Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và mở rộng nhóm đẳng biến kiểuΓ môđun
4.3 Γ-môđun chéo và nhóm phạm trù phân bậc liên kết
Khái niệm Γ-môđun chéo là một khái quát của khái niệm môđun chéo của các nhóm của J. H. C. Whitehead [43]. Trước hết, ta có nhận xét rằng nếuB là mộtΓ-nhóm thì nhóm AutB các tự đẳng cấu nhóm củaB cũng là một Γ-nhóm với tác động được cho bởi
(σf)(b) =σ(f(σ−1b)), b∈B, f ∈AutB.
Khi đó, đồng cấuà:B →AutB, b7→àb (àb là tự đẳng cấu trong củaB được cho bởi liên hợp với b) là đồng cấu giữa cácΓ-nhóm. Thật vậy, với mọiσ ∈Γ, a, b∈B ta có
àσb(a) = σb+a−σb =σ(b+σ−1a−b) =σ(àb(σ−1a)) = (σàb)(a).
Định nghĩa [30]. Cho B, D là các Γ-nhóm. Một Γ-môđun chéo là một bộ bốn M = (B, D, d, θ)trong đód:B →D, θ :D→AutB là cácΓ-đồng cấu thỏa mãn các điều kiện sau:
C1. θd=à,
C2. d(θx(b)) = àx(d(b)), C3. σ(θx(b)) =θσx(σb),
trong đó σ∈Γ, x∈D, b∈B, àx là tự đẳng cấu trong sinh bởix.
Γ-môđun chéo còn được gọi là môđun chéo đẳng biến bởi B. Noohi trong [30].
Đặc biệt, nếu Γ = 1 là nhóm tầm thường thì ta thu được khái niệm môđun chéo trên các nhóm của J. H. C. Whitehead.
Ví dụ. Ta có thể thấy ngay những ví dụ điển hình về Γ-môđun chéo là:
i)(B, D, i, θ0), vớii:B →DlàΓ-đồng cấu bao hàm của một Γ-nhóm con chuẩn tắc,
θ0 được cho bởi liên hợp.
ii)(B, D,0, θ), vớiB là mộtD-môđun,Γ-đồng cấu không0 :B →D, vàθlà tác động môđun.
iii)(B,AutB, à, id), vớià:B →AutB làΓ-đồng cấu cho bởi phép lấy liên hợp. iv) (B, D, p, θ0), với p :B → D là một Γ-toàn cấu giữa các Γ-nhóm sao choKerp ⊂
Để cho tiện, giống như đối với môđun chéo, ta sẽ ký hiệu phép toán trong B là phép cộng và phép toán trong D là phép nhân, Γ-môđun chéo (B, D, d, θ)đôi khi còn được ký hiệu bởi B →d D, hoặc đơn giản làB →D.
Kết quả dưới đây được suy ra từ định nghĩa của một Γ-môđun chéo. Mệnh đề 4.6. ChoΓ-môđun chéo (B, D, d, θ). Khi đó:
i) KerdlàΓ-nhóm con củaZB,
ii) Imd là một nhóm con chuẩn tắc trongDđồng thời là mộtΓ-nhóm,
iii) Γ-đồng cấu θ cảm sinhΓ-đồng cấuϕ:D→Aut(Kerd)cho bởi
ϕx =θx|Kerd,
iv) KerdlàCokerd-môđun trái Γ-đẳng biến với các tác động
sa =ϕx(a), σs= [σx], a∈Kerd, x∈s ∈Cokerd.
Như chúng ta đã biết mỗi môđun chéo của các nhóm có thể được xem như một nhóm phạm trù chặt chẽ. Khái niệm môđun chéo của các nhóm có thể được làm giàu theo những hướng khác nhau để trở thành môđun chéo trên vành (E-hệ) hoặc môđun chéo đẳng biến. Theo hướng thứ nhất có thể xem mỗi E-hệ như một Ann-phạm trù chặt chẽ (xem Chương 5). Theo hướng thứ hai, dưới đây chúng tôi sẽ chỉ ra rằng mỗi môđun chéo của các Γ-nhóm có thể được xem như là một nhóm phạm trù Γ-phân bậc chặt chẽ theo nghĩa dưới đây.
Trước hết, một hệ nhân tử F = (G, Fσ, ησ,τ) trên Γ với các hệ tử trong nhóm phạm trù G được gọi là chính qui nếu ησ,τ = id và Fσ là hàm tử monoidal chính qui, với mọi
σ, τ ∈Γ.
Định nghĩa. Nhóm phạm trù phân bậc (P, gr)được gọi là chặt chẽ nếu:
i) KerPlà một nhóm phạm trù chặt chẽ,
ii)Pcảm sinh một hệ nhân tử chính quiF trênΓvới các hệ tử trong nhóm phạm trùKerP. Một cách tương đương, nhóm phạm trù phân bậc(P, gr)được gọi là chặt chẽ nếu nó là
Γ-mở rộng của một nhóm phạm trù chặt chẽ bởi một hệ nhân tử chính qui.
Dưới đây, chúng tôi trình bày phép dựng một nhóm phạm trùΓ-phân bậc chặt chẽ theo nghĩa ở trên từ một Γ-môđun chéo cho trước, và ngược lại.
