F =H KG G→ G
2.5.1 Nhóm phạm trù của một hạt nhân trừu tượng
Khái niệm hạt nhân trừu tượng được biết tới trong [27]. Đó là một bộ ba(Π, G, ψ), với
ψ : Π → AutG/InG là một đồng cấu nhóm. Trong phần này chúng ta sẽ mô tả cấu trúc nhóm phạm trù của một hạt nhân trừu tượng và ứng dụng nó vào phép chặt chẽ hóa các ràng buộc của một nhóm phạm trù. Phép toán trong G được ký hiệu bởi dấu +. Tâm củaG, ký hiệu bởi ZG,gồm các phần tửc∈Gsao choc+a=a+cvới mọi a∈G.
Chúng ta nhắc lại rằng cái cản trở của (Π, G, ψ)là một phần tử k ∈H3(Π, ZG), được xác định như sau. Với mỗi x∈Π chọnϕ(x)∈ψ(x)thỏa mãnϕ(1) =idG,thì có một hàm
f : Π2 →Gsao cho
ϕ(x)ϕ(y) = àf(x,y)ϕ(xy). (2.14) trong đó àclà tự đẳng cấu trong của nhómG,sinh bởi c∈G. Khi đó cặp(ϕ, f)cảm sinh một phần tử k∈Z3(Π, ZG), xác định bởi hệ thức
ϕ(x)[f(y, z)] +f(x, yz) = k(x, y, z) +f(x, y) +f(xy, z). (2.15) Với mỗi nhóm G, ta có thể xây dựng được một phạm trù, ký hiệu bởi AutG, mà các vật là các phần tử của nhóm các tự đẳng cấu AutG. Với hai phần tửα, β của AutG,ta đặt
Với hai mũi tên c : α → β; d : β → γ củaAutG, phép hợp thành của chúng được định nghĩa bởi d◦c=c+d(phép cộng trong G).
Phạm trù AutG là một nhóm phạm trù chặt chẽ với tích tenxơ được xác định bởi
α⊗β =α◦β và
(α →c α0)⊗(β →d β0) =α⊗β c+α
0(d)
−−−−→α0⊗β0. (2.16)
Mệnh đề sau mô tả nhóm phạm trù thu gọn củaAutG.
Mệnh đề 2.15. Cho hạt nhân trừu tượng (Π, G, ψ)vớik ∈H3(Π, ZG)là cản trở của nó. Giả sử nhóm phạm trù thu gọn của nhóm phạm trù chặt chẽAutGlà S= (Π0, C, h), thì:
i) Π0 =π0(AutG) = AutG/InG, C =π1(AutG) =ZG,
ii)ψ∗h cùng lớp đối đồng điều vớik.
Chứng minh. i) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa của phạm trù AutG và phạm trù thu gọn. ii) Giả sử(H,He)là tương đương monoidal chính tắc từ SđếnAutG. Khi đó biểu đồ
Hr(HsHt) id⊗He −−−→ HrH(st) He −−−→ H(r(st)) yH(•,h(r,s,t)) (HrHs)Ht −−−−−→He(r,s)⊗id H(rs)Ht He −−−→ H((rs)t) (2.17)
giao hoán với mọir, s, t∈Π0. Bởi vìAutG là một nhóm phạm trù chặt chẽ nên ta có
γα(u) =u, ∀α ∈AutG, ∀u∈ZG =C.
Kết hợp với định nghĩa của H ta đượcH(•, c) = c, ∀c ∈ C. Từ biểu đồ giao hoán (2.17) và từ hệ thức (2.16) ta có
Hr[g(s, t)] +g(r, st) = g(r, s) +g(rs, t)−h(r, s, t), (2.18) trong đó g =gH : Π0ìΠ0 →Glà hàm liên kết vớiHe.
Với hạt nhân trừu tượng (Π, G, ψ) ta chọn hàm ϕ = H ◦ψ : Π →AutG. Rõ ràng
ϕ(1) =idG. Hơn nữa, do
e
Hψ(x),ψ(y) :Hψ(x)Hψ(y)→Hψ(xy)
là một mũi tên trong AutG, nên với mọix, y ∈Π ta có
ϕ(x)ϕ(y) = Hψ(x)Hψ(y) = àf(x,y)Hψ(xy) =àf(x,y)ϕ(xy),
trong đó f(x, y) =Heψ(x),ψ(y). Bởi vậy cặp (ϕ, f) thỏa mãn (2.14) và do đó là một hệ nhân tử của hạt nhân trừu tượng(Π, G, ψ).Nó cảm sinh một cản trởk(x, y, z)∈Z3(Π, ZG)thỏa
mãn hệ thức (2.15). Bây giờ với r = ψ(x), s = ψ(y), t = ψ(z) thì đẳng thức (2.18) trở thành
ϕ(x)[f(y, z)] +f(x, yz) = +f(x, y) +f(xy, z)−(ψ∗h)(x, y, z).
So sánh với hệ thức (2.15) ta cóψ∗h=k.
