F =H KG G→ G
2.3 Phân lớp các nhóm phạm trù bện
Trong mục này, chúng tôi sẽ sử dụng Định lý 2.6 để chứng minh định lý phân lớp cho phạm trù các nhóm phạm trù bện.
Cho nhóm phạm trù bệnB= (B,⊗, I,a,l,r,c). Khi đó tậpM =π0Bcác lớp vật đẳng cấu của B là một nhóm aben với phép toán cảm sinh bởi tích ⊗, và tập N = π1B các tự đẳng cấu của vật đơn vị I là một nhóm aben với phép hợp thành (xem [21]). Ta xây dựng phạm trù SB có các vật là các phần tử của nhómπ0B và các mũi tên là những tự đẳng cấu
(x, a) :x →x, trong đóx∈ π0B, a∈π1B. Hợp thành của hai mũi tên được cảm sinh bởi phép cộng trong π1B: (x, a)◦(x, b) = (x, a+b).Phép toán⊗ được xác định như sau
x⊗y=x.y, x, y ∈π0B,
(x, a)⊗(y, b) = (xy, a+b), a, b∈π1B.
Các ràng buộc đơn vị trong SB là chặt chẽ. Các ràng buộc kết hợp và bện của SB có dạng tương ứng làax,y,z = (xyz, h(x, y, z))và cx,y = (xy, η(x, y)), trong đó bện cảm sinh (•, η)
được cho bởi biểu đồ giao hoán sau (trong đó (Xx, iX)là một đính của nhóm phạm trù bện B theo nghĩa ở mục 1.1.2) Xx⊗Xy Xxy Xy⊗Xx Xyx. - iXx⊗Xy ? c ? γXxy(η(x,y)) - iXy⊗Xx
Do các điều kiện khớp (1.1), (1.4), (1.5) của một phạm trù monoidal bện nên cặp(h, η)như vậy thỏa mãn các hệ thức:
h(y, z, t)−h(x+y, z, t) +h(x, y+z, t)−h(x, y, z+t) +h(x, y, z) = 0, h(x, y, z)−h(y, x, z) +h(y, z, x) +η(x, y+z)−η(x, y)−η(x, z) = 0, h(x, y, z)−h(x, z, y) +h(z, x, y)−η(x+y, z) +η(y, z) +η(x, z) = 0.
Do tính tương thích của ràng buộc kết hợp với ràng buộc đơn vị chặt chẽ trongSB nên hàm
h thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc:
h(1, y, z) =h(x,1, z) =h(x, y,1) = 0,
nghĩa là cặp(h, η)là một 3-đối chu trình aben của nhómπ0Blấy hệ tử trongπ1Btheo nghĩa trong [25]. Ta ký hiệu SB= (M, N, h, η)và gọi là một thu gọn của nhóm phạm trù bệnB. Hơn nữa, khi đó(H,He),(G,Ge)xác định bởi (1.3) là những tương đương monoidal bện.
Giả sử S= (M, N, h, η), S0 = (M0, N0, h0, η0) là những nhóm phạm trù bện. Từ Mệnh đề 2.5 suy ra mỗi hàm tử F :S →S0 là một hàm tử kiểu(ϕ, f), nghĩa là có cặp đồng cấu nhóm ϕ:M →M0,f :N →N0 thỏa mãn
F(x) =ϕ(x), F(x, a) = (ϕ(x), f(a)).
Nếu trongBta chọn đính(Xx0, iX0 )thay cho đính(Xx, iX)thì 3-đối chu trình tương ứng
(h0, η0)thỏa mãn điều kiện(h0, η0)−(h, η) =δg, với 3-đối bờδgđược xác định bởi
δg(x, y, z) = g(y, z)−g(x+y, z) +g(x, y+z)−g(x, y), δg(x, y) = g(x, y)−g(y, x).
Điều này chứng tỏ mỗi nhóm phạm trù bệnBxác định duy nhất phần tử(h, η)∈H3
ab(π0B, π1B). Từ Mệnh đề 2.4 dễ dàng suy ra.
Hệ quả 2.9. Mỗi hàm tử monoidal bện (F,Fe) :S→S0 là một bộ ba (ϕ, f, g), trong đó
ϕ∗(h0, η0)−f∗(h, η) =∂ab(g).
Với những chuẩn bị trên, bây giờ chúng ta có thể xác định phạm trù H3BGr
mà vật của nó là các bộ ba (M, N,(h, η)), với (h, η) ∈ Hab3 (M, N). Mũi tên (ϕ, f) : (M, N,(h, η)) → (M0, N0,(h0, η0)) trong H3BGr là cặp (ϕ, f) sao cho tồn tại g : M2 →
N0 để (ϕ, f, g) là một hàm tử monoidal bện (M, N,(h, η)) → (M0, N0,(h0, η0)), nghĩa là
ϕ∗(h0, η0) =f∗(h, η)∈H3
ab(M, N0). Ký hiệu
BCG
là phạm trù có vật là các nhóm phạm trù bện và mũi tên là các hàm tử monoidal bện, chúng tôi phát biểu định lý phân lớp dưới đây, mà phép chứng minh của nó thu được từ Hệ quả 2.9 và từ phép chứng minh các Định lý 2.7, Định lý 2.8 với những điều chỉnh thích hợp. Định lý này là một phiên bản của Mệnh đề 14 [21], với những thay đổi tương tự như Định lý 2.7. Định lý 2.10. [Định lý phân lớp] Tồn tại một hàm tử phân lớp
d: BCG → H3
BGr
B 7→ (π0B, π1B,(h, η)B) (F,Fe) 7→ (F0, F1)
có các tính chất sau:
i)dF là một đẳng cấu khi và chỉ khi F là một tương đương.
ii)d là một toàn ánh trên tập các vật.
HomBr
(ϕ,f)[B,B0]∼=H2
ab(π0B, π1B0),
trong đó HomBr
(ϕ,f)[B,B0] là tập các lớp đồng luân của các hàm tử monoidal bện từ B đến B0 cảm sinh cặp(ϕ, f).
Ký hiệu
BCG[M, N]
là tập các lớp tương đương của các nhóm phạm trù bện tiền đính kiểu (M, N). Khi đó, sử dụng Hệ quả 2.9 ta có thể chứng minh được kết quả tương tự như Định lý 2.8.
Định lý 2.11. Tồn tại một song ánh
Γ :BCG[M, N]→Hab3(M, N),
[B]7→q−1∗ p∗(h, η)B.
ở đây, chúng tôi bàn luận về một kết quả phân lớp khác của A. Joyal và R. Street. Trong [22] các tác giả đã phân lớp các nhóm phạm trù bện bởi các ánh xạ toàn phương mà ta có thể nói tóm tắt như sau.
ánh xạ ν : M → N giữa hai nhóm aben được gọi là ánh xạ toàn phương theo nghĩa: hàm h(x, y) = ν(x) +ν(y)−ν(x+y) là song tuyến tính vàν(−x) = ν(x). Vết của một 3-đối chu trình aben (h, η)∈Z3
ab(M, N)là ánh xạ
tη :M →N, tη(x) =η(x, x).
Nó là một ánh xạ toàn phương, và S. Eilenberg - S. MacLane [19, 25] đã chứng minh rằng vết xác định một đẳng cấu
Hab3(M, N)∼=Quad(M, N), [(h, η)]7→t
η, (2.5)
trong đó Quad(M, N) là nhóm aben các ánh xạ toàn phương từ M vào N. Kết quả này đóng vai trò cơ bản trong phép chứng minh Định lý phân lớp (Định lý 3.3 [22]) của A. Joyal và R. Street. Họ đã chỉ ra rằng, mỗi nhóm phạm trù bện B xác định một hàm toàn phương qB : π0B → π1B, và từ đó gọi Quad là phạm trù có các vật là (M, N, t), trong đó t là các ánh xạ toàn phương t : M → N giữa hai nhóm aben M, N và các mũi tên
(ϕ, f) : (M, N, t) → (M0, N0, t0) bao gồm các đồng cấu ϕ, f thoả mãn hình vuông giao hoán M M0 N N0. - ϕ ? t ? t0 - f