- Dự kiến lời giải mong muốn:
2.3.7. Tình huống thực tiễn gắn với nội dung dạy học chương Cấp số cộng – Cấp số nhân
– Cấp số nhân
Chương Cấp số cộng – Cấp số nhân là một trong những chương mà giáo viên có thể để cho học sinh thấy rõ ứng dụng của nội dung này trong thực tiễn. Với những gì người học đã được trải nghiệm trong cuộc sống, họ có thể phát biểu được các tình huống sau:
- Dãy số nhà trên một đường phố (về một phía) là cấp số cộng với công sai d = 2;
- Dãy các khoảng cách từ các cột điện thoại đến cột đầu tiên trên một con đường thẳng là cấp số cộng với công sai d là khoảng cách giữa hai cột liên tiếp.
- Một người gửi một khoản tiền A vào ngân hàng, với lãi suất là 10% một năm. Khi đó, dãy số tiền của người đó có trong ngân hàng, qua từng năm (cả vốn q = 1,1 lẫn lãi) là cấp số nhân với công bội .
Tình huống 20: Cách trả lương cho nhân viên
- Mục tiêu:
Kiến thức: Củng cố kiến thức về cấp số cộng, cấp số nhân và các tính chất. Kĩ năng: Vận dụng cấp số cộng, cấp số nhân vào thực tiễn cuộc sống.
- Kiến thức chuẩn bị: Công thức về cấp số cộng, cấp số nhân.
- Tình huống thực tiễn:
Phiếu học tập
Một công ty kinh doanh điện tử áp dụng chế độ chính sách lương như sau: Ngoài tiền lương nhận hàng tháng thì sẽ được chia thưởng dựa trên doanh số điện thoại bán ra trong tháng đó. Có 2 cách công ty trả thưởng cho nhân viên:
Cách 1: Chiếc điện thoại đầu tiên trong tháng mà người nhân viên bán thì được thưởng 50000 đồng, kể từ chiếc thứ 2 trở đi thì tiền thưởng được tăng thêm 5000 đồng so với chiếc điện thoại bán được ngay trước đó.
Cách 2: Chiếc điện thoại đầu tiên trong tháng mà người nhân viên bán thì được thưởng 40000 đồng, kể từ chiếc thứ 2 trở đi thì tiền thưởng được tăng thêm 8% so với tiền thưởng chiếc điện thoại bán được ngay trước đó.
Theo danh sách báo cáo cuối tháng có 2 nhân viên là Nam bán được 20 chiếc điện thoại, còn Hồng bán được 25 chiếc điện thoại. Theo em, Nam và Hồng nên chọn cách thưởng nào để số tiền được nhiều nhất?
- Phân tích: Sau khi học xong bài cấp số nhân, giáo viên đưa ra bài toán này nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức về cấp số cộng và cấp số nhân. Đương nhiên, học sinh sẽ có hai ý kiến chọn lựa cách tính thưởng của phía công ty. Hầu hết đều chọn cách tính thưởng theo ác thứ nhất vì tiền thưởng chiếc điện thoại đầu tiên cao hơn nên học sinh sẽ nghĩ tổng tiền thưởng cao hơn.
Giáo viên Học sinh
- Để có thể lựa chọn được cách tính thưởng có lợi nhất ta dựa trên yếu tố nào?
- Để biết tổng mức tiền thưởng mỗi người nhận được thì ta làm như thế nào?
- Việc tính tiền thưởng của từng chiếc điện thoại bán liên tiếp nhau gây mất nhiều thời gia, vậy có cách nào xây dựng được công thức tính tổng quát không?
- Em có nhận xét gì về mức tiền thưởng chênh lệch giữa 2 chiếc điện thoại liên tiếp nhau mà người bán hàng nhận được theo hai cách tính?
- Số tiền thưởng cho từng chiếc điện thoại liên tiếp có đặc điểm gì gần giống với kiến thức đã học?
- Vậy làm thế nào để so sánh và lựa chọn được cách tính thưởng để tổng số tiền thưởng nhận được là nhiều nhất?
