Để giải các bài toán về chia hết cần nắm chắc các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9, 11.
Ví dụ 1:
Tìm giá trị của a và b trong số 4 37a ab để số đó vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 9.
Giải Để số 4 37a ab chia hết cho 5 thì b = 0 hoặc b = 5
- Nếu b = 0, ta có số 4 37 0a a . Số này chia hết cho 9 nên
(4 + a + 3 + 7 + a) chia hết cho 9, hay (14 + 2 x a) chia hết cho 9 Suy ra a = 2
- Nếu b = 5, ta có số 4 37 5a a . Số này chia hết cho 9 nên
(4 + a + 3 + 7 + a + 5) chia hết cho 9, hay (19 + 2 x a) chia hết cho 9 Suy ra a = 4
Vậy có 2 số thỏa mãn đề bài là 423720 và 443745
Ví dụ 2 :
Cho số abc sao cho abc ab bc ca ac cb ba
Chứng minh rằng abc là số chẵn và chia hết cho 11 Giải
Theo phân tích cấu tạo số ta được:
abc = (a + b + c) x 2 x 11
Từ đây suy ra abc là số chẵn và chia hết cho 11.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. TS Trần Ngọc Lan. Giáo trình Thực hành phương pháp dạy học Toán ở Tiểu học. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2009.
2. PGS.TS.Trần Diên Hiển. Giáo trình chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Tiểu học. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2012.
3. TS Trần Ngọc Lan. Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 4 – 5. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2005.
4. Đỗ Trung Hiệu, Vũ Dương Thụy. Các phương pháp giải toán ở tiểu học- tập 1, 2. Nhà xuất bản Giáo dục, 1999.
5. PGS.TS. Trần Diên Hiển. 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 4, 5- tập 1, 2. Nhà xuất bản Giáo dục, 2004.
6. . PGS.TS. Trần Diên Hiển. Thực hành giải toán Tiểu học- tập 1, 2. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2002.
BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1:
Chứng tỏ rằng số tự nhiên có dạng HocHoc chia hết cho 13.
Bài 2:
Cho số 8105xyz là số tự nhiên
b, Cho x = y + 2. Tìm giá trị của các chữ số x, y, z để số8105xyz chia cho 5 dư 3, chia cho 2 dư 1 và chia hết cho 3.
Bài 3:
Cho ab là số tự nhiên có hai chữ số
a, Biết ab chia hết cho 3, chia cho 5 dư 1. Tìm các chữ số a, b.
b, Tìm a, b biết rằng nếu lấy số ab chia cho số ba thì được thương là 3 và số dư là 13
Bài 4:
Cho ab là số tự nhiên có hai chữ số
a, Biết ab chia hết cho 9, chia cho 5 dư 3. Tìm các chữ số a, b. b, Tìm các chữ số a, b, c sao cho cab 3 ab8
4.2.3. Các bài toán tính nhanh
Ví dụ 1: Tính nhanh : S = 1 + 2 + 4 + 8 + …. + 2048 + 4096 Hướng dẫn giải : Thực hiện tính S + 1 hoặc S x 2 Ví dụ 2: Tính nhanh S = 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128 Giải 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 2 4 4 8 64 128 1 1 128 127 128 S Ví dụ 3: Tính nhanh : S =1 1 1 ... 1 2 6 12 90 Giải
1 1 1 ... 1 2 6 12 90 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 9 10 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 2 3 3 4 9 10 1 1 10 9 10 S
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. TS Trần Ngọc Lan. Giáo trình Thực hành phương pháp dạy học Toán ở Tiểu học. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2009.
2. PGS.TS. Trần Diên Hiển. Giáo trình chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Tiểu học. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2012.
3. TS Trần Ngọc Lan. Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 4 – 5. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2005.
4. Đỗ Trung Hiệu, Vũ Dương Thụy. Các phương pháp giải toán ở tiểu học- tập 1, 2. Nhà xuất bản Giáo dục, 1999.
5. PGS.TS. Trần Diên Hiển. 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 4, 5- tập 1, 2. Nhà xuất bản Giáo dục, 2004.
