Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và mở rộng nhóm đẳng biến kiểuΓ môđun
4.2.1 Xây dựng nhóm phạm trù phân bậc thu gọn thông qua phạm trù khung
khung
Trong [14], A. M. Cegarra và các cộng sự đã chỉ ra rằng với mỗi nhóm phạm trùΓ-phân bậc Gthì có một hệ dữ liệu liên kết bao gồm: một Γ-nhómΠ, một Π-môđunΓ-đẳng biến
A và một 3-đối chu trìnhh ∈Z3
Γ(Π, A). Từ các dữ kiện này, các tác giả đã xây dựng được một nhóm phạm trù Γ-phân bậc, ký hiệuR
Γ(Π, A, h), và khẳng định (không chứng minh) rằng nó tương đương monoidal vớiG. Dưới đây, chúng tôi nhắc lại một cách ngắn gọn phép dựng này và chứng minh sự tương đương giữa hai phạm trù này (Mệnh đề 4.1).
i) Tập Π =π0Gcác lớp vật 1-đẳng cấu trongG là mộtΓ-nhóm.
ii) Tập A=π1Gcác1-tự đẳng cấu của vật đơn vịI là mộtΠ-môđunΓ-đẳng biến (chi tiết xem Mệnh đề 1.2 [14]).
iii) 3-đối chu trình h ∈ Z3
Γ(π0G, π1G) được xây dựng thông qua một phạm trù khung
ˆ
G tương đương vớiGnhư sau.
Với mỗi s ∈π0G, chọn một vậtXs ∈s, với X1 =I và với bất kỳ vật X khác thuộcs
ta cố định một mũi tên bậc 1,
iX :X →Xs, với iXs =idXs, iI⊗Xs =lXs, iXs⊗I =rXs.
Khi đó, phạm trù Gˆ có các vật là tất cả các Xs, s∈ π0G, là một phạm trù con đầy của G với grˆ =gr|Gˆ,⊗ˆ =⊗|Gˆ,Iˆ=I vàˆl=id= ˆr.
Vớis ∈π0Gthì các đẳng cấu nhóm
Aut1(Xs)←δˆ π1Gˆ =π1G→γˆ Aut1(Xs)
được xác định bởiδˆX
s(a) = Xs⊗ˆa, ˆγXs(a) = a⊗ˆXs.
Với mỗiσ ∈Γvà mỗis ∈π0Gˆ =π0Gthì có một mũi tên trongGˆ với đối miền Xs và có bậc σ,
Υ(s,σ) :Xs →Xσs, Υ(1,σ)= ˆI(σ), Υ(s,1) =idXs.
Hơn nữa, nếuf :Xr →Xs là mũi tên có bậcσ trongGˆ thì với a∈π1Gˆ =π1G, ta có
fγˆXr(a) = ˆγXs(σa)f, fδˆXr(a) = ˆδXs(σa)f. (4.5) Sử dụng các đẳng cấu nhóm ˆγ này ta xác định được một 3-đối chu trình đẳng biến h
bởi các đẳng thức
ˆ
aXr,Xs,Xt = ˆγXrst(h(r, s, t)),
Υ(rs,σ) = ˆγXσ(rs)(h(r, s, σ))(Υ(r,σ)⊗Υˆ (s,σ)), (4.6)
Bây giờ, nhóm phạm trù Γ-phân bậc Z Γ (Π, A, h) = Z Γ (Π, A, h), gr,⊗, I,a,l,r
được xây dựng như sau: các vật là các phần tử x ∈ Π và mũi tên của chúng là các cặp
(a, σ) :x→y bao gồm phần tửa∈A vàσ ∈Γsao choσx=y. Hợp thành của hai mũi tên (x−−→(a,σ) y−−→(b,τ) z)được cho bởi
(b, τ)(a, σ) = (b+τ a+h(x, τ, σ), τ σ).
Tích tenxơ phân bậcR
Γ(Π, A, h)ìΓR
Γ(Π, A, h)→R
Γ(Π, A, h)được cho bởi
(x(a,σ→)y)⊗(x0 (→b,σ)y0) = (xx0 (a+yb+h(x,x
0,σ),σ)
−−−−−−−−−−−→yy0).
