F =H KG G→ G
2.5.2 Hàm tử monoidal và bài toán mở rộng nhóm
Trong tiểu mục này chúng tôi áp dụng Định lý 2.7 để thu lại được Định lý cổ điển Schreier về mở rộng nhóm [53].
Ký hiệu Ext(Π, G)là tập các lớp tương đương các mở rộng của Gbởi Π, ta phát biểu định lý sau đây.
Định lý 2.18. Cho các nhóm GvàΠ. Khi đó:
i)Tồn tại một phân hoạch chính tắc
Ext(Π, G) = `
ψ
Ext(Π, G, ψ),
trong đó, với mỗi đồng cấu ψ : Π → AutG/InG thì Ext(Π, G, ψ) là tập các lớp tương đương của các mở rộng nhóm E :G→B →ΠcủaGbởiΠ cảm sinhψ.
ii)Mỗi hạt nhân trừu tượng (Π, G, ψ) xác định một lớp đối đồng điều (chuẩn tắc) chiều 3, Obs(Π, G, ψ) ∈ H3(Π, ZG) (với cấu trúc Π-môđun trên ZG thu được qua ψ), gọi là cái cản trở của (Π, G, ψ). Hạt nhân trừu tượng có mở rộng khi và chỉ khi cản trở của nó triệt tiêu. Khi đó, có một song ánh
Ext(Π, G, ψ)↔H2(Π, ZG).
Dưới đây, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng mỗi hệ nhân tử(ϕ, f)của một mở rộng nhóm có thể nâng lên thành một hàm tử monoidalF :DisΠ→AutG, trong đóDis Π là nhóm phạm trù kiểu (Π,0,0), và do đó có thể phân lớp các mở rộng nhóm bằng phương pháp sử dụng các hàm tử monoidal.
Ký hiệu Hom(ψ,0)[DisΠ,AutG] là tập các lớp đồng luân của các hàm tử monoidal từ DisΠtới AutG cảm sinh cặp đồng cấu(ψ,0), ta có:
Định lý 2.19. (Lý thuyết Schreier cho các mở rộng nhóm) Tồn tại một song ánh
∆ : Hom(ψ,0)[Dis Π,AutG]→Ext(Π, G, ψ).
Chứng minh. Bước 1: Xây dựng mở rộng nhóm EF của GbởiΠđược cảm sinh bởi hàm tử monoidalF : Dis Π→AutG.
Cho hàm tử monoidal (F,Fe) : DisΠ → AutG. Thế thì Fex,y = f(x, y) là một hàm
Π2 →Gthỏa mãn
F(x)◦F(y) =àf(x,y)◦F(xy). (2.19) Tính tương thích của(F,Fe)với các ràng buộc kết hợp, đơn vị cho các hệ thức
f(x,1) = f(1, y) = 0. (2.21) Dựng nhómBF ={(a, x)|a∈G, x∈Π} với phép toán
(a, x) + (b, y) = (a+F(x)(b) +f(x, y), xy).
Khi đó, BF là mở rộng của GbởiΠ,
EF : 0→G→i BF →p Π→1,
với i(a) = (a,1), p(a, x) = x.Do các hệ thức (2.19), (2.20) suy ra tính kết hợp của phép toán trong BF. Do (2.21) phần tử đơn vị của phép cộng trong BF là (0,1), và phần tử đối của (a, x)∈BF là(b, x−1)∈BF,với b là phần tử sao choF(x)(b) = −a+f(x, x−1).
Đồng cấu liên hợp ψ : Π → AutG/InG được xác định bởi ψ(x) = [à(0,x)]. Bằng phép tính đơn giản ta có à(0,x)(a,1) = (F(x)(a),1). Đồng nhất G với ảnh iG ta được
ψ(x) = [F(x)].
Bước 2: F vàF0 đồng luân khi và chỉ khi EF vàEF0 tương đẳng.
Giả sử F, F0 : Dis Π→ AutG là hai hàm tử monoidal với đồng luânα :F →F0. Khi đó, theo định nghĩa của mũi tên monoidal, biểu đồ sau giao hoán
F(x)⊗F(y) F(xy) F0(x)⊗F0(y) F0(xy). - e F ? αx⊗αy ? αxy - e F0 Nghĩa là e Fx,y+αxy =αx⊗αy+Fex,y0 , hay f(x, y) +αxy =αx+F0(x)(αy) +f0(x, y). (2.22) Bây giờ, ta đặt β :BF → BF0, (a, x) 7→ (a+αx, x).
Lưu ý rằngF(x) =àαx ◦F0(x), và áp dụng (2.22) ta chứng minh đượcβ là một đồng cấu. Hơn nữa, nó là một đẳng cấu làm cho biểu đồ sau giao hoán
EF : 0 //G i //BF p // β Π //1 EF0 : 0 //G i0 //BF0 p0 / /Π //1,
nghĩa là EF và EF0 tương đẳng.
Chiều ngược lại của mệnh đề có thể thu được theo lập luận ngược lại từng bước. Với Bước 2 này, dễ thấy tương ứng ∆ : [F]7→[EF]là một đơn ánh.
Bước 3: Chứng minh ∆là toàn ánh. Giả sử ta có một mở rộng nhóm
E : 0→G→i B →p Π→1,
liên hợp với đồng cấu ψ : Π →AutG/InG. Với mỗix ∈Π, ta chọn một đại diệnux trong
B, nghĩa làp(ux) = x. Đặc biệt, chọnu1 = 0. Khi đó, các phần tử của B được biểu diễn duy nhất dưới dạng a+ux, vớia∈G, x∈Π, và
ux+a=àux(a) +ux.
Vì tổng ux+uy nằm trong cùng một lớp vớiuxy, nên tồn tại duy nhất phần tửf(x, y)∈G
sao cho
ux+uy =f(x, y) +uxy.
Hàmf chính là một hệ nhân tử của mở rộngE. Nó thỏa mãn các hệ thức:
àux[f(y, z)] +f(x, yz) = f(x, y) +f(xy, z), x, y, z∈Π. (2.23)
f(x,1) = f(1, y) = 0. (2.24)
Ta xây dựng một hàm tử monoidalF = (F,Fe): DisΠ→AutG bằng cách đặtF(x) =àux,
e
Fx,y =f(x, y).
Rõ ràng, các hệ thức (2.23), (2.24) chứng tỏ rằng(F,Fe)là một hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù.
Bây giờ ta chứng minh Định lý 2.18.
Cho hạt nhân trừu tượng (Π, G, ψ). Với mỗi x ∈ Π ta chọn ϕ(x) ∈ ψ(x) thỏa mãn
ϕ(1) =idG. Họ các ϕ(x)cảm sinh hàm f : Π2 → Gthỏa mãn hệ thức (2.14). Cặp (ϕ, f)
cảm sinh một cản trở k ∈ Z3(Π, ZG) bởi hệ thức (2.15). Đặt F(x) = ϕ(x) ta được một hàm tử DisΠ→AutG.
GọiS= (AutG/InG, ZG, h)là nhóm phạm trù thu gọn củaAutG. Thế thìF cảm sinh cặp đồng cấu nhóm (ψ,0) : (Π,0) → (AutG/InG, ZG), và theo (2.2) thì một cản trở của hàm tử F là ψ∗h. Theo Mệnh đề 2.15, ψ∗h = k, nghĩa là cái cản trở của hạt nhân trừu tượng (Π, G, ψ) trùng với cái cản trở của hàm tửF. Từ đó, theo Định lý 2.6, (Π, G, ψ) có mở rộng khi và chỉ khi cái cản trở của nó triệt tiêu.
Theo Định lý 2.7 tồn tại song ánh
doπ0(DisΠ) = Π, π1(AutG) = ZG. Cùng với Định lý 2.19 ta có:
Ext(Π, G, ψ)↔H2(Π, ZG).
Định lý 2.18 được chứng minh.
Kết luận của Chương 2
Trong chương này chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:
• Mô tả và phân lớp các hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f) giữa các nhóm phạm trù kiểu
(Π, A).
• Phân lớp các nhóm phạm trù, nhóm phạm trù bện nhờ các kết quả về các hàm tử monoidal kiểu(ϕ, f).
•Phân lớp các nhóm phạm trù bện phân bậc bằng phương pháp hệ nhân tử.
• Chứng minh mỗi nhóm phạm trù tương đương với một nhóm phạm trù chặt chẽ và giải bài toán mở rộng nhóm cổ điển nhờ các kết quả về các hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f).
Chương 3