Với các tham số chiều dài tán sắc LD=12, tham số tán sắc =-0.5(ps2/km),
chúng ta cùng xem dạng xung thay đổi trong quá trình lan truyền như thế nào khi tham số chirp thay đổi cụ thể như sau:
52 TH1 TH2 TH3 TH4 TH5 TH6 LD (km) 12 12 12 12 12 12 C 0 0.25 0.5 0.7 0.85 1 (ps2/km) -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 (a) = ; = ; =− . (b) = ; = . ; =− . (c) = ; = . ; =− . (d) = ; = . ; =− . (e) = ; = . ; =− . (f) = ; = ; =− .
Hình 3.4: Ảnh hưởng của tham số chirp lên sự lan truyền xung sáng trong sợi quang
Nhận xét: Trong khoảng giá trị của tham số chirp được khảo sát thì ở trường hợp nào cũng xuất hiện hiện tượng xung bị tách thành hai, rồi sau đó có xu hướng
53
nhập vào làm một, quá trình này cũng có xu hướng diễn ra theo chu kỳ. Theo sự
tăng dần của giá trị tham số chirp thì chu kỳ này càng ngắn lại.
3.2.3 Ảnh hưởng của chiều dài tán sắc LD
Với giá trị tham số tán sắc =-1(ps2/km), tham số chirp C=1, chúng ta cùng xem dạng xung thay đổi trong quá trình lan truyền như thế nào khi tham số chirp thay đổi cụ thể như sau: TH1 TH2 TH3 LD (km) 1 2 3 C 1 1 1 (ps2/km) -1 -1 -1 (a) = ; = ; =− (b) = ; = ; =− (c) = ; = ; =−
Hình 3.5: Ảnh hưởng của tham số chiều dài tán sắc lên hình dạng xung sech trong quá trình truyền trong sợi quang
Nhận xét: Khi chiều dài tán sắc càng lớn khoảng cách truyền đi mà xung duy trì được hình dạng ban đầu trước khi bị biến đổi càng dài hơn.
54
3.2.4 Ảnh hưởng độ rộng xung ban đầu T0
Tham sốđộ rộng xung ban đầu cũng ảnh hưởng rất nhiều tới sự duy trì hình dạng xung khi xung đi chuyển trong sợi quang. Với các tham số chirp C cốđịnh, chúng ta cùng xem dạng xung thay đổi trong quá trình lan truyền như thế nào khi thay đổi độ rộng xung ban đầu cụ thể như sau:
TH1 TH2 TH3 TH4 TH5 TH6 C 1 1 1 1 1 1 (ps) 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 (a) = . ; = . (b) = . ; = . (c) = ; C=1. (d) = . ; = .
55
(e)
= ; = .
(f)
= . ; = .
Hình 3.6: Ảnh hưởng của tham sốđộ rộng xung ban đầu lên hình dạng xung sech trong quá trình truyền trong sợi quang
Nhận xét: Khi độ rộng xung ban đầu quá nhỏ xung rất nhanh bị triệt tiêu theo
khoảng cách truyền, khi giá trịđộ rộng xung càng lớn xung càng nhanh bị biến dạng và mức độ biến dạng càng nhiều từ không thay đổi dạng xung chỉ thay đổi cường độ đến cả dạng xung và cường độ xung đều thay đổi.
Với cùng một giá trị tham sốđộ rộng xung ban đầu chúng ta xem xét hình dạng xung khi xung đi chuyển trong sợi quang khi tham số chirp C thay đổi cụ thể
như sau: TH1 TH2 TH3 TH4 TH5 TH6 C 0 0.5 1 1.5 2 2.5 (ps) 1 1 1 1 1 1 (a) = ; = . (b) = ; = . .
56 (c) = ; = . (d) = ; = . (e) = ; = . (f) = ; = . .
Hình 3.7: Ảnh hưởng của tham số chirp lên hình dạng xung sech trong quá trình truyền trong sợi quangkhi độ rộng xung ban đầu không đổi
Nhận xét: Khi chiều dài tán sắc càng lớn khoảng cách truyền đi mà xung duy trì
được hình dạng ban đầu trước khi bị biến đổi càng dài hơn
3.3 Tương tác soliton
Trong một hệ thống truyền thông, chúng ta luôn mong muốn các xung gần nhau ở mức tối đa để tăng khả năng truyền tải dữ liệu của sợi. Nhưng sự chồng chéo của các soliton gần nhau có thể dẫn đến tương tác lẫn nhau và vì thế hiệu suất của hệ thống truyền dẫn soliton bị giảm đáng kể. Điều này đã được chỉ ra một cách độc lập bởi ba nhóm (Chu và Desem, 1983a; Blow và Doran, 1983; Gordon, 1983).
Karpman và Solov'ev (1981) lần đầu tiên đưa tương tác hai soliton trong nghiên cứu của họ về phương trình phi tuyến Schrodinger (NLS) bằng lý thuyết nhiễu loạn soliton đơn. Những nghiên cứu số học (Chu và Desem, 1983a) cho thấy sự tương tác soliton có thể dẫn đến việc giảm đáng kể tỷ lệ lan truyền khoảng mười
57
lần. Tại cùng một thời điểm, Blow và Doran (1983) cũng chỉ ra sự mất sợi cũng dẫn
đến gia tăng đáng kể các tương tác soliton. Gordon (1983) đưa ra nghiệm chính xác của hai soliton lan truyền (biên độ và vận tốc gần bằng nhau) và phân tích sự tương tác bằng cách lấy các phương trình tương đối của chuyển động củng cố thêm các kết quả của Karpman và Solov'ev (1981).
Một số lượng lớn các nghiên cứu được thực hiện để giảm các tương tác soliton. Ví dụ sử dụng xung Gauss đã được đề xuất (Chu và Desem, 1983b). Sự
tương tác trong trường hợp này được giảm xuống vì độ dốc của nó nhưng điều này
đòi hỏi các chi phí cao cho việc tạo ra dao động lớn hơn. Nó cũng đã được Hermansson và Yevick, 1983; Shiojiri và Fujii, 1985; Anderson và Lisak, 1986 chỉ
ra rằng một sự khác biệt pha của các soliton lân cận có thể dẫn đến giảm sự tương tác. Tương tác rời rạc của các soliton cũng đã được phân tích (Anderson và Lisak, 1985). Sự tán sắc bậc ba của sợi quang cũng có thể được sử dụng để làm giảm sự
tương tác lẫn nhau (Chu và Desem, 1985a; Chu và Desem, 1987b), nhưng nó đã
được chứng minh rằng điều này sẽ dẫn đến sự phá vỡ trạng thái biên của các soliton [6]-[7].
3.3.1 Phương trình Schrodinger phi tuyến
Một xung quang với tiến triển xung q(z,t) lan truyền trong sợi quang có chiết suất thay đổi theo cường độ xung có thể được mô tả bởi phương trình:(Kodama và Hasegawa, 1982) [5]-[6]
± + | | =− + − (| | ) + | | ) (3.3.1) Trong đó Γ có liên hệ với sự ao phí trong sợi, trong khi và đại diện cho hiếu ứng tán sắc sợi bậc cao và các hiệu ứng phi tuyến bậc cao tương ứng trong khi
đại diện cho hiệu ứng Raman dẫn đến một sự tự dịch chuyển tần số. Các điều kiện phi tuyến bậc cao có thể được bỏ qua trừ khi xung rất ngắn (femto giây) được xem xét.
Khi bỏ qua sự mất mát bởi các hiệu ứng tán sắc và phi tuyến bậc cao phương trình (3.3.1) có thể mô tả bằng phương trình Schroding phi tuyến:
± + | | = 0 (3.3.2) Phương trình này có một nghiệm soliton đơn dạng:
58
(ȥ, ) = sech[ ( − ȥ)] exp [ ( − )ȥ⁄2− ] (3.3.3) Với η như biên độ và ξ vận tốc của soliton. Các soliton đơn có thuộc tính khi lan truyền mà không thay đổi hình dạng và là kết quả của sự cân bằng chính xác giữa các tán sắc sợi quang và hiệu ứng phi tuyến.
