Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và mở rộng nhóm đẳng biến kiểuΓ môđun
4.4 Phân lớp các Γ-môđun chéo
Trong mục này, trước hết chúng tôi sẽ trình bày về mối liên hệ giữa các đồng cấu Γ- môđun chéo và các hàm tử monoidal Γ-phân bậc giữa các nhóm phạm trù phân bậc liên kết tương ứng. Từ đó phát biểu và chứng minh định lý phân lớp cho các Γ-môđun chéo. Định nghĩa [39]. Một đồng cấu (f1, f0) :M → M0 giữa hai Γ-môđun chéo bao gồm các
Γ-đồng cấu f1 :B →B0,f0 :D→D0 sao cho:
H2. f1(θxb) = θ0f
0(x)f1(b),
với mọi x∈D, b∈B.
Ta có nhận xét rằng mỗi mũi tên x−−→(b,σ) y trongPM có thể phân tích thành
x−−→(0,σ) σx−−→(b,1) y,
và mỗiΓ-hàm tử monoidal(F,Fe) :PM →PM0 xác định một hàmf :D2∪(DìΓ)→B0, cho bởi
(f(x, y),1) =Fex,y, (f(x, σ), σ) = F(x(0→,σ)σx) (4.12) Bổ đề 4.7. Cho đồng cấu (f1, f0) : M → M0 của các Γ-môđun chéo. Khi đó, tồn tại một
Γ-hàm tử monoidal (F,Fe) :PM → PM0 sao choF(x) = f0(x), F(b,1) = (f1(b),1) nếu và chỉ nếu f =p∗ϕ,vớiϕ∈ZΓ2(Cokerd,Kerd0), vàp:D→Cokerdlà phép chiếu chính tắc.
Chứng minh. Do f0 là đồng cấu và F(x) = f0(x) nên Fex,y : F(x)F(y) → F(xy) là mũi tên bậc 1 trong P0 khi và chỉ khidf(x, y) = 10, hayf(x, y)∈Kerd0 ⊂Z(B0).
Cũng như vậy, do f0 là Γ-đồng cấu nên F(x) −−−−−→(f(x,σ),σ) F(σx)là mũi tên bậcσ trong P0 khi và chỉ khi df(x, σ) = 10, hay f(x, σ) ∈ Kerd0 ⊂ Z(B0). Đặc biệt, khi σ = 1 thì
f(x,1Γ) = f1(0) = 0.
Tính đồng cấu nhóm củaf1là tương đương với điều kiệnF bảo toàn tính hợp thành các mũi tên bậc 1. Điều kiện F bảo toàn các mũi tên dạng(0, σ) tương đương với
τ f(x, σ) +f(σx, τ) =f(x, τ σ). (4.13) Đối với điều kiện đểFex,y là tự nhiên, ta xét hai trường hợp sau.
Trường hợp 1: Đối với các mũi tên bậc 1, ta xét biểu đồ:
F(x)F(y) F(xy) F(x0)F(y0) F(x0y0). - e Fx,y ? F(b,1)⊗F(c,1) ? F[(b,1)⊗(c,1)] - e Fx0,y0
Dof0, f1 là các đồng cấu thỏa mãn điều kiệnH2 nên
F(b,1)⊗F(c,1) =F[(b,1)⊗(c,1)].
Khi đó do f(x, y), f(x0, y0)∈Z(B0)nên biểu đồ trên là giao hoán khi và chỉ khi
Bởi vậy Fe xác định một hàmϕ: Coker2d→Kerd0 cho bởi
ϕ(r, s) = f(x, y), r=p(x), s=p(y),
trong đó p:D→Cokerdlà phép chiếu chính tắc.
Trường hợp 2: Đối với các mũi tên dạng(0, σ), ta xét biểu đồ:
F(x)F(y) F(xy) F(σx)F(σy) F(σx)(σy) = F σ(xy). - e Fx,y ? F(0,σ)⊗F(0,σ) ? F[(0,σ)⊗(0,σ)] - e Fσx,σy
Biểu đồ trên giao hoán khi và chỉ khi
σf(x, y)−f(σx, σy) = f(x, σ) +θF0 (σx)f(y, σ)−f(xy, σ),
hay
σf(x, y)−f(σx, σy) =f(x, σ) + (σx)f(y, σ)−f(xy, σ). (4.14) Mặt khác, tính giao hoán của hình vuông
F(x) F(σx) F(y) F(σy) - (f(x,σ),σ) ? F(b,1) ? F(σb,1) - (f(y,σ),σ) kéo theo f(x, σ) +f1(σb) = σf1(b) +f(y, σ).
Dof1 làΓ-đồng cấu nên từ đó suy raf(x, σ) =f(y, σ), vớiy=d(b)x. Điều này xác định
hàm ϕ: CokerdìΓ→Kerd0
ϕ(r, σ) = f(x, σ), r =p(x).
Như vậy, ta có một hàm
ϕ: Coker2d∪CokerdìΓ→Kerd0.
Hàm ϕchuẩn tắc theo nghĩa
Hai đẳng thức đầu tiên có được do F(1) = 10 và do (F,Fe) tương thích với các ràng buộc đơn vị. Đẳng thức cuối đúng do f(x,1Γ) = 0.
Tính tương thích của(F,Fe)với các ràng buộc kết hợp cho
θ0F(x)(f(y, z)) +f(x, yz) = f(x, y) +f(xy, z). (4.15) Từ các hệ thức (4.13)-(4.15) suy ra ϕ∈Z2
Γ(Cokerd,Kerd0).
