Nhóm phạm trù chặt chẽ và mở rộng nhóm kiểu môđun chéo
3.3 Bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo: lý thuyết cản trở và định lý phân lớp
cản trở và định lý phân lớp
Trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm mở rộng nhóm kiểu môđun chéo theo [9] (cũng xem [46, 42]).
Định nghĩa [9]. ChoM= (B →d D)là một môđun chéo và Qlà một nhóm. Một mở rộng của B bởiQkiểuMlà một biểu đồ các đồng cấu nhóm
E : 0 //B j //E p //ε ε Q //1, B d //D
trong đó dòng trên là khớp, hệ(B, E, j, θ0)là một môđun chéo vớiθ0 là phép lấy liên hợp, và (idB, ε)là một đồng cấu của các môđun chéo.
Hai mở rộng của B bởiQkiểu môđun chéoB −→d Dđược gọi là tương đương nếu biểu đồ sau giao hoán
E : 0 //B j //E p //α α Q //1, E ε //D E0 : 0 //B j0 //E0 p 0 / /Q //1, E0 ε0 //D và ε0α =ε. Hiển nhiênα là một đẳng cấu.
Trong biểu đồ 0 //B j //E p // ε Q // ψ 1, B d //D q//Cokerd (3.2)
do dòng trên là khớp và doq◦ε◦j =q◦d= 0 nên có một đồng cấuψ :Q→Cokerd sao cho hình vuông thứ hai giao hoán. Hơn nữa, ψ chỉ phụ thuộc vào lớp tương đương của mở rộng E. Khi đó, ta nói mở rộngE cảm sinh đồng cấuψ.
Mục đích của chúng tôi là nghiên cứu tập
ExtB→D(Q, B, ψ)
các lớp tương đương các mở rộng của B bởi Q kiểu môđun chéo B → D, cảm sinh
ψ :Q→Cokerd. Một số phép chứng minh khác của định lý phân lớp đối với các mở rộng này có thể được tìm thấy trong [9] (Định lý 5.2) hoặc [11] (Chương 2, mục 2.5).
Bây giờ, chúng tôi sẽ sử dụng lý thuyết cản trở của các hàm tử monoidal để chứng minh kết quả về sự tồn tại và phân lớp các mở rộng loại này. Trong đó, kết quả phân lớp thu được như là một hệ quả của Lý thuyết Schreier (Định lý 3.6) nhờ các hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù chặt chẽ DisQ và PB→D, với DisQ là nhóm phạm trù kiểu (Q,0,0) (và cũng chính là nhóm phạm trù liên kết với môđun chéo(0, Q,0,0)). Kỹ thuật được chúng tôi sử dụng trong phần này là kỹ thuật hệ nhân tử đối với các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo. Bổ đề dưới đây cho chúng ta thấy các hàm tử monoidal DisQ → P là hệ dữ liệu phù hợp để xây dựng các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo.
Bổ đề 3.5. Cho môđun chéo B → D và đồng cấu nhómψ : Q → Cokerd. Với mỗi hàm tử monoidal (F,Fe) : DisQ → P thỏa mãn F(1) = 1 và cảm sinh cặp (ψ,0) : (Q,0) →
(Cokerd,Kerd), tồn tại mở rộng EF củaB bởiQkiểu môđun chéo B →Dcảm sinhψ.
Mở rộng EF được gọi là mở rộng tích chéo liên kết với hàm tử monoidalF.
Chứng minh. Giả sử (F,Fe) : DisQ→ P là một hàm tử monoidal thỏa mãnF(1) = 1 và cảm sinh cặp(ψ,0). Khi đó, ta đặt hàmf :QìQ→B bởi
f(x, y) =Fex,y.
DoFex,y là mũi tên trongPta có
F(x).F(y) =df(x, y).F(xy).
Như trong phép chứng minh của Bổ đề 3.2,f là một hàm chuẩn tắc thỏa mãn
θF(x)f(y, z) +f(x, yz) = f(x, y) +f(xy, z). (3.3) Ta có thể xây dựng được tích chéoE0 = [B, f, Q]như sau:E0 =BìQcùng với phép toán
(b, x) + (c, y) = (b+θF(x)(c) +f(x, y), xy).
