/ B j0 EF p0 α∗
Ann-phạm trù chặt chẽ và mở rộng vành kiểu E-hệ chính qu
5.1 Lý thuyết đối đồng điều vành của MacLane và Shukla
Các nhóm đối đồng điều chiều thấp của vành theo nghĩa Mac Lane đã được N. T. Quang và D. D. Hanh sử dụng để phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù [35], và mới đây đã được N. T. Quang sử dụng để phân lớp các Ann-phạm trù tổng quát [37].
Theo cách xây dựng định nghĩa đối đồng điều vành của Mac Lane, giả sửRlà một vành vàM là mộtR-song môđun thì các phần tử của nhóm đối đồng điều chiều 3,HM acL3 (R, M), được mô tả như sau. NhómZ3
M acL(R, M)các 3-đối dây chuyền của vànhRlấy hệ tử trong
R-song môđunM bao gồm các bộ bốn h= (σ, α, λ, ρ)các ánh xạ chuẩn tắc
thỏa mãn 8 điều kiện. Nhóm con B3
M acL(R, M)⊂Z3
M acL(R, M) các 3-đối bờ là những bộ bốnh= (σ, α, λ, ρ)sao cho tồn tại các ánh xạ g = (à, ν) :R2 →M thỏa mãn 4 điều kiện. Tuy nhiên, để thuận lợi cho việc sử dụng đối đồng điều vành của Mac Lane vào bài toán phân lớp các Ann-phạm trù, N. T. Quang đã đưa ra một mô tả khác cho nhóm đối đồng điều vành H3
M acL(R, M) (Mệnh đề 7.2, 7.3 [33]). Theo đó, nhóm Z3
M acL(R, M) các 3-đối dây chuyền của vànhRlấy hệ tử trongR-song môđunM bao gồm các bộ nămh= (ξ, η, α, λ, ρ)
các ánh xạ
ξ, α, λ, ρ:R3 →M, η :R2 →M,
thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z, t∈R:
S1. ξ(y, z, t)−ξ(x+y, z, t) +ξ(x, y+z, t)−ξ(x, y, z+t) +ξ(x, y, z) = 0, S2. ξ(x, y, z)−ξ(x, z, y) +ξ(z, x, y) +η(x+y, z)−η(x, z)−η(y, z) = 0, S3. η(x, y) +η(y, x) = 0, S4. xη(y, z)−η(xy, xz) = λ(x, y, z)−λ(x, z, y), S5. η(x, y)z−η(xz, yz) =ρ(x, y, z)−ρ(y, x, z), S6. xξ(y, z, t)−ξ(xy, xz, xt) = λ(x, z, t)−λ(x, y+z, t) +λ(x, y, z+t)−λ(x, y, z), S7. ξ(x, y, z)t−ξ(xt, yt, zt) =ρ(y, z, t)−ρ(x+y, z, t) +ρ(x, y+z, t)−ρ(x, y, z), S8. ρ(x, y, z+t)−ρ(x, y, z)−ρ(x, y, t) +λ(x, z, t) +λ(y, z, t)−λ(x+y, z, t) =
ξ(xz+xt, yz, yt) +ξ(xz, xt, yz)−η(xt, yz) +ξ(xz+yz, xt, yt)−ξ(xz, yz, xt), S9. α(x, y, z+t)−α(x, y, z)−α(x, y, t) = xλ(y, z, t) +λ(x, yz, yt)−λ(xy, z, t), S10. α(x, y+z, t)−α(x, y, t)−α(x, z, t) =xρ(y, z, t)−ρ(xy, xz, t) +
λ(x, yt, zt)−λ(x, y, z)t,
S11. α(x+y, z, t)−α(x, y, t)−α(y, z, t) = −ρ(x, y, z)t−ρ(xz, yz, t) +ρ(x, y, zt), S12. xα(y, z, t)−α(xy, z, t) +α(x, yz, t)−α(x, y, zt) +α(x, y, z)t= 0,
và thỏa mãn các điều kiện chuẩn tắc:
ξ(0, y, z) = ξ(x,0, z) =ξ(x, y,0) = 0, α(1, y, z) = α(x,1, z) =α(x, y,1) = 0, α(0, y, z) = α(x,0, z) =α(x, y,0) = 0, λ(1, y, z) = λ(0, y, z) =λ(x,0, z) =λ(x, y,0) = 0, ρ(x, y,1) = ρ(0, y, z) =ρ(x,0, z) = ρ(x, y,0) = 0. Nhóm conB3 M acL(R, M)⊂Z3
sao cho tồn tại các ánh xạ g = (à, ν) :R2 →M thoả mãn S13. ξ(x, y, z) = à(y, z)−à(x+y, z) +à(x, y +z)−à(x, y), S14. η(y, x) = à(x, y)−à(y, x), S15. α(x, y, z) = xν(y, z)−ν(xy, z) +ν(x, yz)−ν(x, y)z, S16. λ(x, y, z) = ν(x, y+z)−ν(x, y)−ν(x, z) +xà(y, z)−à(xy, xz), S17. ρ(x, y, z) = ν(x+y, z)−ν(x, z)−ν(y, z) +à(x, y)z−à(xz, yz),
ở đó à, ν thỏa mãn các điều kiện chuẩn tắc à(0, y) = à(x,0) = 0 và ν(0, y) = ν(x,0) =
ν(1, y) =ν(x,1) = 0.
Như vậy, với cách mô tả này thì mỗi 3-đối chu trình theo nghĩa của Mac Lane nếu thỏa mãn thêm điều kiện
η(x, x) = 0
cũng chính là một 3-đối chu trình theo nghĩa của Shukla (trong đó vànhRđược xem như là Z-đại số). Điều này là hoàn toàn phù hợp với kết quả phân lớp các Ann-phạm trù chính qui bởi nhóm H3
Shu(R, M)trong [1], và như vậy có một đơn ánh (Hệ quả 1 [33])
HSh3 (R, M),→HM acL3 (R, M).
NhómZ2
M acL(R, M)bao gồm các 2-đối dây chuyềng = (à, ν)của vành Rlấy hệ tử trong
R-song môđun M thoả mãn ∂M acLg = 0. Nhóm con BM acL2 (R, M) ⊂ ZM acL2 (R, M) của các 2-đối bờ gồm những cặp (à, ν) sao cho tồn tại các ánh xạ t : R → M thoả mãn
(à, ν) = ∂M acLt, nghĩa là:
S18. à(x, y) = t(y)−t(x+y) +t(x), S19. ν(x, y) =xt(y)−t(xy) +t(x)y,
trong đó tthoả mãn điều kiện chuẩn tắc t(0) =t(1) = 0.
NhómZM acL1 (R, M)bao gồm các 1-đối dây chuyềntcủa vànhRlấy hệ tử trongR-song môđun M thoả mãn ∂M acLt = 0.Nhóm conBM acL1 (R, M)⊂ZM acL1 (R, M) của các 1-đối bờ là những hàm t sao cho tồn tạia∈R thoả mãnt(x) =ax−xa.
Các nhóm thương
HM acLi (R, M) =ZM acLi (R, M)/BM acLi (R, M), i= 2,3,
được gọi là nhóm đối đồng điều Mac Lane thứicủa vành Rvới hệ tử trongR-song môđun
M.
Trong các trường hợp i= 1,2ta có: