7. Cấu trúc của luận văn
2.1.2.Nội dung của chủ đề Phương trình và Hệ phương trình
Phương trình và hệ phương trình là một trong những nội dung cơ bản của chương trình môn Toán ở nhà trường phổ thông. Những vấn đề lí luận như khái niệm phương trình, hệ phương trình; quan hệ tương đương đối với hai phương trình; phương pháp giải phương trình, hệ phương trình được đưa dần ở mức độ thích hợp với từng cấp bậc có phần lặp đi lặp lại và nâng cao dần qua các lớp từ lớp 8 đến lớp 10. Đồng thời học sinh cũng được dần dần làm việc với từng loại phương trình, hệ phương trình thích ứng với những yếu tố nội dung đã học.
Ở đầu bậc THPT, cụ thể là SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao, học sinh được học về khái niệm phương trình, hệ phương trình và cũng được giới thiệu về phương trình, hệ phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn cùng cách giải chúng. Nếu là một người đọc “thờ ơ” thì có thể rút ra kết luận: kiến thức này là sự trình bày lại những gì mà học sinh đã được làm quen ở bậc THCS. Thực chất ở đây có sự lặp lại về hình thức nhưng lại có sự khác biệt về nội dung.
Xem xét sự khác nhau về khái niệm phương trình và hệ phương trình được trình bày ở cấp THCS và cấp THPT. Trong mục này chúng tôi nói đến Phương trình còn Hệ phương trình có sự tương tự.
Sự khác biệt là khá lớn ở hai cấp học THCS và THPT thể hiện ngay ở khái niệm phương trình:
SGK Toán 8, Tập hai, định nghĩa: “Một phương trình ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x”.
Ở SGK Đại số 10 - Nâng cao, định nghĩa: “Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg. Đặt D = Df∩ Dg, mệnh đề chứa biến “f(x) = g(x)” được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình. Số x0 thuộc D gọi là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nếu “f(x0) = g(x0)” là mệnh đề đúng”.
Ở SGK Đại số 10 – Cơ bản, định nghĩa: “ Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng
f (x) = g(x) (1)
trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1).
Nếu có số thực x0 sao cho f(x0 )= g(x0 )là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1).
Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó ( nghĩa là tìm tập nghiệm ).
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm ( hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng ).
Ở định nghĩa phương trình và hệ phương trình ở bậc THPT có đưa vào khái niệm mới là mệnh đề chứa biến, đây là khái niệm không được xây dựng ở THCS. Bậc THPT khái niệm tập xác định của phương trình đã được đưa vào, điều này là một điểm mới so với bậc THCS. Dễ nhận thấy khái niệm phương trình ở bậc THPT là sự kế thừa và phát triển khái niệm phương trình ở bậc THCS. Với sự chính xác và khoa học của khái niệm phương trình ở bậc THPT đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc đi sâu nghiên cứu các phép biến đổi phương trình, hiểu đầy đủ hơn về khái niệm nghiệm của phương trình. Những khái niệm này ở bậc THCS được hiểu một cách rất trực quan, chẳng hạn như khái niệm nghiệm của phương trình được hiểu thông qua hoạt động: “Khi x = 6, hãy tính giá trị mỗi vế phương trình: 4x + 6 = 4(x + 1) + 2” và học sinh sẽ tự hiểu nôm na: nghiệm của phương trình là số nào đó mà khi ta thay vào hai
vế của một phương trình thì giá trị của hai vế bằng nhau. Còn ở bậc THPT nhờ khái niệm mệnh đề chứa biến mà khái niệm nghiệm của phương trình được đưa vào khá lôgic và hợp lí.
Sách giáo viên Toán 8, Tập hai, cũng đã viết: “Các tác giả đã chọn phương án không xây dựng khái niệm phương trình một cách hoàn chỉnh mà chỉ giới thiệu thuật ngữ phương trình thông qua ví dụ cụ thể. Ngay cả “tập xác định của phương trình” – cũng chỉ đề cập đến một cách đơn giản (gọi là điều kiện xác định) ở vào những thời điểm thích hợp, đó là khi nói về giải phương trình có ẩn ở mẫu”.