Dưới đây, chúng ta sẽ sử dụng Mệnh đề 2.15 và Định lý về sự thể hiện của cản trở trong bài toán mở rộng nhóm (Định lý 9.2, Chương IV [27]) để chỉ ra rằng mỗi nhóm phạm trù đều tương đương với một nhóm phạm trù chặt chẽ (Mệnh đề 2.17). Trước hết chúng tôi cần chứng minh bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.16. Giả sửHlà một nhóm phạm trù chặt chẽ vàSH = (Π, C, h)là nhóm phạm trù thu gọn của nó. Cho đồng cấu nhóm ψ : Π0 → Π. Khi đó tồn tại một nhóm phạm trù chặt chẽ G, tương đương monoidal với nhóm phạm trùJ = (Π0, C, h0), trong đóC được xem là
Π0-môđun với toán tửxc=ψ(x)c, vàh0 cùng lớp đối đồng điều với ψ∗h.
Chứng minh. Chúng ta xây dựng nhóm phạm trù chặt chẽG như sau: Ob(G) = {(x, X)| x∈Π0, X ∈ψ(x)},
Hom((x, X),(x, Y)) ={x} ìHomH(X, Y).
Tích tenxơ trên các vật và trên các mũi tên của Gđược định nghĩa như sau:
(x, X)⊗(y, Y) = (xy, X⊗Y),
(x, u)⊗(y, v) = (xy, u⊗v).
Đơn vị của Glà(1, I)trong đóI là đơn vị của H. Chúng ta dễ thử lại rằngGlà một nhóm phạm trù chặt chẽ. Hơn nữa, ta có các đẳng cấu:
λ:π0G→Π0,
[(x, X)]7→x
f :π1G→π1H=C,
(1, c)7→c
và một hàm tử monoidal (F,Fe) :G→Hđược cho bởi:
F(x, X) =X, F(x, u) = u, Fe =id.
GọiSF = (φ,φe) :SG →SH là hàm tử monoidal cảm sinh bởi(F,Fe)trên các phạm trù thu gọn, ta có
φ(x, X) = F0(x, X) = [F(x, X)] = [X] =ψ(x), φ(1, u) = F1(1, u) =γF(1,I)F(1, u) = γI(u) =u,
với ulà mũi tên trong G. Nghĩa làF0 =ψλ vàF1 =f, haySF là hàm tử kiểu (ψλ, f).
Bây giờ giả sử hG là ràng buộc kết hợp của SG. Theo Định lý 2.6 cái cản trở của cặp
(ψλ, f)phải triệt tiêu trongH3(π0G, π1H) =H3(π0G, C), nghĩa là
(ψλ)∗h=f∗hG+δφ.e
Bây giờ nếu ta đặth0 =f∗hG thì cặp(J,Je)vớiJ = (λ, f),Je=id, là một hàm tử monoidal từ SG tớiJ= (Π0, C, h0).Khi đó cái hợp thành
G(G,
e G)
−→ SG (−→J,Je)J
là một tương đương monoidal từ GtớiJ= (Π0, C, h0).
Cuối cùng ta chứng tỏ rằngh0 là cùng lớp đối đồng điều vớiψ∗h.GọiK = (λ−1, f−1) : (Π0, C, h0)→SG. Thế thì K cùng với Ke =idlà một hàm tử monoidal, và cái hợp thành
(φ,φe)◦(K,Ke) : (Π0, C, h0)→SH
là một hàm tử monoidal, làm biểu đồ sau giao hoán
SG SH J= (Π0, C, h0). - φ Q Q Q Q Q k K 3 φ◦K
Rõ ràngφ◦K là hàm tử monoidal kiểu(ψ, id)và bởi vậy cái cản trở của nó triệt tiêu. Theo (2.2) ta cóψ∗h−h0 =∂g, nghĩa làh0 cùng lớp đối đồng điều vớiψ∗h.
Mệnh đề 2.17. Mỗi nhóm phạm trù đều tương đương monoidal với một nhóm phạm trù chặt chẽ.
Chứng minh. Giả sửClà một nhóm phạm trù vàSC = (Π0, C, k)là nhóm phạm trù thu gọn của nó. Theo định lý về sự thể hiện cản trở (Định lý 9.2 [27]), 3-đối chu trìnhk ∈H3(Π0, C)
có thể hiện là nhóm G với tâm ZG = C cùng đồng cấu nhóm ψ : Π0 → AutG/InG sao cho ψ cảm sinh cấu trúc Π0-môđun trong C và hạt nhân trừu tượng (Π0, G, ψ) có cản trở là k. Theo Mệnh đề 2.15, nhóm phạm trù chặt chẽ AutG có nhóm phạm trù thu gọn
SAutG =(AutG/InG, C, h),trong đóψ∗h=k.
áp dụng Bổ đề 2.16 vớiH=AutG, đồng cấuψ : Π0 →AutG/InGxác định một nhóm phạm trù chặt chẽ G, tương đương monoidal với nhóm phạm trù chặt chẽ J = (Π0, C, h0).
Các cấu trúc Π0-môđun củaC trongSC và trong J là trùng nhau. Hơn nữa, ψ∗h = h0. Từ đó suy rah0 =k.Bởi vậy tồn tại hàmg : Π0ìΠ0 →C sao choh0 −k=∂g. Khi đó, theo Định lý 2.6,
(K,Ke) = (idΠ0, idC, g) :SC→J
Một cách chứng minh khác của Mệnh đề 2.17 có thể được tìm thấy trong [51].