E0 là một nhóm do tính chuẩn tắc củaf và do hệ thức (3.3). Phần tử không củaE0 là(0,1)
và −(b, u) = (b0, x−1), trong đó θF(x)(b0) = −b −f(x, x−1). Khi đó ta có dãy khớp các nhóm
EF : 0→B →j0 E0 →p0 Q→1,
trong đó j0(b) = (b,1), p0(b, x) =x, b∈ B, x∈Q.Doj0(B) là nhóm con chuẩn tắc trong
E0 nênj0 :B →E0 là một môđun chéo với tác động liên hợpθ0 :E0 →AutB. ánh xạ ε:E0 →Dđược xác định bởi
ε(b, x) =dbF(x), (b, x)∈E0, (3.4) là một đồng cấu. Hơn nữa, cặp(idB, ε)là một đồng cấu của các môđun chéo. Thật vậy, dễ thấy rằng ε◦j0 =d. Hơn nữa, với mọi(b, x)∈E0, c∈B, ta có:
θ(0b,x)(c) = j0−1[à(b,x)(c,1)] =àb(θF(x)c), θε(b,x)(c) =θdbF(x)c=àb(θF(x)c).
Vậy ta có mở rộng nhóm kiểu môđun chéo
EF : 0 //B j0 //E0 p0 // ε Q // ψ 1. B d //D q //Cokerd
Với mọi x∈Qta có
qε(b, x) =q(db.F(x)) =qF(x) =ψ(x),
nghĩa là mở rộng này cảm sinhψ :Q→Cokerd.
Trong bổ đề trên, cặp ánh xạ(θF, f)mô tả một hàm tử monoidal từDisQtớiPlà một hệ nhân tử đối với mở rộng nhóm kiểu môđun chéo (B → D). Trường hợp môđun chéo
(B → D) là môđun chéo các tự đẳng cấu của B thì cặp (θF, f) như vậy chính là một hệ nhân tử Schreier đối với mở rộng nhóm thông thường.
Ký hiệuHom(ψ,0)[DisQ,PB→D]là tập các lớp đồng luân của các hàm tử monoidal kiểu
(ψ,0)từDisQtới PB→D. Với giả thiết nói trong Bổ đề 3.5 ta có.
Định lý 3.6 (Lý thuyết Schreier cho các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo). Có một song ánh
Ω : Hom(ψ,0)[DisQ,PB→D]→ExtB→D(Q, B, ψ).
Chứng minh. Bước 1: Các hàm tử monoidal (F,Fe),(F0,Fe0) : DisQ → PB→D đồng luân khi và chỉ khi các mở rộng liên kết tương ứng EF,EF0 là tương đương
Trước hết do mỗi hàm tử monoidal(F,Fe)đồng luân với một hàm tử monoidal(G,Ge)
có G(1) = 1, bởi vậy các hàm tử monoidal dưới đây đều được xem là có tính chất này.
Giả sửF, F0 :DisQ→Plà hai hàm tử monoidal đồng luân, với đồng luânα:F →F0. Theo Bổ đề 3.5, tồn tại các mở rộngEF,E0
F theo thứ tự liên kết vớiF, F0. Khi đó, theo định nghĩa của một đồng luân ta cóα1 = 0và
F(x) = d(αx).F0(x). (3.5) Tính tự nhiên củaα cho
e
Fx,y+αxy =αx⊗αy+Fex,y0 .
Theo hệ thức (3.1),
f(x, y) +αxy =αx+θF0(x)(αy) +f0(x, y), (3.6) với f(x, y) = Fex,y, f0(x, y) =Fex,y0 . Bây giờ ta đặt
α∗ :E0 →E00
(b, x)7→(b+αx, x)
Với mọi (b, x),(c, y)∈E0, ta có
α∗[(b, x) + (c, y)] =α∗[(b+θF(x)(c) +f(x, y), xy)] =(b+θF(x)(c) +f(x, y) +αxy, xy),
α∗(b, x) +α∗(c, y) =(b+αx, x) + (c+αy, y)
=(b+αx+θF0(x)(c+αy) +f0(x, y), xy).