6. . PGS.TS. Trần Diên Hiển. Thực hành giải toán Tiểu học- tập 1, 2. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2002. BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1: Tính nhanh S =1 1 1 1 1 1 1 3 9 27 81 243 729 Bài 2: Tính nhanh : 1 13 25 37 49 ... 87 99 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000
Bài 3: Tính bằng cách thuận tiện nhất:
A = 11 4 27 44 9 7 22 2 10 2 6 12 ... 90 110
4.3.1. Tìm số hạng của dãy
Cách giải:
Để giải loại bài toán này thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (bài toán trồng cây). Sử dụng các công thức sau:
- Số các số hạng của dãy = số khoảng cách + 1
- Nếu quy luật của dãy là: mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liền trước cộng với một số không đổi d thì:
Số các số hạng = (số hạng cuối – số hạng đầu) : d + 1
Ví dụ 1:
Cho dãy số: 11, 14, 17, 20, ……. , 68 a, Hãy xác định dãy trên có bao nhiêu số hạng?
b, Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 1996 là số bao nhiêu? Giải
a, Nhận xét:
Số hạng thứ hai: 14 = 11 + 3 Số hạng thứ ba: 17 = 14 + 3 Số thứ tư: 20 = 17 + 3
Vậy quy luật của dãy số là mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng liền trước cộng với số không đổi 3.
Do đó, số các số hạng của dãy số trên là: (68 – 11) : 3 + 1 = 20 (số hạng) b, Nhận xét Số hạng thứ nhất: 11 = 11 + 3 x (1 - 1) Số hạng thứ hai: 14 = 11 + 3 x (2 - 1) Số hạng thứ ba: 17 = 11 + 3 x (3 - 1) Số hạng thứ tư: 20 = 11 + 3 x (4 - 1)
Như vậy quy luật của dãy trên có thể được phát biểu như sau: mỗi số hạng bằng tổng của số hạng đầu tiên với tích của 3 và số thứ tự của số hạng đó trừ đi 1.
Số hạng thứ 1996 là: 11 + 3 x (1996 - 1) = 5996
Ví dụ 2:
Một người viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 1996 thì người đó đã viết bao nhiêu chữ số?
Giải
Từ 1 đến 9 có: (9 - 1) + 1 = 9 số có một chữ số Từ 10 đến 99 có: (99 - 10) + 1 = 90 số có hai chữ số Từ 100 đến 999 có: (999 - 100) + 1 = 900 số có ba chữ số Từ 1000 đến 1996 có: (1996 - 1000) + 1 = 997 số có ba chữ số
Vậy để viết liên tiếp các số từ 1 đến 1996 thì người đó đã viết số chữ số là: 9 x 1 + 90 x 2 + 900 x 3 + 997 x 4 = 6877 (chữ số)
4.3.2. Tìm tổng các số hạng của dãy
Cách giải:
Nếu các số hạng của một dãy số cách đều nhau thì khi đó tổng của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối trong dãy đó bằng nhau. Ta có công thức tính:
Tổng các số hạng = tổng của số hạng cách đều số hạng đầu và cuối x số số hạng của dãy : 2
Ví dụ 1:
Hãy tính tổng của 100 số lẻ đầu tiên Giải 100 số lẻ đầu tiên tạo thành dãy số là:
1, 3, 5, 7, ……., 199 Nhận xét: 199 + 1 = 200
197 + 3 = 200
Số cặp số của dãy là 100 : 2 = 50 (cặp) Vậy tổng của các số hạng của dãy là:
50 x 200 = 10 000 Ví dụ 2: Tính tổng các chữ số của dãy: 1, 2, 3, …., 799 Giải Cách 1: Từ 1 đến 9 có 9 số có 1 chữ số Xét cặp số 1, 9 có: 1 + 9 = 10 Xét cặp số 2, 8 có: 2 + 8 = 10 Từ 1 đến 9 có 4 cặp số như trên và lẻ số 5 Vậy tổng các chữ số của dãy đó là: 10 x 4 + 5 = 45
Từ 10 đến 99 có 90 số có 2 chữ số Xét cặp số 10, 99 có: 1 + 0 + 9 + 9 = 19 Xét cặp số 11, 98 có: 1 + 1 + 9 + 8 = 19 90 số nên có số cặp là: 90 : 2 = 45 Tổng các chữ số là: 45 x 19 = 855 Từ 100 đến 799 có: (799 - 100) : 1 + 1 = 700 số có ba chữ số Xét cặp số 100, 799 có: 1 + 0 + 0 + 7 + 9 + 9 = 26 Xét cặp số 101, 798 có: 1 + 0 + 1 + 7 + 9 + 8 = 26 700 số nên có số cặp là: 700 : 2 = 350 Tổng các chữ số là: 350 x 26 = 9100 Vậy tổng các chữ số của dãy đã cho là:
45 + 855 + 9100 = 10 000
Cách 2:
Bổ sung thêm số 0 vào dãy số ta được dãy mới: 0, 1, 2, 3, …., 799
Xét các cặp số:
0, 799 có: 0 + 7 + 9 + 9 = 25 1, 798 có: 1 + 7 + 9 + 8 = 25 2, 797 có: 2 + 7 + 9 + 7 = 25
Dãy mới có 800 số nên có số cặp là: 800 : 2 = 400 Vậy tổng các chữ số của dãy là: 25 x 400 = 10 000
Ví dụ 3:
Xét dãy số: 100, 101, …., 788, 789 a, Dãy này có bao nhiêu số?
b, Số thứ 100 là số nào?
c, Dãy này có bao nhiêu chữ số? d, Chữ số thứ 789 là chữ số nào?
Giải a, Số số hạng của dãy là:
(789 - 100) : 1 + 1 = 690 (số) b, Nhận xét:
Số hạng thứ nhất: 100 = 100 + (1 - 1) Số hạng thứ hai: 101 = 100 + (2- 1) Số hạng thứ ba: 102 = 100 + (3 - 1)
Quy luật của dãy trên là: mỗi số hạng kể từ số hạng đầu tiên bằng tổng của số hạng đầu tiên với hiệu của số thứ tự của số hạng đó và 1.
Vậy số thứ 100 là: 100 + (100 - 1) = 199 c, Từ 100 đến 789 là dãy các số có 3 chữ số
Số chữ số của dãy là: 3 x 690 = 2070 (chữ số)
d, Vì mỗi số trong dãy trên đều có ba chữ số nên chữ số thứ 789 là chữ số cuối cùng của số hạng: 789 : 3 = 263
BÀI TẬP THỰC HÀNH
Bài 1:
Trong các số có ba chữ số: a, Có bao nhiêu số chẵn chia hết cho 9? b, Có bao nhiêu số chia cho 4 dư 1?
Bài 2:
Một người viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 2007. Hỏi người đó đã viết bao nhiêu lượt chữ số?
Bài 3:
Cho một số tự nhiên gồm các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1983 được viết theo thứ tự liền nhau như sau:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 … 1980 1981 1982 1983 Hãy tính tổng tất cả các chữ số của số đó.
4.3.3. Các bài toán về điền số vào ô trống
Ví dụ 1
Điền số thích hợp vào ô trống sao cho tổng của các số ở ba ô liên tiếp đều bằng 1996:
496 996
Giải Ta đánh số các ô theo thứ tự như sau:
496 996
ô1 ô2 ô3 ô4 ô5 ô6 ô7 ô8 ô9 ô10 Theo đề bài ta có:
496 + ô7 + ô8 = 1996 Ô7 + ô8 + ô9 = 1996 Vậy ô9 = 496. Từ đó ta tính được:
Ô8 = ô5 = ô2 = 1996 – (496 + 996) = 504 Ô7 = ô4 = ô1 = 996
Ô3 = ô6 = 496 ta được dãy số:
Ví dụ 2:
Điền tiếp các số thích hợp vào các ô tròn sao cho tổng của các số ở bốn ô liên tiếp đều bằng 12.
Ví dụ 3:
Cho chín chữ số 1, 2, 3, …., 8, 9. Hãy điền mỗi số vào một ô tròn sao cho tổng của ba số ở ba ô thẳng hàng nhau đều chia hết cho 5. Hãy giải thích cách làm.
Giải
Nếu số phải điền vào giữa không phải là 5 thì số ấy không chia hết cho 5. Chẳng hạn số đó chia cho 5 dư 1.
Nếu số 5 điền vào một ô nào đó bất kì trong các ô bên ngoài thì ô thẳng hàng với nó qua ô giữa phải điền số chia cho 5 dư 4. Trong 9 số đã cho thì có 2 số chia cho
3
1 6
để tổng của ba ô thẳng hàng chia hết cho 5 thì ô đối diện nó phải điền số 5, mà số 5 đã điền rồi.
Vậy số 5 phải điền vào ô giữa. Các ô còn lại có nhiều cách điền, chẳng hạn:
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. TS Trần Ngọc Lan. Giáo trình Thực hành phương pháp dạy học Toán ở Tiểu học. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2009.
2. PGS.TS. Trần Diên Hiển. Giáo trình chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Tiểu học. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2012.
3. TS Trần Ngọc Lan. Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 4 – 5. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2005.
4. Đỗ Trung Hiệu, Vũ Dương Thụy. Các phương pháp giải toán ở tiểu học- tập 1, 2. Nhà xuất bản Giáo dục, 1999.
5. PGS.TS. Trần Diên Hiển. 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 4, 5- tập 1, 2. Nhà xuất bản Giáo dục, 2004.
6. . PGS.TS. Trần Diên Hiển. Thực hành giải toán Tiểu học- tập 1, 2. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2002. 7.http://vndoc.com/cac-dang-toan-ve-day-so-va-phuong-phap-giai/download 8. http://www.slideshare.net/boiduongtoantieuhoc/ton-lp-5-nng-cao-chuyn-v-dy-s BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1: 4 9 8 7 6 1 3 2 5
Hãy điền các số vào các ô tròn sao cho tổng của ba số ở ba ô liên tiếp đều bằng nhau. Hãy giải thích cách làm.
Bài 2:
Thay mỗi chữ trong phép tính sau bởi chữ số thích hợp: a, 30abc : abc = 241
b, 1326 - abab = ab
Bài 3:
Tìm chữ số thích hợp thay cho dấu * trong phép tính sau:
432 abb x ** x cc 30** cdd *** cdd 1**** 40bd Chương 5
BỒI DƯỠNG CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỌC
(4 tiết) Tóm tắt nội dung:
Chương 5 trình bày những vấn đề, nội dung cơ bản sau: Tìm hiểu cách giải một số bài toán liên quan đến đếm, vẽ, ghép hình; Các bài toán liên quan đến chu vi, diện tích các hình.
Chương này giúp sinh viên:
- Tìm hiểu cách giải một số bài toán cơ bản liên quan đến vẽ, đếm, ghép hình; các bài toán liên quan đến chu vi và diện tích các hình.
2. Kĩ năng
- Giải được các bài cơ bản liên quan đến vẽ, đếm, ghép hình; các bài toán liên quan đến chu vi và diện tích các hình.
3. Thái độ
- Tích cực trong học tập.
- Yêu thích và ham mê giải toán.
Nội dung
5.1. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẾM HÌNH, VẼ HÌNH, XẾP GHÉP HÌNH
Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC ta lấy 6 điểm. Nối đỉnh A với mỗi điểm vừa chọn. Hỏi đếm được bao nhiêu hình tam giác?
Cách 1:
- Khi ta lấy 1 điểm:
Có hai tam giác đơn tạo thành là ABD và ACD. Số tam giác đếm được là 3: ABC, ABD, ACD. Ta có:
1 + 2 = 3 (tam giác) - Khi ta lấy 2 điểm:
;
Có 3 tam giác đơn tạo thành là ABD, ADE, AEC. Số tam giác đếm được là 6: ABC, ABD, ADE, AEC, ABE, ADC. Ta có:
1 + 2 + 3 = 6 (tam giác)
- Vậy khi ta lấy 6 điểm sẽ có 7 tam giác đơn tạo thành. Số tam giác đếm được là:
A C D B 1 2 A C D B 1 2 3 E
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 (tam giác)
Ví dụ 2:
Cho hình chữ nhật ABCD. Chia mỗi cạnh AD và BC thành 4 phần bằng nhau, AB và CD thành 3 phần bằng nhau, rồi nối các điểm chia như hình vẽ. Ta đếm được bao nhiêu hình chữ nhật trên hình vẽ?
Giải
Trước hết ta xét các hình chữ nhật tạo bởi hai đoạn AD, EP và các đoạn nối các điểm trên hai cạnh AD, BC. Bằng cách tương tự ví dụ 1 ta tính được 10 hình.
Tương tự ta tính được số hình chữ nhật tạo thành do hai đoạn EP và MN, do MN và BC đều bằng 10.
Tiếp theo ta tính số hình chữ nhật tạo thành do hai đoạn AD và Mn, EP và BC, AD và BC với các đoạn nối các điểm trên hai canh AD và BC đều bằng 10.
Vì vậy, số hình chữ nhật đếm được trên hình vẽ là: 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 (hình)
Ví dụ 3:
Cần ít nhất bao nhiêu điểm để khi nối lại ta được 5 hình tứ giác? Giải
Nếu ta chỉ có 4 điểm (trong đó không có 3 điểm nào cùng nằm trên một đoạn thẳng) thì nối lại chỉ được 1 hình tứ giác.
Nếu ta có 5 điểm, chẳng hạn A, B, C, D, E (trong đó không có 3 điểm nào cùng