Nhóm phạm trù chặt chẽ và mở rộng nhóm kiểu môđun chéo
3.2 Phân lớp các môđun chéo
Để thu được định lý phân lớp các môđun chéo, trước hết chúng tôi nghiên cứu về mối liên hệ giữa các đồng cấu môđun chéo và các hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù liên kết tương ứng. Dưới đây, chúng tôi nhắc lại định nghĩa đồng cấu môđun chéo theo R. Brown và O. Mucuk [9].
Định nghĩa [9]. Một đồng cấu(f1, f0) : (B, D, d, θ)→(B0, D0, d0, θ0)giữa hai môđun chéo bao gồm các đồng cấu nhómf1 :B →B0, f0 :D→D0 thỏa mãn:
H1. f0d=d0f1,
H2. f1(θxb) = θ0f
0(x)f1(b),
với mọi x∈D, b∈B.
Bổ đề dưới đây chỉ ra rằng mỗi đồng cấu môđun chéo cảm sinh một hàm tử giữa các nhóm phạm trù liên kết, và điều kiện để hàm tử cảm sinh đó là một hàm tử monoidal.
Bổ đề 3.2. Cho đồng cấu giữa các môđun chéo (f1, f0) : (B, D, d, θ) → (B0, D0, d0, θ0). Gọi P,P0 là hai nhóm phạm trù liên kết lần lượt với các môđun chéo (B, D, d, θ) và
(B0, D0, d0, θ0). Khi đó:
i)Tồn tại một hàm tửF :P→P0 xác định bởiF(x) =f0(x), F(b) =f1(b),vớix∈ObP,
b ∈MorP.
ii) Đẳng cấu tự nhiên Fex,y : F(x)F(y)→ F(xy) cùng với F là một hàm tử monoidal khi và chỉ khi Fex,y =ϕ(x, y)với ϕ∈Z2(Cokerd,Kerd0).
Chứng minh. i) Với (x→b y) là một mũi tên trongPthì
F(x→b y) = f0(x)f→1(b)f0(y)
là một mũi tên trongP0. Thật vậy, theo cách xác định mũi tên trong phạm trù xây dựng bởi một môđun chéo, ta cóx=d(b)y. Do f0 là một đồng cấu nhóm nên
f0(x) =f0(d(b))f0(y)(H=1)d0(f1(b))f0(y),
nghĩa là F(b) =f1(b)là một mũi tên trong P0.
Hơn nữa, dễ thấyF(idx) =idF(x), và với mọib, b0 ∈MorP, dof1 là đồng cấu nên ta có
F(b◦b0) =F(b+b0) =f1(b+b0) = f1(b) +f1(b0) =F(b)◦F(b0).
Vậy F xác định như trong bổ đề là một hàm tử.
ii) Giả thiết các đồng cấu nhómf1, f0 thỏa mãnH2 là tương đương với đẳng thức
F(b⊗c) = F(b)⊗F(c),
với hai mũi tên(x→b x0)và (y→c y0)trongP.
Mặt khác, do f0 là đồng cấu vàF(x) = f0(x)nên Fex,y : F(x)F(y) → F(xy) là mũi tên trong Pnên khi và chỉ khid0(Fex,y) = 10, nghĩa là
e
Fx,y ∈Kerd0 ⊂Z(B0).
Khi đó tính tự nhiên của(F,Fe), tức là tính giao hoán của biểu đồ
F(x)F(y) F(xy) F(x0)F(y0) F(x0y0) - e Fx,y ? F(b)⊗F(c) ? F(b⊗c) - e Fx0,y0
là tương đương với hệ thứcFex,y =Fex0,y0, vớix= (db)x0, y = (dc)y0.Điều này xác định một
hàm ϕ: CokerdìCokerd→Kerd0 bởi
DoF(1) = 10nên tính tương thích của(F,Fe)với các ràng buộc đơn vị tương đương với tính chuẩn tắc của ϕ. Tính tương thích của (F,Fe) với các ràng buộc kết hợp tương đương với hệ thức
θF0 (x)(Fey,z) +Fex,yz =Fex,y+Fexy,z,
và do đó
xϕ(y, z) +ϕ(x, y z) = ϕ(x, y) +ϕ(x y, z),
trong đó tác động củaCokerdlênKerd0được cảm sinh chính tắc bởi tác động củaCokerd0
lên Kerd0 nhờ đồng cấu f0: xb0 =f0(x)b0. Bởi vậy, ϕ∈Z2(Cokerd,Kerd0). Do Bổ đề 3.2 ta có thể xác định phạm trù
Cross
có vật là các môđun chéo, còn mũi tên là các bộ ba (f1, f0, ϕ), trong đó(f1, f0) : (B →d
D)→(B0 d
0
→D0)là một đồng cấu môđun chéo vàϕ∈Z2(Cokerd,Kerd0).Phép hợp thành với mũi tên(f10, f00, ϕ0) : (B0 →d0 D0)→(B00→d00 D00)được cho bởi
(f10, f00, ϕ0)◦(f1, f0, ϕ) = (f10f1, f00f0,(f10)∗ϕ+f0∗ϕ0).