Tính đồng cấu củaα∗ là tương đương với
b+θF(x)(c) +f(x, y) +αxy =b+αx+θF0(x)(c+αy) +f0(x, y).
Điều này được suy ra từ
θF(x)(c) +f(x, y) +αxy (3=.5)θdαxF0(x)(c) +f(x, y) +αxy
(C1)
= àαx(θF0(x)c) +f(x, y) +αxy
(3.6)
= αx+θF0(x)(c+αy) +f0(x, y).
Hơn nữa, dễ thấy biểu đồ sau giao hoán
0 //B j //EF p // α∗ Q //1, EF ε //D 0 //B j0 //EF0 p0 //Q //1, EF0 ε0 //D Ta còn phải chỉ raε0α∗ =ε. Do các hệ thức (3.4), (3.5) ta có: ε0α∗(b, x) =ε0(b+αx, x) =d(b+αx).F0(x) =d(b).d(αx).F0(x) = d(b).F(x) = ε(b, x).
Vậy hai mở rộng EF và EF0 là tương đương.
Ngược lại, nếu có đẳng cấu α∗ :EF →EF0 sao cho(idB, α∗, idQ)là một tương đương giữa hai mở rộng thì dễ thấy
α∗(b, x) = (b+αx, x),
với α : Q → B là hàm thỏa mãn α1 = 0. Thực hiện ngược lại từng bước lập luận trên ta được αlà một đồng luân của F vàF0.
Bước 2: Ωlà toàn ánh.
Giả sử E là một mở rộng E của B bởi Q, kiểu môđun chéo B → D, và cảm sinh
ψ :Q→Cokerdtheo biểu đồ giao hoán (3.2). Ta chỉ ra rằngE có một hệ nhân tử liên kết, nghĩa là nó tương đương với một mở rộng tích chéo EF liên kết với một hàm tử monoidal
(F,Fe) : DisQ→P.
Với mỗix ∈ Q, chọn đại diện ex ∈E sao cho p(ex) = x, e1 = 0. Mỗi phần tử trong
E có thể biểu diễn duy nhất dưới dạngb+ex vớib ∈B, x∈Q. Hệ đại diện{ex}cảm sinh một hàm chuẩn tắc f :QìQ→B cho bởi
và cảm sinh các tự đẳng cấu ϕx của B cho bởi
ϕx =àex :b 7→ex+b−ex.
Do điều kiện H2 đối với đồng cấu (id, ε) : (B → E)→(B → D)của hai môđun chéo ta có θεex =ϕx.Khi đó, ta có thể mô tả cấu trúc nhóm trênE bởi:
(b+ex) + (c+ey) =b+ϕx(c) +f(x, y) +exy.
Bây giờ, ta dựng hàm tử monoidal (F,Fe) : DisQ→P như sau. Doψ(x) =ψp(ex) =
qε(ex)nênε(ex)là một đại diện của ψ(x)trongD. Vì vậy, ta đặt
F(x) =ε(ex), Fex,y =f(x, y).
DoF(x) = qε(ex) =ψ(x)nênF cảm sinh cặp (ψ,0). Hệ thức (3.7) chứng tỏFex,y là những mũi tên phù hợp trong P. Rõ ràng F(1) = 1. Điều này cùng với tính chuẩn tắc của hàm
f(x, y) kéo theo tính tương thích của (F,Fe) với các ràng buộc đơn vị. Luật kết hợp của phép toán trong E kéo theo hệ thức (3.3). Hệ thức này chứng tỏ (F,Fe)tương thích với các ràng buộc kết hợp. Tính tự nhiên của Fex,y và điều kiện F bảo toàn hợp thành của các mũi tên là hiển nhiên.
Cuối cùng, dễ kiểm tra rằng mở rộng tích chéo EF liên kết với(F,Fe)là tương đương với mở rộngE nhờ đẳng cấu β : (b, x)7→b+ex.
Giả sử P = PB→D là nhóm phạm trù chặt chẽ liên kết với môđun chéo B → D. Do
π0P= Cokerdvà π1P= Kerdnên nhóm phạm trù thu gọn SP có dạng
SP = (Cokerd,Kerd, k), k∈H3(Cokerd,Kerd).
