/ B j0 EF p0 α∗
Ann-phạm trù chặt chẽ và mở rộng vành kiểu E-hệ chính qu
5.2 Song môđun chéo và E-hệ chính qu
Khái niệm môđun chéo trên cáck-đại số (klà trường) đã được J. -H. Baues giới thiệu trong [4] khi nghiên cứu về các đại số thứ cấp (secondary algebra). Sau đó, các môđun chéo trên các k-đại số đã được sử dụng để định nghĩa các mở rộng chéo của một đại sốB bởi mộtB-song môđunM [5]. Trong [6], các tác giả đã thay thế trườngkbởi vành giao hoán, có đơn vị K và thu được khái niệm song môđun chéo. Mối liên hệ giữa khái niệm này với các mở rộng chéo và nhóm đối đồng điều Hochschild chiều 3 đã được xem xét trong [31].
Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm song môđun chéo và đồng cấu song môđun chéo theo [31].
Định nghĩa [31]. i) Một song môđun chéo là một bộ ba (B, D, d), trong đóD làK-đại số kết hợp, B là D-song môđun vàd:B →D là đồng cấuD-song môđun thỏa mãn
d(b)b0 =bd(b0), b, b0 ∈B. (5.1) ii) Một đồng cấu(k1, k0) : (B, D, d)→(B0, D0, d0)giữa hai song môđun chéo bao gồm cặp đồng cấu k1 :B →B0, k0 :D→D0, trong đók1 là đồng cấu nhóm,k0 là đồng cấu K-đại số thỏa mãn các điều kiện
k0d =d0k1, (5.2)
k1(xb) = k0(x)k1(b), k1(bx) = k1(b)k0(x), (5.3) với mọi x∈D, b∈B.
Điều kiện (5.3) chứng tỏk1 là đồng cấuD-song môđun khi xemB0 làD-song môđun với tác độngxb0 =k0(x)b0, b0x=b0k0(x).
Khi vành cơ sở K được lấy là vành các số nguyên Z thì song môđun chéo (B, D, d)
được gọi là song môđun chéo trên vành.
Tiếp theo, để trình bày khái niệm E-hệ chúng tôi nhắc lại một số thuật ngữ theo S. Mac Lane [28]. Một song tích của vành Alà một cặp ánh xạa7→ζa, a 7→aζ từA vào chính nó thỏa mãn
ζ(a+b) =ζa+ζb,(a+b)ζ =aζ+bζ, ζ(ab) = (ζa)b,(ab)ζ =a(bζ),
a(ζb) = (aζ)b,
với mọi phần tửa, b∈A.Tổng ζ+ω và tíchζω của hai song tíchζ vàωđược xác định bởi
(ζ+ω)a=ζa+ωa, a(ζ+ω) =aζ+aω,
với mọi a∈A.
Tập tất cả các song tích của A là một vành được ký hiệu bởi MA.Với mỗi phần tử c
của A,song tíchàc xác định bởi
àca=ca, aàc=ac, a∈A,
được gọi là một song tích trong. Khi đó CA={c∈A|àc= 0}được gọi là song tâm củaA.
Hai song tích ζ vàω được gọi là giao hoán nếu với mọia∈A,
ζ(aω) = (ζa)ω, ω(aζ) = (ωa)ζ. (5.4)
Bây giờ, khái niệm E-hệ mà chúng tôi nêu ra dưới đây được xem như một phiên bản của môđun chéo cho các vành.
Định nghĩa [38]. MộtE-hệ là một bộ bốn(B, D, d, θ)trong đód:B →D, θ :D→MB
là các đồng cấu vành thỏa mãn các điều kiện sau:
θ◦d=à, (5.5)
d(θxb) =x.d(b), d(bθx) =d(b).x, (5.6) với mọi x∈D, b∈B.
E-hệ(B, D, d, θ)được gọi là chính qui nếuθlà 1-đồng cấu (đồng cấu biến đơn vị thành đơn vị) và các phần tử thuộc θ(D)là giao hoán.
Một đồng cấu(f1, f0) : (B, D, d, θ)→(B0, D0, d0, θ0)giữa hai E-hệ bao gồm các đồng cấu vành f1 :B →B0, f0 :D →D0 sao cho
f0d=d0f1 (5.7)
và f1 là một đồng cấu toán tử, nghĩa là
f1(θxb) = θf00(x)f1(b), f1(bθx) = f1(b)θ0f0(x). (5.8) Để cho tiện, E-hệ (B, D, d, θ)đôi khi còn được ký hiệu bởi B →d D, hoặc đơn giản là
B →D.
Các ví dụ. 1. Nếu B là một ideal hai phía của D thì ta có E-hệ chính qui (B, D, d, θ0), trong đó dlà phép nhúng,θ0 :D→MB được cho bởi phép lấy song tích, nghĩa là
θ0xb =xb, bθx0 =bx, x∈D, b∈B.
2. Cho D là một vành, B là mộtD-song môđun, 0 : B → Dlà đồng cấu không giữa các
b0(b0) = 0 với mọi b, b0 ∈ B, và ta có E-hệ chính qui (B, D,0, θ), với θ được cho bởi tác động song môđun.
3. ChoB là một vành,MB là vành các song tích củaB, à:B →MB là đồng cấu biến mỗi phần tửb ∈B thành song tích trong củaB. Khi đó ta có E-hệ(B, MB, à, id). Nhìn chung, E-hệ này không chính qui.
Từ định nghĩa E-hệ, ta thấy ngay các tính chất sau đây. Mệnh đề 5.1. Cho E-hệ(B, D, d, θ). Khi đó:
i) Kerd⊂CB,
ii) Imdlà iđêan trongD,
iii) đồng cấu θ cảm sinh đồng cấuϕ:D→MKerd cho bởiϕx =θx|Kerd,
iv) KerdlàCokerd-song môđun với tác động
sa =ϕx(a), as= (a)ϕx, a∈Kerd, xlà một đại diện của s∈Cokerd.
Định lý dưới đây nói lên mối liên hệ giữa hai khái niệm E-hệ chính qui và song môđun chéo trên vành.
Định lý 5.2. Phạm trù các E-hệ chính qui và phạm trù các song môđun chéo trên vành là đẳng cấu.
Chứng minh. Cho E-hệ chính qui=(B, D, d, θ). Khi đó nhóm aben cộngB là mộtD-song môđun với tác động
xb=θxb, bx =bθx (5.9)
với x∈D, b∈B.Có thể kiểm tra rằng các điều kiện của một song môđun chéo được thỏa mãn. Chẳng hạn điều kiện (5.1) được suy ra từ điều kiện (5.5),
d(b)b0 =θd(b)(b0)(5.5)= àb(b0) = bb0 =bàb0 (5.5)
= bθd(b0) =bd(b0),
doàb, àb0 là các song tích trong của vành B. Ngoài ra, tính chính qui của E-hệ là cần và đủ để môđun hai phía B làD-song môđun.
Ngược lại, nếu(B, D, d)là một song môđun chéo trên vành thì B có cấu trúc vành với phép nhân
b∗b0 :=d(b)b0 =bd(b0), b, b0 ∈B. (5.10) Khi đó, d:B →Dlà một đồng cấu vành do với mọib, b0 ∈B ta có
d(b∗b0) =d(d(b)b0) = d(b)d(b0).
ánh xạ θ : D → MB được xác định bởi tác động song môđun (5.9). Đồng cấu θ có ảnh trong MB và hai phần tử củaθ(D) giao hoán do tính D-song môđun của B. Hơn nữa, θ
thỏa mãn điều kiện (5.6) do dlà một đồng cấu song môđun. Điều này chứng tỏ tương ứng
M 7→ (B, D, d)là một song ánh trên tập các vật.
Nếu(f1, f0) : (B, D, d, θ)→(B0, D0, d0, θ0)là một mũi tên giữa các E-hệ thì hiển nhiên
(f1, f0)là cặp đồng cấu thỏa mãn hệ thức (5.2). Mặt khác, với mọi x∈D, b∈B ta có
f1(xb)(5=.9)f1(θxb)(5=.8)θ0f
0(x)f1(b)(5=.9) f0(x)f1(b) = xf1(b).
Tương tự, ta cóf1(bx) = f1(b)x.Nghĩa là cặp(f1, f0)là một mũi tên giữa hai song môđun chéo.
Ngược lại, cho(k1, k0) : (B, D, d)→(B0, D0, d0)là một mũi tên giữa các song môđun chéo. Ta chứng tỏk1 là đồng cấu vành. Theo cách xác định phép nhân trênB đểD-môđun
B trở thành một vành, ta có
k1(b∗b0)(5=.10)k1(d(b)b0)(5=.3) k0(d(b))k1(b0)(5=.2)d0(k1(b))k1(b0)(5=.10)k1(b)∗k1(b0),
với mọi b, b0 ∈B. Hơn nữa, cặp (k1, k0)thỏa mãn (5.8).
Do định lý trên, khái niệm E-hệ được xem như là sự làm yếu của khái niệm song môđun chéo trên vành.