Nhóm phạm trù chặt chẽ và mở rộng nhóm kiểu môđun chéo
3.1 Nhóm phạm trù liên kết với một môđun chéo
Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa môđun chéo trên các nhóm của J. H. C. White- head [43]. Tuy nhiên, ở đây chúng tôi đã thay đổi cách phát biểu để phù hợp cho việc sử dụng trong các tính toán về sau.
Định nghĩa [43]. Một môđun chéo là một bộ bốn M = (B, D, d, θ) trong đó d : B →
D, θ :D→AutB là các đồng cấu nhóm thỏa mãn các hệ thức sau:
C1. θd=à,
trong đó àx là tự đẳng cấu trong sinh bởix.
Để cho tiện, môđun chéo (B, D, d, θ)đôi khi còn được ký hiệu bởiB →d D, hoặc đơn giản là B →D và ta sẽ ký hiệu các phép toán trongB là phép cộng, phép toán trongD là phép nhân.
Một số ví dụ điển hình về môđun chéo có thể kể đến là:
i)(B, D, i, θ0), trong đói:B →Dlà đồng cấu bao hàm của một nhóm con chuẩn tắc,
θ0 được cho bởi liên hợp.
ii) (B, D,0, θ), trong đó 0 : B → D là đồng cấu không, B là D-môđun và θ là tác động môđun.
iii)(B,AutB, à, id), vớià:A→AutB là ánh xạ tự đẳng cấu trong của nhómB. Mô đun chéo này được gọi là môđun chéo các tự đẳng cấu của nhóm B.
iv) (B, D, p, θ0), trong đó p : B → D là toàn cấu nhóm với hạt nhân chứa trong tâm của B,θ0 được cho bởi liên hợp.
Các tính chất sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của môđun chéo. Mệnh đề 3.1. Cho môđun chéo M= (B, D, d, θ). Khi đó:
i) Kerd⊂Z(B),
ii) Imd là nhóm con chuẩn tắc trongD,
iii) đồng cấu θ cảm sinh đồng cấuϕ:D→Aut(Kerd)cho bởi
ϕx =θx|Kerd,
iv) KerdlàCokerd-môđun trái với tác động
sa=ϕx(a), a∈Kerd, x∈s∈Cokerd.
Theo R. Brown và C. Spencer, mỗi môđun chéo có thể được xem như một G-groupoid (chính là nhóm phạm trù chặt chẽ) [8]. Đây cũng chính là nhận xét của A. Joyal và R. Street trong [22]. Để tiện sử dụng cho những phần sau, chúng tôi trình bày chi tiết kết quả này theo ngôn ngữ của nhóm phạm trù. Nghĩa là, nếu cho trước một môđun chéo thì có thể xây dựng được một nhóm phạm trù chặt chẽ, và ngược lại.
Với mỗi môđun chéo(B, D, d, θ)ta có thể xây dựng được một nhóm phạm trù chặt chẽ PB→D :=P, gọi là nhóm phạm trù liên kết với môđun chéoB →D, như sau.
ObP=D,
Hom(x, y) ={b∈B/x=d(b)y}, với hai vậtx, y ∈D.
Hợp thành của các mũi tên được cho bởi
Phép toán tenxơ trên các vật được cho bởi phép nhân trong nhóm D, và với hai mũi tên (x→b y),(x0 b 0 →y0)thì (x→b y)⊗(x0 →b0 y0) = (xx0 b+θyb 0 −→ yy0). (3.1)
Từ định nghĩa của môđun chéo có thể kiểm tra rằng với cách xác định này Plà một nhóm phạm trù với các ràng buộc được xác định đều là chặt chẽ.
Ngược lại, với nhóm phạm trù chặt chẽ(P,⊗)ta có thể xác định một môđun chéo liên kết MP = (B, D, d, θ)như sau. Lấy
D= ObP, B ={x−→b 1|x∈D}.
Các phép toán trên Dvà B lần lượt cho bởi
xy=x⊗y, b+c=b⊗c.
Khi đó D là nhóm với đơn vị 1, nghịch đảo của x là x−1 (x⊗x−1 = 1). B là nhóm với đơn vị là mũi tên (1−→id1 1)và nghịch đảo của mũi tên(x →−b 1)là mũi tên(x−1 −→b 1), với
b⊗b=id1.
Các đồng cấud:B →D vàθ :D→AutB lần lượt cho bởi
d(x−→b 1) =x,
θy(x−→b 1) = (yxy−1 −−−−−−−→idy+b+idy−1 1).
Dễ thử lại rằng (B, D, d, θ)xác định như trên là một môđun chéo.