Khi đó, theo (2.2) đồng cấu ψ :Q→Cokerd cảm sinh một cản trở
ψ∗k∈Z3(Q,Kerd).
Với khái niệm cản trở này chúng ta có thể đưa ra chứng minh mới cho Định lý 5.2 [9] dựa trên các kết quả nghiên cứu về hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f)ở Chương 2.
Định lý 3.7. (Định lý 5.2 [9]) Cho môđun chéo (B, D, d, θ)và đồng cấu nhóm ψ : Q → Cokerd. Khi đó sự triệt tiêu của ψ∗k trong H3(Q,Kerd) là điều kiện cần và đủ để tồn tại mở rộng nhóm của B bởiQkiểu môđun chéoB →D cảm sinhψ. Hơn nữa, khi ψ∗k triệt tiêu thì tập các lớp tương đương của các mở rộng như vậy là song ánh vớiH2(Q,Kerd). Chứng minh. Nếu ψ∗k = 0 thì theo Định lý 2.6 tồn tại một hàm tử monoidal (Ψ,Ψ) :e
hàm tử monoidal (F,Fe) : DisQ → P. Rõ ràng hàm tử monoidal này cảm sinh cặp(ψ,0)
nên theo Bổ đề 3.5 thu được mở rộng liên kết EF.
Ngược lại, giả sử có mở rộng kiểu môđun chéo làm cho biểu đồ (3.2) giao hoán. GọiP0 là nhóm phạm trù chặt chẽ liên kết với môđun chéo B →E. Thế thì theo Bổ đề 3.2, tồn tại một hàm tử monoidal F :P0 → P. Bởi vì nhóm phạm trù thu gọn củaP0 làDisQnên theo Mệnh đề 2.4,F cảm sinh hàm tử monoidal kiểu(ψ,0)từDisQtới(Cokerd,Kerd, k). Bây giờ, theo Định lý 2.6, cái cản trở của cặp(ψ,0)phải triệt tiêu trongH3(Q,Kerd),nghĩa là
ψ∗k= 0.
Phần còn lại của định lý được suy ra từ Định lý 3.6. Trước hết, có một song ánh tự nhiên
Hom[DisQ,P]↔Hom[DisQ, SP].
Từ đó do π0(DisQ) =Q, π1(SP) = Kerdnên theo Định lý 3.6 và Định lý 2.6 ta suy ra có một song ánh
ExtB→D(Q, B, ψ)↔H2(Q,Kerd).
Nhận xét. i) Định lý 3.7 là chứa Mệnh đề 8.3, Chương IV [27]. Thật vậy, đối với môđun chéo B →à AutB ta có ψ : Q → AutB/InB, Kerà = ZB, và mỗi mở rộng kiểu môđun chéo này là một mở rộng nhóm thông thường của B. Do đó, ta thu được song ánh
Ext(Q, B, ψ)↔H2(Q, ZB).
ii) Trường hợp đồng cấu d của môđun chéo Mlà đơn cấu thì biểu đồ (3.2) chứng tỏ rằng mở rộng (E : B → E → Q) là nhận được từ mở rộng (D : B → D → Cokerd) bởi ψ, nghĩa là E =Dψ (xem [27]). Do Kerd= 0nên theo Định lý 3.7 ta nhận được một kết quả quen thuộc.
Hệ quả 3.8. Cho mở rộng nhóm D:B →D→C và đồng cấuψ :Q→C của các nhóm. Thế thì mở rộngDψ tồn tại và được xác định duy nhất sai khác một tương đương.
Kết luận của Chương 3
Trong chương này chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:
•Biểu diễn môđun chéo của các nhóm qua ngôn ngữ của nhóm phạm trù chặt chẽ.
• Phát biểu mối liên hệ giữa các đồng cấu môđun chéo và các hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù liên kết.
•Phân lớp các môđun chéo.
• Giải bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo nhờ các kết quả của lý thuyết nhóm phạm trù.
Chương 4
Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ vàmở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun