3.2.1. Khái niệm
Đối với bậc phổ thông, giải toán bằng phương pháp đại số chính là giải toán bằng cách lập phương trình. Phương trình là công cụ giải toán hữu hiệu nhất của toán học, có thể giải mọi bài toán bằng phương pháp này. Tuy nhiên, việc giải phương trình không phù hợp với học sinh tiểu học.
Phương pháp đại số (dùng chữ thay số) được dùng để giải nhiều dạng toán khác nhau : Tìm số chưa biết trong phép tính hoặc dãy tính, tìm chữ số chưa biết của một số tự nhiên…
Đôi khi giải toán bằng phương pháp đại số có thể làm cho việc trình bày suy luận được dễ dàng hơn và lập luận cũng trong sáng hơn.
3.2.2. Các bước giải toán bằng phương pháp đại số
Bước 1 : Tìm hiểu đề bài
Trong bước này, học sinh cần đọc kĩ đề bài để xác định đề bài cho biết gì, đề bài hỏi gì. Bước này, các em có thể tiến hành ra nháp.
Ví dụ :
Người bán hàng có một lượng gạo nếp và gạo tẻ, trong đó lượng gạo nếp bằng
1
10 toàn bộ lượng gạo đó. Sau khi người đó bán đi 4kg gạo nếp thì lượng gạo nếp còn lại bằng 1
15 lượng gạo tẻ. Hỏi lúc đầu người đó có mấy tạ gạo ?
Sau khi đọc xong bài toán trên, học sinh phải xác định được : - Các yếu tố đã biết :
+ Lượng gạo nếp bằng 1
10 toàn bộ lượng gạo
+ Sau khi bán đi 4kg gạo nếp thì lượng gạo nếp còn lại bằng 1
15 lượng gạo tẻ - Yếu tố cần tìm : số gạo lúc đầu.
Bước 2 : Biểu diễn các mối quan hệ bằng chữ.
Dựa vào câu hỏi trong đề bài học sinh đặt đại lượng cần tìm dưới dạng chữ. Đây là thao tác quan trọng để phương pháp đại số khác với các phương pháp giải toán khác ở tiểu học.
Sau đó, minh họa các mối quan hệ dựa vào các dữ kiện đã cho trong đề bài dưới dạng biểu thức chứa chữ. Từ biểu thức chứa chữ thiết lập được, ta dễ dàng tìm được đáp số bài toán.
Với bài toán trên cần gọi số gạo lúc đầu là a (tạ), sau đó dựa vào từng dữ kiện để khai thác :
+ lượng gạo nếp bằng 1
10 toàn bộ lượng gạo : Số gạo nếp là 1
10a Số gạo tẻ là 9
10a
+ Sau khi bán đi 4kg gạo nếp thì lượng gạo nếp còn lại bằng 1
15 lượng gạo tẻ : Số gạo nếp còn lại sau khi bán 4 kg là : 1 4
10 a Ta có biểu thức : 1 4 1 9
10 a 15 10 a
Bước 3 : Trình bày lời giải
Đối với học sinh tiểu học, khi hướng dẫn các em trình bày bài toán bằng phương pháp đại số ngoài việc gọi đại lượng cần tìm bằng chữ thì vẫn cần thực hiện lời giải theo từng bước phân tích như các phương pháp giải toán khác.
Bài toán trên được giải như sau :
Gọi số gạo ban đầu người đó có là a (tạ) Số gạo nếp người đó có là 1 10a (tạ) Số gạo tẻ người đó có là : 1 9 10 10 a a a (tạ)
Sau khi bán 4 kg thì số gạo nếp còn lại là :
1 4 10 a Theo bài ra ta có : 1 4 1 9 10 a 15 10 a Giải ra ta được a = 100 tạ
Vậy ban đầu người đó có 100 tạ gạo.
3.2.3. Một số ví dụ áp dụng
Ví dụ 1:
Đàn thỏ nhà Hà cứ sau mỗi quý lại tăng lên gấp đôi. Đến hết quý IV thì đàn thỏ có 64 con. Hỏi tháng đầu năm đó đàn thỏ nhà Hà có mấy đôi ?
Giải Gọi số thỏ nhà Hà tháng đầu năm là a (con) Sau quý I số thỏ nhà Hà có là : 2 x a (con)
Sau quý II số thỏ nhà Hà có là : 2 x 2 x a = 4 x a (con) Sau quý III số thỏ nhà Hà có là : 2 x 4 x a = 8 x a (con) Sau quý IV số thỏ nhà Hà có là : 2 x 8 x a = 16 x a (con) Theo bài ra ta có : 16 x a = 64
a = 4
Vậy tháng đầu năm đó nhà Hà có 4 con thỏ tức 2 đôi thỏ.
Ví dụ 2:
Một người đi ô tô từ A đến B với vận tốc 40 km/giờ. Tiếp theo đi từ B đến A bằng xe máy với vận tốc 30 km/giờ, sau đó lại đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km/giờ. Hỏi trung bình người đó đi với vận tốc bao nhiêu km/giờ ?
Giải Tổng quãng đường người đó đi là :
AB + BA + AB = 3 AB (km) Thời gian người đó đi ô tô là
40
AB (giờ) Thời gian người đó đi xe máy là
30
AB (giờ) Thời gian người đó đi xe đạp là
15
AB (giờ) Tổng thời gian người đó đi hết tất cả là:
40 AB + 30 AB + 15 AB = 8 AB (giờ) Vận tốc trung bình là: 8 3 ABAB = 24 (km/giờ)
Đáp số: 24 km/giờ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. TS Trần Ngọc Lan. Giáo trình Thực hành phương pháp dạy học Toán ở Tiểu học. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2009.
2. PGS.TS. Trần Diên Hiển. Giáo trình chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Tiểu học. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2012.
3. TS Trần Ngọc Lan. Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 4 – 5. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2005.
4. Đỗ Trung Hiệu, Vũ Dương Thụy. Các phương pháp giải toán ở tiểu học- tập 1, 2. Nhà xuất bản Giáo dục, 1999.
5. PGS.TS. Trần Diên Hiển. 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 4, 5- tập 1, 2. Nhà xuất bản Giáo dục, 2004.
6. . PGS.TS. Trần Diên Hiển. Thực hành giải toán Tiểu học- tập 1, 2. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2002.
7. http://123doc.org/document/1610482-cac-phuong-phap-giai-toan-o-tieu-hoc.htm 8. http://olm.vn/HocLieu/Chung/PhuongPhapDayHocToanTieuHoc.pdf
BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1:
Hoa đến chơi nhà Cúc và chỉ vào đàn gà hỏi bạn: “Đàn gà nhà bạn có bao nhiêu con?” Cúc trả lời: - 4 3 số gà là gà mái - 3 2 số gà còn lại là gà trống
- Còn 5 con gà con mình đang nhốt trong lồng kia. Hỏi đàn gà nhà Cúc có bao nhiêu con ?
Bài 2:
Ba lớp 5A, 5B, 5C có 126 học sinh, trong đó lớp 5A ít hơn lớp 5B là 4 học sinh, lớp 5B ít hơn lớp 5C là 10 học sinh. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Bình có một số nhãn vở. Bình cho Cúc 1/3 số nhãn vở mình có rồi lại cho Huệ 4 cái. Khi đó Bình còn lại 4 nhãn vở. Hỏi lúc đầu Bình có mấy cái vở?
3.3. PHƯƠNG PHÁP XÉT LẦN LƯỢT CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNGCÁCH SỬ DỤNG CHẶN TRÊN CHẶN DƯỚI CÁCH SỬ DỤNG CHẶN TRÊN CHẶN DƯỚI
3.3.1. Khái niệm
Phương pháp xét lần lượt các trường hợp bằng cách sử dụng chặn trên, chặn dưới (còn gọi là phương pháp thử chọn) là một phương pháp suy luận trong toán học dùng để giải các bài toán về tìm một số khi số đó đồng thời thỏa mãn một số điều kiện cho trước. Khi giải một bài toán, nếu tất cả các khả năng có thể xảy ra đều nằm trong tập hợp những trường hợp nào đó thì ta sẽ xét lần lượt từng trường hợp để tìm phần chưa biết.
Phương pháp này có giá trị như một phép chứng minh. Phương pháp này rất hiệu quả khi giải một số bài tập số học có dạng tìm số theo một số điều kiện cho trước và một số bài toán hình học.
3.3.2. Các bước tiến hành giải bài toán bằng phương pháp thử chọn
Bước 1: Biểu diễn các dữ kiện trong bài toán dưới dạng biểu thức hoặc biểu thức chứa chữ
Sau khi xác định được các dữ kiện trong bài, cần biểu diễn các dữ kiện ấy dưới dạng các biểu thức
Ví dụ:
Tìm tất cả các số có 3 chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 6 và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị được thương là 2.