Định nghĩa. Hàm tử monoidal(F,Fe) :P→P0 được gọi là chính qui nếuF bảo toàn phép toán ⊗, nghĩa là:
S1. F(x)⊗F(y) = F(x⊗y), S2. F(b)⊗F(c) = F(b⊗c),
với x, y ∈ObP, b, c∈MorP.
Bổ đề dưới đây chỉ ra rằng mỗi hàm tử monoidal chính qui giữa các nhóm phạm trù liên kết xác định một mũi tên trong phạm trùCross.
Bổ đề 3.3. Giả sử P vàP0 là hai nhóm phạm trù chặt chẽ lần lượt liên kết với các môđun chéo(B, D, d, θ)và(B0, D0, d0, θ0),(F,Fe) :P→P0 là một hàm tử monoidal chính qui. Khi đó, bộ ba(f1, f0, ϕ), trong đó
f1(b) =F(b), f0(x) =F(x), ϕ(x, y) = Fex,y,
với b∈B, x∈D, x∈Cokerd,là một mũi tên trong phạm trùCross.
Chứng minh. Do điều kiệnS1 nênf0là một đồng cấu nhóm. DoF bảo toàn phép hợp thành các mũi tên nên f1 là một đồng cấu nhóm.
Mỗi phần tử b ∈ B có thể được xem như là một mũi tên (db →b 1)trong P và do đó
(F(db) F→(b) 10) là một mũi tên trong P0, nghĩa là ta có H1: f0(d(b)) = d0(f1(b)), với mọi
Theo phép chứng minh Bổ đề 3.2, do f1 là đồng cấu thỏa mãnS2 nên ta có H2. Như vậy, cặp(f1, f0)là một đồng cấu của các môđun chéo.
Bây giờ, theo Bổ đề 3.2, Fex,y ∈ Kerd0 ⊂ Z(B0), và nó xác định một hàm ϕ ∈
Z2(Cokerd,Kerd0)bởiϕ(x, y) =Fex,y.
Ký hiệuGrstrlà phạm trù có các vật là các nhóm phạm trù chặt chẽ và mũi tên là các hàm tử monoidal chính qui. Ta thu được định lý sau đây về sự phân lớp phạm trù các môđun chéo.
Định lý 3.4 (Định lý phân lớp). Tồn tại một tương đương
Φ :Cross → Grstr,
(B →D) 7→ PB→D
(f1, f0, ϕ) 7→ (F,Fe)
trong đó F(x) =f0(x), F(b) =f1(b), Fex,y =ϕ(x, y), vớix, y ∈D, b ∈B.
Chứng minh. Giả sử P,P0 lần lượt là các nhóm phạm trù liên kết với các môđun chéo
B →D, B0 →D0. Theo Bổ đề 3.2, tương ứng (f1, f0, ϕ)7→ (F,Fe) xác định một đơn ánh trên các tập Hom:
Φ : HomCross(B →D, B0 →D0)→HomGrstr(PB→D,PB0→D0).
Theo Bổ đề 3.3 thì Φtoàn ánh.
Nếu P là một nhóm phạm trù chặt chẽ, và MP là mođun chéo liên kết với nó thì
Φ(MP) =P(không chỉ là đẳng cấu). VậyΦlà một tương đương.
Nhận xét. Định lý 1 [8] của R. Brown và C. Spencer khẳng định rằng phạm trù G các
G-groupoid và phạm trù C các môđun chéo là tương đương. Ta thấy rằng phạm trù G là phạm trù con của phạm trù Grstr mà mũi tên chỉ gồm những hàm tử monoidal (F,Fe) có
e
F = id. Phạm trù C là phạm trù con của phạm trù Cross gồm những mũi tên (f1, f0, ϕ)
với ϕ= 0. Bởi vậy Định lý 3.4 là chứa Định lý 1 [8].