Các mũi tên đẳng cấu kết hợp được cho bởi
ax,y,z = (h(x, y, z),1) : (xy)z →x(yz). Hàm tử phân bậc đơn vịI : Γ→ R Γ(Π, A, h)cho bởi I(∗−→ ∗) = (1σ −−→(0,σ) 1). Các ràng buộc đơn vị là đồng nhấtlx = (0,1) =rx :x→x. Nhóm phạm trù phân bậcR
Γ(Π, A, h)là tương đương monoidal với nhóm phạm trù phân bậc Gdo mệnh đề dưới đây. Mệnh đề 4.1. Γ-hàm tử(HΓ,HeΓ, id) : RΓ(Π, A, h)→Gxác định bởi HΓ(s) = Xs HΓ(r(a,σ→)s) = (Xr −−−−−−−−→ˆγXs(a)◦Υ(r,σ) Xs) (HeΓ)r,s=i−1Xr⊗Xs,
với σr=s, là một tương đương monoidalΓ-phân bậc.
Chứng minh. Trước hết, ta có: HΓ(ids) =HΓ(0,1) =idXs =idHΓ(s).
Với các mũi tên(r(a,σ→)s),(s(→b,τ)t)ta có:
HΓ[(b, τ)◦(a, σ)] =HΓ[b+τ a+h(r, τ, σ), τ σ] =(Xr −−−−−−−−−−−−−−−−→γˆXt(b+τ a+h(r,τ,σ))◦Υ(r,τ σ) Xτ σr) =ˆγXτ σr(b)◦γˆXτ σr(τ a)◦γˆXτ σr(h(r, τ, σ))◦Υ(r,τ σ) (4.6) = ˆγXτ σr(b)◦γˆXτ σr(τ a)◦Υ(σr,τ)◦Υ(r,σ) (4.5) = ˆγXτ σr(b)◦Υ(σr,τ)◦ˆγXσr(a)◦Υ(r,σ) =(Xs−−−−−−−−→γˆXτ s(b)◦Υ(s,τ) Xt)◦(Xr−−−−−−−−→γˆXσs(a)◦Υ(r,σ) Xs) =HΓ(b, τ)◦HΓ(a, σ).
Vậy HΓ là một hàm tử Γ-phân bậc. Ta xây dựng hàm tử Γ-phân bậc(GΓ,GeΓ, id) :G→R Γ(Π, A, h)như sau GΓ(X) = [X] =s GΓ(X →f Y) = (s (ˆγ −1 Xσs(i−Y1f iXΥ−(s,σ1 )),σ) −−−−−−−−−−−−−→σs) (GeΓ)Xr,Xs =GΓ(iXr ⊗iXs),
trong đó, f :X →Y là mũi tên có bậcσ và σ[X] = [Y]. Hơn nữa, doiXs =idnên
HΓGΓ(X) = HΓ(s) =Xs, HΓGΓ(f) = HΓ(ˆγX−1σs(iY−1f iXΥ−1(s,σ)), σ) =i−1Y f iX, GΓHΓ(s) = GΓ(Xs) = s, GΓHΓ(a, σ) = GΓ(γXs(a)◦Υ(r,σ)) = (a, σ). Vậy ta có các đẳng cấu hàm tử iX :HΓGΓ(X)→∼ X, ids :GΓHΓ(s)→∼ s.
Do đó, HΓ là một tương đương giữa các phạm trùΓ-phân bậc.
Hơn nữa, các hàm tửΓ-phân bậcGΓ vàHΓ là các tương đương monoidal phân bậc. Các tương đươngGΓ, HΓ được gọi là những tương đương phân bậc chính tắc.
Nhận xét: Ta thấy rằng các tương đương phân bậc chính tắc HΓ, GΓ được xây dựng hoàn toàn tương tự như các tương đương chính tắcG, H trong [50] (Mệnh đề 7, Chương II) nhưng được làm giàu thêm tính chất Γ-phân bậc.