7. Cấu trúc của luận văn
2.3.1. Thể hiện trong dạy học khái niệm
Ví dụ 5: Trong chương trình toán phổ thông học sinh đã được học khái niệm về hàm mệnh đề, mệnh đề chứa biến, mệnh đề tương đương,... Do đó khi dạy học về khái niệm Phương trình một ẩn ( Đại số 10 – THPT), GV cần xây dựng các tình huống sau:
Tình huống 1 (Tình huống gợi vấn đề, tiếp cận khái niệm):
- Tính giá trị của hai mệnh đề trên ứng với x = -1, 0, 1, 2.
- Với giá trị nào của x đã cho thì mệnh đề f(x) = g(x) là mệnh đề có tính đúng? sai ?
- Những giá trị nào của x thoả mãn f(x) = g(x)? và không thoả mãn f(x) =g(x)?
Tình huống 2 (Hợp thức hoá khái niệm): GV cho học sinh nêu đầy đủ định nghĩa phương trình một ẩn trong SGK .
Tình huống 3 (Hiểu sâu sắc khái niệm):
- Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) = g(x) (1), trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức của x.
- Với mỗi giá trị x0 thoả mãn f(x0) = g(x0) thì x0 được gọi là nghiệm của phương trình (1).
- Việc tìm các giá trị x0 thoả mãn (1) được gọi là giải phương trình.
- Phương trình vô nghiệm là khi không có giá trị x nào thoả mãn (1). Tình huống 4 ( Củng cố khái niệm):
- GV đưa ra một số phương trình và gọi học sinh nhận dạng phương trình một ẩn. Sau đó cho học sinh tự lấy ví dụ về phương trình một ẩn có dạng đã học.
- Trong chương trình không yêu cầu nêu khái niệm tập xác định của phương trình mà chỉ nói điều kiện của ẩn nhằm đơn giản hoá vấn đề mà vẫn không làm mất tính chính xác. Cụ thể là:
+ Việc gắn mỗi phương trình với một tập xác định đôi khi rất phiền phức, thậm chí có những phương trình việc giải điều kiện để tìm ra tập xác định còn phức tạp hơn việc tìm nghiệm của phương trình đó. Hơn nữa, đối với những phương trình dạng ax + b = 0 hoặc dạng bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a
) 0
≠ hay gặp trong SGK không có điều kiện nào đối với ẩn x (nên không cần viết gì cả), trong khi viết tập xác định vẫn phải ghi là D = R.
+ Cuối cùng, việc thực hiện các phép biến đổi tương đương trên tập xác định D đôi khi khá rắc rối nhất là các phương trình chứa căn bậc hai. Vì vậy SGK thiên về xu hướng “mở”, nghĩa là sau khi viết điều kiện có thể không cần giải để xác định tập các số thoả mãn điều kiện. Đến phương trình cuối khi giải được nghiệm , ta phải loại bỏ nghiệm ngoại lai bằng cách kiểm tra điều kiện và thay vào phương trình đầu để kiểm tra nghiệm.
+ Lưu ý học sinh khi làm bài có thể cho phép ghi :“ Điều kiện...” thay cho việc ghi: “Điều kiện của phương trình”.
Ví dụ 6: Khi dạy về định nghĩa khái niệm Hai phương trình tương đương, xuất phát từ kiến thức trước đó học sinh đã được học về hai tập hợp bằng nhau; hai mệnh đề tương đương và đã biết cách giải phương trình một ẩn có dạng f(x) = g(x), trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Do đó
để dẫn đến định nghĩa phương trình tương đương ta tạo ra các tình huống sau:
Tình huống 1: (Tiếp cận khái niệm)
Mỗi cặp phương trình sau có tập nghiệm bằng nhau hay không?
a. x2 + x = 0 và 3 x x 4 − + x = 0 ? b. x2 - 4 = 0 và 2 + x = 0 ? c. x2 + 1 = 0 và x−2 =−3 ?
Học sinh sau khi giải quyết tình huống trên sẽ nhận xét được hai phương trình trong câu a) và c) có tập nghiệm bằng nhau, còn hai phương trình trong câu b) có tập nghiệm không bằng nhau. Khi đó ta nói rằng hai phương trình trong câu a) và c) được gọi là tương đương với nhau. (Lưu ý tập nghiệm của 2 PT trong câu c) là rỗng).
Tình huống 2: (Hợp thức hoá khái niệm) GV cho HS nêu chính xác và đầy đủ định nghĩa như sau:
“Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm”.
Tình huống 3: (Nhận dạng và cũng cố khái niệm)
Xét bài toán như sau:
“Cho hai phương trình: x2 + mx + 1 = 0 và x2 + x + m = 0.
Với
∈1 ÷
m ; 2
4 thì hai phương trình có tương đương không? ”
Đây chính là hoạt động nhận dạng khái niệm hai phương trình tương tương. Để giải quyết bài toán này, với kinh nghiệm nhất định của mình, HS có thể đưa ra quá trình như sau: (thực ra đây là hoạt động thể hiện một phương pháp).
Cách1: + Khả năng 1: Cả 2 phương trình cùng vô nghiệm
∆ <
⇔∆ < 12 0⇔ < <1 2 4
0 m
+ Khả năng 2: Nếu 1 phương trình có nghiệm thì để 2 phương trình tương đương thì ít ra chúng phải có nghiệm chung.
+ + = ⇔ + + = ⇔ 2 2 x mx 1 0 (1) cã nghiÖm x x m 0 (2) (m - 1)x= m - 1
Nếu m 1≠ . Khi đó x = 1 là nghiệm chung. Thay x = 1 vào (1) được m = -2
Thay m = - 2 vào (1) và (2) phương trình được: x2- 2x + 1 = 0 (1’)
Hai phương trình này không tương đương, vì (1') có nghiệm kép x = 1, còn (2') có 2 nghiệm = = − 1 2 x x
Vậy, từ hai khả năng trên ta suy ra hai phương trình đã cho tương
đương với ∈1 ÷
m ; 2 4 .
Cách 2:
Trường hợp 1: Cả 2 phương trình cùng vô nghiệm 1 m 2 4
⇔ < <
Trường hợp 2: Cả 2 phương trình có cùng tập nghiệm. Theo định lí
Viet ta có: m 1m 1 m 1 − = − ⇔ ==
Khi m = 1 từ 2 phương trình ta được: x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm.
Vậy, từ hai trường hợp trên suy ra hai phương trình tương đương với
1 m ; 2 4 ÷ ∈ .