Việc đưa ra khái niệm phương trình, hệ phương trình như trong SGK Đại số 10 - Cơ bản và Nâng cao rất thuận lợi cho việc chứng minh đầy đủ và chặt chẽ định lí về phép biến đổi tương đương.
SGK Đại số 10 - Nâng cao đã đưa ra định lí về phép biến đổi tương đương như sau:
“Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định là D; y = h(x) là một hàm số xác định trên D (h(x) có thể là một hằng số). Khi đó trên D, phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:
1) f(x) + h(x) = g(x) + h(x).
2) f(x).h(x) = g(x).h(x) nếu h(x) ≠ 0 với mọi x thuộc D”.
Định lí này hoàn toàn hợp lí với những gì học sinh được học ở cấp THCS, SGK Đại số 10 Nâng cao, đã viết: “Hai qui tắc biến đổi phương trình đã biết ở lớp dưới (qui tắc chuyển vế và qui tắc nhân với một số khác 0) là những phép biến đổi tương đương”. Bậc THPT học sinh đã có cái nhìn sâu sắc và tường minh về phép biến đổi tương đương thông qua việc nắm nội dung, chứng minh định lí về phép biến đổi tương đương. Đây là điều mà học sinh THCS chưa làm được bởi phép biến đổi tương đương chỉ được giới thiệu dưới dạng qui tắc biến đổi và được thừa nhận. Chính việc thừa nhận làm cho không ít học sinh hiểu máy móc, không nắm được bản chất vấn đề. “Tại sao lại chuyển vế và đổi dấu?” là câu hỏi mà nhiều học sinh thắc mắc, nhưng việc
trình bày như vậy là hoàn toàn phù hợp với thực tiễn sư phạm vì không thể đưa ra nhiều khái niệm trừu tượng như ở bậc THPT. Thực chất ở bậc THCS học sinh chủ yếu thao tác trên các phương trình với hệ số bằng hằng số và chỉ yêu cầu kĩ năng giải các phương trình cơ bản, nhằm tạo điều kiện cho học sinh làm quen và xây dựng khái niệm phương trình để tiếp tục đi sâu ở bậc THPT. Việc không trình bày hoàn thiện kiến thức về phương trình ở bậc THCS đem lại cho học sinh ít nhiều những băn khoăn, suy nghĩ mà chính giáo viên cũng thấy khó khăn khi giải thích những vướng mắc đó cho học sinh. Chẳng hạn, khi dạy bài: “Phương trình chứa ẩn ở mẫu” trong SGK Toán 8 - Tập hai, ngay trong ví dụ mở đầu viết:
“Ta thử giải phương trình + = +
− −
1 1
x 1
x 1 x 1 bằng phương pháp quen
thuộc như sau:
Chuyển các biểu thức chứa ẩn sang một vế: x 1 1 1 x 1 x 1
+ − =
− − (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Thu gọn vế trái ta tìm được: x = 1”.
Việc giải phương trình này dùng phương pháp cũ, vậy mà x = 1 không là nghiệm thì thật khó chấp nhận, phải chăng kiến thức được học là sai ?. Để giải thích điều này đòi hỏi giáo viên phải dành thời gian để chỉ cho học sinh một cách rõ ràng nhằm giúp các em tránh được trở ngại về tâm lý.
Tiếp đến khi trình bày lời giải bài toán phương trình chứa ẩn ở mẫu, học sinh không nắm bắt được tại sao và khi thì dùng phép biến đổi suy ra (⇒) khi nào thì dùng phép biến đổi tương đương (⇔). Xem xét những khó khăn ở bậc THCS chúng ta mới thấy hết được sự hợp lí, lôgic của khái niệm phương trình và hệ phương trình được đưa ra ở SGK Đại số 10 - Cơ bản và Nâng cao.