Cho Γ-môđun chéoM. Nhóm phạm trùΓ-phân bậc chặt chẽPM :=Pliên kết vớiM
được xây dựng như sau.
Các vật của P là các phần tử của nhóm D, σ-mũi tên x → y là cặp (b, σ), trong đó
b ∈B, σ ∈Γ sao choσx=d(b)y. Hợp thành của các mũi tên được cho bởi
Hợp thành có tính kết hợp và có đơn vị do B là một Γ-nhóm. Với mỗi mũi tên (b, σ)trongP, ta có
(b, σ)−1 = (−σ−1b, σ−1),
do đó Plà một groupoid.
Phép toán tensor trên các vật được cho bởi phép nhân trong nhómD, và với hai mũi tên
(x(b,σ→)y),(x0 (→c,σ)y0)thì
(x(→b,σ)y)⊗(x0 −−→(c,σ) y0) = (xx0 −−−−−→(b+θyc,σ) yy0). (4.11) Tính hàm tử của phép toán tenxơ được suy ra từ tính thương thích của tác độngθ vớiΓ-tác động và các điều kiện trong định nghĩa của Γ-môđun chéo như sau.
Với các mũi tên(x(→b,σ)y (→c,τ)x),(x0 (b
0,σ) → y0 (c 0,τ) → z0)trongP, ta có (x(→b,σ)y−−→(c,τ) x)⊗(x0 (b 0,σ) −−−→y0 (c 0,τ) −−−→z0)(4= (.10) x−−−−−→(τ b+c,τ σ) z)⊗(x0 (τ b 0+c0,τ σ) −−−−−−→z0) (4.11) = (xx0 (τ b+c+θz(τ b 0+c0),τ σ) −−−−−−−−−−−−→zz0), [(x−−→(b,σ) y)⊗(x0 (b 0,σ) −−−→y0)]◦[(y−−→(c,τ) z)⊗(y0 (c 0,τ) −−−→z0)] (4.11) = (xx0 (b+θyb 0,σ) −−−−−−→yy0)◦(yy0 (c+θzc 0,τ) −−−−−→zz0) (4.10) = (xx0 (τ(b+θyb 0)+c+θzc0,τ σ) −−−−−−−−−−−−−→ zz0).
Tính hàm tử của phép toán ⊗tương đương với
τ b+c+θz(τ b0+c0) =τ(b+θyb0) +c+θzc0.
Điều này đúng do
τ(θyb0)(C=3)θτ y(τ b0) =θ(dc)z(τ b0)(C=1)àc(θz(τ b0)).
Các ràng buộc kết hợp và đơn vị của phép toán tenxơ là chặt chẽ. Hàm tử phân bậc gr:P→Γcho bởi
(b, σ)7→σ.
Hàm tử phân bậc đơn vịI : Γ→Pcho bởi
I(∗−→ ∗) = (1σ −−→(0,σ) 1).
Do ObP = D là một nhóm và x⊗y = xy nên mọi vật của P đều khả nghịch, và do đó
Ta sẽ chỉ ra rằngPcảm sinh một hệ nhân tử chính quiFtrênΓvới các hệ tử trong KerP. Với mỗix∈D, σ∈Γ, doΥσx = (x−−→(0,σ) σx)là một mũi tên trongPnên ta đặtFσ(x) =σx. Khi đó, theo Bước 1 của phép chứng minh Định lý 2.13, ta cóFσ(b,1) = (σb,1)vàησ,τ =id. Bây giờ, từ cấu trúcΓ-môđun chéo củaB →Dta suy ra đượcFσlà hàm tử monoidal chính qui trên KerP.
Vậy Plà một nhóm phạm trùΓ-phân bậc chặt chẽ.
Ngược lại, ta xây dựng Γ-môđun chéo liên kết với nhóm phạm trùΓ-phân bậc chặt chẽ P cho trước như sau.
LấyD= ObP, B ={x→−b 1|x∈D, gr(b) = 1}.
Các phép toán trên Dvà B lần lượt cho bởi
xy=x⊗y, b+c=b⊗c.
Khi đó Dlà nhóm với đơn vị 1 và nghịch đảo của x là x−1, vớix⊗x−1 = 1. B là nhóm với phần tử không là mũi tên (1 id1
−→1)và đối của mũi tên(x−→b 1)là mũi tên(x−1 −→b 1), với b⊗b =id1.
Theo định nghĩa củaPthì hạt nhân KerPlà một nhóm phạm trù chặt chẽ vàPcảm sinh một hệ nhân tử chính qui (KerP, Fσ, ησ,τ). Bởi vậy D, B là những Γ-nhóm với tác động tương ứng cho bởi
σx=Fσ(x), x∈D, σ∈Γ, σb=Fσ(b), b∈B.
Các tương ứngd:B →D vàθ :D→AutB lần lượt cho bởi
d(x−→b 1) =x,
θy(x−→b 1) = (yxy−1 −−−−−−−→idy+b+idy−1 1).
DoB, D là cácΓ-nhóm nên dễ thấyd, θ là những Γ-đồng cấu.