Dựa vào đề toán, giả sử số đó là abc, ta biểu diễn các dữ kiện dưới dạng các biểu thức chứa chữ: abc chia hết cho 6 và b c: 2
Bước 2: Khai thác các dữ kiện
Dựa vào các dữ kiện đã xác định để xét Chẳng hạn, từ dữ kiện b c: 2 suy ra b c 2
Mặt khác, abc chia hết cho 6, nên abc chia hết cho 2 và 3
Bước 3: Thử chọn và kết luận
Dựa vào kết quả liệt kê các giá trị của c ta suy ra b. Kết hợp với điều kiện abc
chia hết cho 3, ta có bảng sau:
c 0 2 4
b 0 4 8
a 3, 6, 9 1, 4, 7 3, 6, 9
abc 300, 600, 900 142, 442, 742 384, 684, 984
Kết luận Chọn Chọn Chọn
Bước 4: Trình bày lời giải hoàn chỉnh
Gọi số cần tìm có dạng abc (a ≠ 0) Theo bài ra ta có: b c: 2 suy ra b c 2
Số cần tìm chia hết cho 6, tức là abc chia hết cho 6, hay abc chia hết cho 2 và 3.
abc chia hết cho 2 nên abc là số chẵn hay c chẵn. mà b c 2 suy ra c = 0, 2, 4
Kết hợp với điều kiện abc chia hết cho 3, ta có bảng sau:
c 0 2 4
b 0 4 8
a 3, 6, 9 1, 4, 7 3, 6, 9
abc 300, 600, 900 142, 442, 742 384, 684, 984
Kết luận Chọn Chọn Chọn
Vậy các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 300, 600, 900, 142, 442, 742,384,684, 984
3.3.3. Một số ví dụ minh họa
Cho số có 4 chữ số. Nếu ta xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó giảm đi 4455 đơn vị. Tìm số đó.
Giải Gọi số cần tìm là: abcd (a ≠ 0)
Khi xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó trở thành : ab
Theo bài ra ta có: ab cd ab cd cd ab ab cd ab ab abcd 45 99 99 4455 4455 99 4455 100 4455
Nhận xét: Thừa số 45ab chỉ có thể bằng 0 hoặc 1 vì nếu 45ab bằng 2 trở lên thì cd là số có 3 hoặc 4, 5 chữ số. Trường hợp 1: Nếu 45ab = 0 thì ab = 45 Khi đó cd 99000 Số cần tìm là 4500 Trường hợp 2: Nếu 45ab = 1 thì ab = 44 Khi đó cd 99199 Số cần tìm là 4499 Thử lại: abcd = 4500 có: 4500 – 45 = 4455(chọn) abcd = 4499 có: 4499 – 44 = 4455 (chọn) Đáp số: Có hai số thỏa mãn là 4500 và 4499. Ví dụ 2:
Giả sử A là số có 2 chữ số, B là tổng các chữ số của A, C là tổng các chữ số của B. Tìm A biết A = B + C + 51
Giải Giả sử số A là ab (a ≠ 0)
Khi đó B = a + b
Vì C là tổng các chữ số của B nên C lớn nhất có thể là : 1 + 8 = 9 là số có một chữ số. Ta gọi số đó là c. Theo bài ra ta có : ab = a + b + c + 51 10 x a + b = a + b + 51 9 x a = c + 51 Nhận xét: Vì c + 51 > 50 nên a x 9 > 50 hay a > 5 Mặt khác
Vì c < 10 nên c + 51 < 61 hay a x 9 < 61 hay a < 7 Do đó a chỉ có thể là 6 Ta có: 6 x 9 = c + 51 suy ra c = 3 Vì c là tổng các chữ số của B nên B chỉ có thể là 12, 21, 30 Do B lớn nhất là 18 nên ta chỉ chọn B = 12 Lúc này số cần tìm có dạng 6b 6 + b = 12 nên b = 6 Vậy số cần tìm là 66. Ví dụ 3:
Tìm số có hai chữ số. Biết rằng số đó chia cho 6 thì được thương bằng chữ số hàng chục nhân với chính nó.
