phân bậcG. Ta có thể nóiR
Γ(π0G, π1G, h)có kiểu(Π, A, h)
hoặc đơn giản là kiểu (Π, A) khi ta thay thế π0G, π1G bởi các Γ-nhóm Π và Π-môđun
Γ-đẳng biến Amột cách tương ứng.