Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và mở rộng nhóm đẳng biến kiểuΓ môđun
4.2.3 Phân lớp các hàm tử monoidal phân bậc kiểu (ϕ,f )
Trong tiểu mục này, chúng tôi sẽ mô tả và phân lớp các hàm tử monoidal Γ-phân bậc giữa các nhóm phạm trùΓ-phân bậc như đã làm đối với các hàm tử kiểu(ϕ, f)ở Chương 2. Giả sửS = (Π, A, h), S0 = (Π0, A0, h0)là những nhóm phạm trù Γ-phân bậc. Một hàm tử Γ-phân bậcF :S→S0 được gọi có kiểu (ϕ, f)nếu
F(x) = ϕ(x), F(a, σ) = (f(a), σ), x∈Π, a∈A, σ∈Γ,
trong đóϕ: Π→Π0 là một đồng cấu đẳng biến (vì vậyA0 trở thành mộtΠ-môđunΓ-đẳng biến quaϕ) vàf là một đồng cấuΠ-môđunΓ-đẳng biến (nghĩa là vừa là đồng cấuΓ-nhóm, vừa là đồng cấuΠ-môđun).
Ký hiệuHom(ϕ,f)[S,S0]là tập tất cả các lớp đồng luân của cácΓ-hàm tử monoidal kiểu
(ϕ, f)từS= (Π, A, h)tớiS0 = (Π0, A0, h0).
Tương tự như trường hợp không phân bậc, ta gọi hàm
ξ=ϕ∗h0 −f∗h (4.9)
là một cản trở của hàm tử Γ-phân bậcF :S→ S0 kiểu(ϕ, f).Từ Mệnh đề 2.4 và Định lý 2.6, bằng một vài thay đổi cần thiết ta thu được kết quả sau.
Mệnh đề 4.5. Cho G,G0, S = (Π, A, h), S0 = (Π0, A0, h0)là các nhóm phạm trù Γ-phân bậc. Khi đó:
i)MỗiΓ-hàm tử monoidal(F,Fe) :G→G0 thể hiện mộtΓ-hàm tử monoidalSF :SG →SG0
kiểu (ϕ, f), vớiϕ=F0, f =F1 được cho bởi
F0 :π0G→π0G0, [X]7→[F X], F1 :π1G→π1G0, u7→γˆF I−1(F u).
Hơn nữa,SF =G0ΓF HΓ,trong đóHΓ, G0Γ là những Γ-tương đương chính tắc.
ii)MỗiΓ-hàm tử monoidal (F,Fe) :S→S0 là mộtΓ-hàm tử kiểu (ϕ, f).
iii) Γ-hàm tử F :S→S0 kiểu(ϕ, f)có thể hiện là mộtΓ-hàm tử monoidal nếu và chỉ nếu cái cản trở ξ triệt tiêu trongH3
Γ(Π, A0). Khi đó tồn tại song ánh
Hom(ϕ,f)[S,S0]↔HΓ2(Π, A0).