Giải
Bài toán trên có nhiều cách giải. Sau đây chỉ là một cách giải tiêu biểu. Gọi số cần tìm là ab (0< a < 10, b < 10) Theo bài ra ta có : ab : 6 = a x a ab = 6 x a x a 10 x a + b = 6 x a x a b = a x (6 x a - 10) Do b < 10 nên a < 3 và a > 1 vì
Nếu a = 3 trở lên thì b = a x (6 x a – 10) = 6 x (6 x 3 – 10) = 48 trở lên là số có hai chữ số.
Vậy a chỉ có thể là 2.
Khi đó b = 2 x (6 x 2 - 10) = 4. Số đó là 24 Thử lại : 24 : 6 = 4 = 2 x 2 (thỏa mãn)
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. TS Trần Ngọc Lan. Giáo trình Thực hành phương pháp dạy học Toán ở Tiểu học. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2009.
2. PGS.TS. Trần Diên Hiển. Giáo trình chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Tiểu học. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2012.
3. TS Trần Ngọc Lan. Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 4 – 5. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2005.
4. Đỗ Trung Hiệu, Vũ Dương Thụy. Các phương pháp giải toán ở tiểu học- tập 1, 2. Nhà xuất bản Giáo dục, 1999.
5. PGS.TS. Trần Diên Hiển. 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 4, 5- tập 1, 2. Nhà xuất bản Giáo dục, 2004.
6. . PGS.TS. Trần Diên Hiển. Thực hành giải toán Tiểu học- tập 1, 2. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2002.
7. http://text.123doc.vn/document/1213656-cac-phuong-phap-suy-luan-trong-day-hoc- toan-o-tieu-hoc.htm
BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1:
Tìm abc biết abc + ab + c = 263
Bài 2:
Tuổi bà năm nay gấp 3,2 lần tuổi cháu. Mười năm về trước tuổi bà gấp 5,4 lần tuổi cháu. Bà thường nói : Ước gì bà sống được trăm tuổi để thấy cháu mình thành đạt. Bạn hãy tính tuổi của hai bà cháu hiện nay.
Bài 3:
Tìm một số có 5 chữ số biết rằng số đó viết theo thứ tự ngược lại bằng 4 lần số phải tìm.
Bài 4:
Tìm tất cả các số có 3 chữ số sao cho nếu đem mỗi số cộng với 543 thì được số có 3 chữ số giống nhau.
Bài 5:
Một hình chữ nhật có chiều rộng 45m. Nếu tăng chiều dài thêm 20m được hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình vuông. Hình vuông này có thể chia thành 16 hình vuông bằng nhau có số đo các cạnh là số tự nhiên. Tính chiều dài hình chữ nhật biết cạnh hình vuông lớn nhỏ hơn 70m.
Bài 6:
Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 6 và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị được thương là 2 dư 1.
Bài 7:
Cho số có hai chữ số mà chữ số hàng chục chia hết cho chữ số hàng đơn vị. Tìm số đã cho, biết rằng khi chia số đó cho hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì được thương là 15 và dư 2.
Bài 8:
Tìm số tự nhiên biết rằng số đó cộng với hai lần tổng các chữ số của nó thì bằng 87.
Bài 9:
Tìm các chữ số a, b biết rằng số 135ab cùng chia hết cho 5 và 9.
Bài 10:
Cho số có 3 chữ số. Nếu chuyển vị trí chữ số hàng trăm thành chữ số hàng đơn vị (không đổi thứ tự các chữ số còn lại) thì được số mới bằng 3/4 số đã cho. Tìm số đã cho. (abc đổi thành bca)
Bài 11:
Kết quả bài kiểm tra môn Toán lớp 5 của trường tiểu học A được xếp thành 3 loại : giỏi, khá, trung bình. ½ số bài loại khá bằng ¼ số bài trung bình và bằng số bài loại giỏi. Tính số bài thi mỗi loại biết rằng số bài thi là số > 21 và < 30.
3.4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI
Có một số bài toán cho biết kết quả sau khi thực hiện liên tiếp một số phép tính đối với số phải tìm. Khi giải các bài toán dạng này bằng phương pháp tính ngược từ cuối, ta thực hiện liên tiếp các phép tính ngược với phép tính đã cho trong bài toán.
Kết quả tìm được trong bước trước chính là thành phần đã biết của phép tính liền sau đó.
Sau khi thực hiện liên tiếp các phép tính ngược với phép tính đã cho trong bài toán, ta nhận được kết quả cần tìm.
Những bài toán giải bằng phương pháp tính ngược từ cuối thường cũng giải được bằng phương pháp đại số hay đồ thị.