Về mặt kĩ năng giải các phương trình cũng có sự khác biệt giữa hai cấp học THCS và THPT. Cũng là các nội dung xoay quanh việc nghiên cứu cách giải phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số,.... nhưng mục tiêu ở hai cấp học là không giống nhau.
Sách giáo viên Đại số 10, Nâng cao viết: “Các vấn đề phương trình bậc nhất và bậc hai mà học sinh đã được học ở các lớp dưới nay chỉ nhắc lại rất sơ lược, thậm chí coi như học sinh đã nắm vững nhằm tập trung cho các vấn đề mới. Cụ thể, vấn đề mới ở đây là phương pháp giải và biện luận các phương trình có tham số”. Tác giả Nguyễn Bá Kim (chủ biên) viết: “Trong khi ở trường THCS học sinh làm việc chủ yếu với những phương trình có hệ số bằng số thì ở lớp 10 đi sâu vào những phương trình có tham biến đòi hỏi học sinh phải biện luận trong khi giải”. Như vậy, phương trình, hệ phương trình có chứa tham số trở thành nội dung mới trong chương trình Toán ở bậc THPT. Sự khác biệt thể hiện rõ ràng ngay trong SGK ở hai cấp học. Ở đây ta so sánh việc trình bày nội dung phương trình bậc nhất một ẩn số ở hai cấp học.
SGK Toán 8, Tập hai, đưa ra khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn, sau đó đưa ra hai qui tắc vận dụng để giải. Ở cuối tiết phương trình bậc nhất một ẩn, SGK đưa ra cách giải tổng quát phương trình:
ax + b = 0 (với a ≠ 0), được giải như sau:
ax + b = 0 ⇔ ax = - b ⇔ x b a
= − .
Vậy phương trình bậc nhất ax + b = 0 luôn có nghiệm duy nhất x = b a
− .
SGK Đại số 10 Nâng cao, đưa ra phương pháp giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 như sau:
+) a ≠ 0: Phương trình có nghiệm duy nhất x = b a
− . +) a = 0 và b ≠ 0: Phương trình vô nghiệm.
+) a = b = 0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x.
Tương tự như vậy phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì ở THCS chú ý rèn luyện kĩ năng giải với hệ số là hằng số đã cho, còn ở bậc THPT đi sâu vào phương pháp giải và biện luận phương trình,
hệ phương trình có chứa tham số. Hệ thống bài tập sau mỗi bài học cũng thể hiện sự khác biệt lớn, chẳng hạn ở cấp THCS gần như không có sự xuất hiện của tham số còn ở bậc THPT thì phần nhiều là bài toán về phương trình và hệ phương trình có chứa tham số. Đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn ngoài hai phương pháp giải đã học ở THCS, ở THPT còn đưa thêm phương pháp giải bằng định thức cấp hai và phương pháp khử Gauss (1777 – 1855). Phương pháp định thức này rất thuận lợi cho học sinh khi gặp bài toán giải và biện luận hệ phương trình có chứa tham số dạng:
= + = + ' c y ' b x ' a c by ax ( a2 + b2 ≠ 0 và a’2 + b’2 ≠ 0 ).
Và phương pháp khử Gauss được dùng để giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng sau đây. Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng: ax + by + cz = d trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a2 + b2 + c2 ≠ 0. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là = + + = + + = + + 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.
Như vậy, chủ đề phương trình và hệ phương trình ở hai cấp THCS và THPT là có sự khác biệt rõ rệt. Mặc dù chủ đề này đã từng xuất hiện ở các lớp dưới, nhiều vấn đề về phương trình và hệ phương trình có vẻ lặp đi lặp lại nhưng thực ra nó có một sự biến đổi về chất rất quan trọng đó là: Sự xuất hiện của phương trình và hệ phương trình có chứa tham số. Hay nói cách khác, là có sự “đồng tâm xoáy trôn ốc” của kiến thức về phương trình, hệ phương trình ở hai cấp. Có điều càng về sau lại có sự xuất hiện dạng phương trình, hệ phương trình phức tạp hơn đó là: phương trình và hệ phương trình lượng giác; phương trình siêu việt;...