Do Bổ đề 4.7 ta có thể xác định phạm trùΓCrosscó vật là cácΓ-môđun chéo, còn mũi tên là các bộ ba (f1, f0, ϕ), trong đó (f1, f0) : M → M0 là một đồng cấu Γ-môđun chéo và ϕ∈Z2
Γ(Cokerd,Kerd0). Phép hợp thành với mũi tên(f10, f00, ϕ0) :M0 → M00 được cho bởi
(f10, f00, ϕ0)◦(f1, f0, ϕ) = (f10f1, f00f0,(f10)∗ϕ+f0∗ϕ0).
Lưu ý rằng nhóm phạm trù Γ-phân bậc chặt chẽP cảm sinhΓ-tác động trên nhóm Dcác vật và trên nhóm B các mũi tên bậc 1, ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa. Hàm tử monoidalΓ-phân bậc(F,Fe) :P→P0 giữa hai nhóm phạm trùΓ-phân bậc chặt chẽ được gọi là chính qui nếu:
S1. F(x⊗y) =F(x)⊗F(y),
S2. F(b⊗c) =F(b)⊗F(c),
S3. F(σb) =σF(b),
S4. F(σx) =σF(x),
với x, y ∈ObP,và b, clà những mũi tên bậc 1 trongP.
Γ-hàm tử monoidal nói trong Bổ đề 4.7 là chính qui. Ký hiệup:D→Cokerdlà phép chiếu chính tắc, ta có:
Bổ đề 4.8. Giả sử P, P0 là hai nhóm phạm trù Γ-phân bậc chặt chẽ, lần lượt liên kết với các Γ-môđun chéoM,M0, và(F,Fe) :P→P0 là một hàm tử monoidalΓ-phân bậc chính qui. Khi đó, bộ ba(f1, f0, ϕ), trong đó
i)f0(x) =F(x), (f1(b),1) = F(b,1), σ ∈Γ, b∈B, x, y∈D,
ii)p∗ϕ=f, vớif được xác định bởi (4.12), là một mũi tên trong phạm trù ΓCross.
Chứng minh. Do điều kiện S1 nên f0 là một đồng cấu nhóm, do S4 nên f0 là một Γ-đồng cấu. Do F bảo toàn phép hợp thành các mũi tên bậc 1 nênf1 là một đồng cấu, doS3 nên
f1 là một Γ-đồng cấu. Mỗi phần tử b ∈ B có thể được coi như là một mũi tên (db (→b,1) 1)
trongP và do đó(f0(db)−−−−→(f1(b),1) 10)là một mũi tên trong P0, nghĩa là ta cóH1:
Do điều kiệnS2 và do f1 là đồng cấu nên có H2:
f1(θyc) =θf00(y)f1(c).
Như vậy (f1, f0)là một đồng cấu của cácΓ-môđun chéo. Bởi vậy theo Bổ đề 4.7, hàm tửF xác định một hàmϕ∈Z2
Γ(Cokerd,Kerd0), vớif =p∗ϕ,vàp:D→Cokerdlà phép chiếu chính tắc. Bởi vậy (f1, f0, ϕ)là một mũi tên trong ΓCross.
Ký hiệu phạm trù của các nhóm phạm trùΓ-phân bậc chặt chẽ và các hàm tử monoidal phân bậc chính qui bởiΓGrstr, định lý sau đây chỉ ra rằng các phạm trùΓCrossvàΓGrstr là tương đương.
Định lý 4.9 (Định lý phân lớp). Tồn tại tương đương
Φ : ΓCross → ΓGrstr, (B →D) 7→ PB→D (f1, f0, ϕ) 7→ (F,Fe) trong đó F(x) =f0(x), F(b,1) = (f1(b),1),và F(x(0→,σ)σx) = (ϕ(px, σ), σ), Fex,y = (ϕ(px, py),1), với x, y ∈D, b∈B, σ ∈Γ.
Chứng minh. Giả sử P,P0 lần lượt là các nhóm phạm trù Γ-phân bậc, liên kết với các Γ- môđun chéo M,M0. Theo Bổ đề 4.7, tương ứng (f1, f0, ϕ) 7→ (F,Fe) xác định một đơn ánh trên các tập Hom:
Φ : HomΓCross(M,M0)→HomΓGrstr(PM,PM0).
Theo Bổ đề 4.8 thì Φtoàn ánh.
NếuP là một nhóm phạm trùΓ-phân bậc chặt chẽ, và MP là môđun chéo liên kết với nó thì Φ(MP) =P(không chỉ là đẳng cấu). Vậy Φlà một tương đương.
Nhận xét. Xét trường hợp Γ = 1 là nhóm tầm thường. Khi đó, phạm trù 1Cross =
Cross có các vật là các môđun chéo, và mũi tên là các bộ ba bộ ba (f1, f0, ϕ), trong đó
(f1, f0) : M → M0 là một đồng cấu môđun chéo và ϕ ∈ Z2(Cokerd,Kerd0). Phạm trù
1Grstr=Grstrcó vật là các nhóm phạm trù chặt chẽ và mũi tên là các hàm tử monoidal chính qui. Hai phạm trùCrossvàGrstrlà tương đương quaΦtheo Định lý 3.4. Như vậy, Định lý 4.9 chứa Định lý 3.4, và do đó nó chứa Định lý 1 [8].