- Em hãy phát biểu bản chất của bài toán thực tiễn này? Phát biểu dưới ngôn ngữ Toán học.
- Em hãy giải bài toán nêu ra và từ đó trả lời yêu cầu của bài toán ban đầu. - Tính tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng ta cần xác định những yếu tố nào? Công thức tính như thế nào?
- Tính tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân ta cần xác định những yếu tố nào? Công thích tính như thế nào?
- Ta cần biết giá tổng mức tiền thưởng mỗi người khi nhận được theo 2 cách tính tiền thưởng.
- Tính số tiền thưởng từng chiếc điện thoại rồi cộng lại. Tuy nhiên, cách tính này dài và mất nhiều thời gian.
- HS: Nghĩ đến việc tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân hoặc cấp số công.
- Mức tiền thưởng chênh lệch giữa 2 chiếc điện thoại bán liên tiếp theo cách 1 là một số tiền không đổi (5000 đồng), còn đối với cách tính thứu 2 thì tiền thưởng mỗi chiếc điện thoại sau bằng 1,08 lần tiền thưởng cho chiếc điện thoại bán được trước đó.
- Mức tiền thưởng cho mỗi chiếc điện thoại bán được theo cách tính thứ nhất lập thành một cấp số cộng với công sai là 5000. Mức tiền thưởng cho mỗi chiếc điện thoại bán được theo cách tính thứ hai lập thành một cấp số nhân với công bội là 1,08.
- Để chọn được cách tính thưởng có lợi nhất chỉ cần tính tổng số tiền thưởng nhận được theo 2 cách tính và so sánh.
- Bài toán quy về bài toán: Tính tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng và cấp số nhân rồi so sánh chúng với nhau.
- Cần xác định số hạng đầu u n1, và công sai d. Công thức tính:
1 1 ( ) [2 ( 1) ] 2 2 = + = + − n n n n S u u u n d .
- Cần xác định số hạng đầu u n1, và công bội q. Công thức tính:
11 1 1 − = − n n q S u q .
- Lời giải mong muốn:
Gọi un
và vn
tương ứng là mức tiền thưởng của chiếc điện thoại thứ nở theo cách tính thứ nhất và cách tính thứ hai. Gọi Sn và ' n S
lần lượt là tổng số tiền thưởng nhận được của n chiếc điện thoại theo cách tính thứ nhất và cách tính thứ hai.
Ta có (u )n lập thành cấp số cộng với u1 =50000 và d =5000 . ( )vn lập thành cấp số nhân với u1=40000 và q=1,08 . Khi đó số tiền thưởng mà Nam nhận được là:
+ Theo cách tính 1: 20 20 [2.50000 (20 1).5000] 1950000 2 = + − = S (đồng). + Theo cách tính 2: 20 ' 20 1 1,08 40000 1830478 1 1,08 − = ≈ − S (đồng). Vậy Nam chọn theo cách thứ nhất sẽ có lợi hơn.
Đối với Hồng thì số tiền thưởng nhận được sẽ là:
+Theo cách tính 1: 25 25 [2.50000 (25 1).5000] 2750000 2 = + − = S (đồng).
+ Theo cách tính 2: 25 ' 25 1 1,08 40000 2924237 1 1,08 − = ≈ − S (đồng). Vậy Hồng nên chọn nhận thưởng theo cách thứ 2.
- Kết luận vấn đề: Khi dạy về nội dung này, giáo viên nên sử dụng phương pháp dạy học hợp tác. Từ bài toán trên, ngoài việc rèn luyện cho học sinh phân biệt cấp số cộng và cấp số nhân còn giúp học sinh rèn luyện kĩ năng vận dụng cấp số cộng và cấp số nhân vào các tình huống thực tiễn. Từ đó, học sinh có thể tìm trong thực tiễn các trường hợp tương tự như bài toán về giá taxi, mua trả góp,...
Tình huống 21: Ứng dụng cấp số cộng và cấp số nhân trong Vật lí và Sinh học
- Tình huống thực tiễn:
Phiếu học tập