Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và mở rộng nhóm đẳng biến kiểuΓ môđun
4.5 Bài toán mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo: lý thuyết cản trở và định lý phân lớp
lý thuyết cản trở và định lý phân lớp
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu lý thuyết mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo, là mở rộng của cả hai lý thuyết mở rộng nhóm kiểu môđun chéo [42, 46, 9] và lý thuyết mở rộng nhóm đẳng biến [14].
Định nghĩa [39]. ChoΓ-môđun chéo B →d D và mộtΓ-nhóm Q. Một mở rộng đẳng biến của nhóm B bởi nhómQkiểu Γ-môđun chéoB −→d Dlà một biểu đồ cácΓ-đồng cấu
E 0 //B j //E p // ε Q //1, B d //D
trong đó dòng trên là khớp, hệ (B, E, j, θ0) là một Γ-môđun chéo với θ0 là phép lấy liên hợp, và(id, ε)là một đồng cấu của cácΓ-môđun chéo.
Hai mở rộng đẳng biến của B bởi Q kiểu Γ-môđun chéo B −→d D gọi là tương đương nếu biểu đồ sau giao hoán
0 //B j //E p // α Q //1, E ε //D 0 //B j0 //E0 p 0 / /Q //1, E0 ε0 //D và ε0α =ε. Hiển nhiênα là mộtΓ-đẳng cấu.
Trong biểu đồ 0 //B j //E p // ε Q // ψ 1, B d //D q//Cokerd (4.16)
do dòng trên là khớp và do q◦ε◦j =q◦d= 0 nên có mộtΓ-đồng cấu ψ :Q →Cokerd
sao cho hình vuông thứ hai giao hoán. Hơn nữa, ψ chỉ phụ thuộc vào lớp tương đương của mở rộngE, và ta nóiE cảm sinhψ. Tập các lớp tương đương các mở rộng đẳng biến củaB
bởi QkiểuΓ-môđun chéoB →Dcảm sinhψ :Q→Cokerd được ký hiệu bởi
ExtΓB→D(Q, B, ψ).
Bây giờ, để nghiên cứu tập này chúng tôi sẽ áp dụng lý thuyết cản trở cho các hàm tử monoidalΓ-phân bậc giữa các nhóm phạm trùΓ-phân bậc chặt chẽDisΓQvàPB→D, trong đó nhóm phạm trù Γ-phân bậc rời rạcDisΓQđược xác định bởi
DisΓQ=
Z
Γ
Nó cũng chính là nhóm phạm trùΓ-phân bậc chặt chẽ liên kết vớiΓ-môđun chéo(0, Q,0,0). Các vật của DisΓQ là các phần tử của nhóm Q, các mũi tên σ : x → y là các phần tử σ
thuộc Γ sao cho σx = y. Hợp thành của các mũi tên là phép nhân trongΓ. Hàm tử phân bậc gr: ΓDisQ→Γđược cho bởigr(σ) =σ.Tích tenxơ phân bậc được cho bởi
(x−→σ y)⊗(x0 →−σ y0) = (xx0 −→σ yy0).
Hàm tử phân bậc đơn vịI : Γ→ ΓDisQcho bởi
I(∗−→ ∗) = (1σ −→σ 1).
Các ràng buộc kết hợp, đơn vị là đồng nhất.
Tương tự như đối với bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo ở Chương 3, ở đây chúng tôi sẽ sử dụng kỹ thuật hệ nhân tử đối với các mở rộng nhóm đẳng biến kiểuΓ-môđun chéo. Bổ đề dưới đây cho thấy các hàm tử monoidal Γ-phân bậc DisΓQ → PB→D là hệ dữ liệu phù hợp để xây dựng các mở rộng như vậy.
Bổ đề 4.10. Cho B →d D là một Γ-môđun chéo vàψ : Q → Cokerd là một Γ-đồng cấu. Cho hàm tử monoidal Γ-phân bậc (F,Fe) : DisΓQ → PB→D, sao cho F(1) = 1 và cảm sinh cặpΓ-đồng cấu (ψ,0) : (Q,0)→(Cokerd,Kerd). Khi đó, tồn tại mở rộng đẳng biến
EF củaB bởiQkiểu Γ-môđun chéoB →Dcảm sinh ψ.
Mở rộng EF được gọi là mở rộng đẳng biến tích chéo liên kết với Γ-hàm tử monoidal
F.
Chứng minh. Giả sử (F,Fe) : DisΓQ → P là một hàm tử monoidal Γ-phân bậc. Thế thì theo (4.12) nó xác định một hàm f : (QìQ)∪(QìΓ)→B, chuẩn tắc theo nghĩa
f(x,1Γ) = 0 =f(x,1) =f(1, y). (4.17)
Đẳng thức thứ nhất có được doF bảo toàn mũi tên đồng nhất, các đẳng thức còn lại do giả thiết F(1) = 1và tính tương thích của(F,Fe)với các ràng buộc đơn vị.
Từ định nghĩa của mũi tên trong Pta có
σF(x) = df(x, σ)F(σx), (4.18)
F(x)F(y) =df(x, y)F(xy). (4.19) Theo phép chứng minh Bổ đề 4.7 hàm f thỏa mãn các hệ thức (4.13)-(4.15). Tuy nhiên ở đây f nhận giá trị trongB (thay choKerd0).
Trước hết, ta xây dựng tích chéo đẳng biến E0 = B ìf Q. Cấu trúc Γ-nhóm trênE0
được cho bởi các qui tắc
(b, x) + (c, y) = (b+θF(x)(c) +f(x, y), xy), σ(b, x) = (σb+f(x, σ), σx).
B ìf Q là một nhóm nhờ các điều kiện (4.17), (4.19), (4.13). Phần tử đơn vị là (0,1)và
−(b, x) = (b0, x−1), trong đó θF(x)(b0) = −b−f(x, x−1). Hơn nữa nó là một Γ-nhóm do các điều kiện (4.18), (4.14) và (4.15).
Khi đó ta có dãy khớp
EF : 0→B →j0 E0 →p0 Q→1,
trong đój0(b) = (b,1); p0(b, x) =x, b∈B, x∈Q.Doj0(B)là nhóm con chuẩn tắc trong
E0 nênj0 :B →E0 là mộtΓ-môđun chéo với tác động liên hợpθ0 :E0 →AutB.
Tiếp theo, để nhúng EF vào trong biểu đồ (4.16), ta xác định Γ-đồng cấu ε:E0 →D. Theo giả thiết (F,Fe) cảm sinh một Γ-đồng cấu ψ : Q → Cokerd bởi ψ(x) = [F(x)] ∈ Cokerd. Như vậy các phần tử F(x) là một hệ đại diện của Cokerd trong D. Khi đó, với
(b, x)∈E0 ta đặt
ε(b, x) =db.F(x). (4.20)
Nhờ các điều kiện (4.18) và (4.19) ta chứng minh được εlà một đồng cấu đẳng biến. Dễ thấy rằngε◦j0 =d. Hơn nữa, với mọi(b, x)∈E0, c ∈B, ta cóθ0
(b,x)(c) =θε(b,x)(c). Thật vậy, có thể kiểm tra được rằng
θ(0b,x)(c) = j0−1[à(b,x)(c,1)] = àb[θF(x)(c)], θε(b,x)(c) = θdb.F(x)(c) = àb[θF(x)(c)].
Vậy ta đã nhúng đượcEF vào trong biểu đồ (4.16). Sau cùng, với mọix∈Qta có
qε(b, x) =q(db.F(x)) = q(F(x)) =ψ(x) =ψp0(b, x),
nghĩa là mở rộng EF cảm sinhΓ-đồng cấu ψ :Q→Coker d.
Trong bổ đề trên, cặp ánh xạ (θF, f)mô tả một hàm tử monoidal Γ-phân bậc từDisΓQ
tới P là một hệ nhân tử đối với mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo (B → D). Trường hợp môđun chéo (B → D)là môđun chéo các tự đẳng cấu của B thì cặp (θF, f)
như vậy chính là một hệ nhân tử đẳng biến đối với mở rộng nhóm đẳng biến được xét trong [14]. Trường hợpΓ = 1là nhóm tầm thường thì cặp(θF, f)chính là một hệ nhân tử đối với mở rộng nhóm kiểu môđun chéo được xét ở Chương 3.
Định lý 4.11 (Lý thuyết Schreier cho các mở rộng đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo). Có một song ánh
Ω : Hom(ψ,0)[DisΓQ,PB→D]→ExtΓB→D(Q, B, ψ).
Chứng minh. Bước 1: Các hàm tử monoidal Γ-phân bậcF, F0 : ΓDisQ→Plà đồng luân khi và chỉ khi các mở rộng liên kết tương ứng EF,EF0 là tương đương.
Trước hết, do mỗi Γ-hàm tử monoidal(F,Fe)là đồng luân với mộtΓhàm tử monoidal
(G,Ge)cóG(1) = 1. Bởi vậy cácΓ-hàm tử monoidal dưới đây đều được xem là có tính chất này.
Giả sửF, F0 : DisΓQ→Plà haiΓ-hàm tử monoidal đồng luân, với đồng luânα:F →