Zakharov và Shabat (1972) đã chỉ ra rằng NLS có thể được giải quyết bằng cách sử dụng phương pháp tán xạ ngược. Họđưa ra một xung ban đầu tiến triển để
hình thành một số soliton và một phần “không soliton” phân rã như một cái đuôi tán sắc.
3.3.2 Các kết quả nghiên cứu trong và ngoài nước
Trong luận văn với đề tài: “Ảnh hưởng của Chirp tần số trong hệ thống thông tin Soliton” của thạc sĩ Tạ Quang Hậu dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trịnh Đình Chiến cũng đã khảo sát tương tác của hai soliton với các điều kiện khác nhau, cụ
thể:
- Khảo sát tương tác hai soliton cùng biên độ, cùng pha ban đầu tại giá trị khoảng phân cách ban đầu =1(pw) và =4(pw)
=1(pw) =4(pw)
Hình 3.8: Tương tác hai solion tại =1(pw) và =4(pw)
- Khảo sát tương tác hai soliton cùng pha và khoảng phân cách ban đầu ban
59
r=1.1 r=1.2
Hình 3.9 : Tương tác hai solion tại r=1.1và r=1.2
- Khảo sát tương tác hai soliton cùng khoảng phân cách ban đầu biên độ ban
đầu nhưng khác pha
= 0 = /6 = /2
Hình 3.10: Tương tác hai solion tại = 0, /6, /2
Trong tài liệu: “ Quang học Soliton – lý thuyết và thí nghiệm” của J . R. TAYLOR xuất bản năm 2004 cũng đã khảo sát tương tác của hai, ba và nhiều soliton với các
điều kiện khác nhau, cụ thể:
- Tương tác hai soliton tại khoảng phân cách ban đầu =3.5(pw)
Hình 3.11: Tương tác hai solion tại =3.5(pw)
60
Hình 3.12: Tương tác hai solion tại =3.5(pw),
= /6
- Tương tác hai soliton tại khoảng phân cách ban đầu =3.5(pw), r=1.1
Hình 3.13: Tương tác hai
solion tại =3.5(pw),
r=1.1
- Tương tác của ba và bốn soliton
Hình 3.14: Tương tác ba và bốn solion tại =3.5(pw)
3.3.3 Tương tác hai soliton
61 : (ɀ, ) = | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] (3.3.4) Trong đó: , = ( , , ɀ− , +( ) , (3.3.5a) = − + ( − ) (3.3.5b) , = , +ɀ , +( ) , (3.3.5c) , exp , = ± , −(∆ ) ± (∆ ∆ ) (3.3.5d) = = ∆ (3.3.5e) , = , ⁄2+ , ⁄2 ∆ = − = + (3.3.5f)
Các giá trị riêng, , biên độ cuối cùng và vận tốc của các soliton, (a0)1,2 là vị trí, và ( ) , là pha. Tất cả chúng được xác định bởi các điều kiện ban đầu. Chúng ta cần dạng thức tổng quát hơn về các nghiệm trong phương trình (3.3.4).
Với điều kiện soliton vào có dạng:
(0, ) = sech( − ) + exp( ) sech ( + ) (3.3.6) Trong đó: là thời gian chuẩn hóa
là độ phân tách ban đầu
Từđó bằng phương pháp tán xạ ngược P. L. Chu và C. Desem tính toán và thu được nghiệm cho trường hợp tương tác giữa hai soliton lan truyền trong sợi quang.
Tổng quát lại phép tính gần đúng giải tích sử dụng phương pháp tán xạ
ngược để giải phương trình NSE. Trường tới tại vị trí z=0 được sử dụng và ta dễ
dàng thu được dữ liệu tán xạ ban đầu theo z bằng cách giải bài toán tán xạ tuyến tính. Trường truyền sóng được xây dựng lại từ các dữ liệu tán xạđược phát triển. Ta có thể mô tả sơ lược cách sử dụng phương pháp này để giải phương trình như sau: Dùng biến đổi Fourier và Fourier ngược đối với biến z theo so đồ:
62
Hình 3.15: Sơđồ thuật toán của phương pháp tán xạ ngược
3.3.3.1 Tương tác của hai soliton cùng pha – khảo sát tương tác của hai soliton phụ thuộc vào khoảng phân cách ban đầu soliton phụ thuộc vào khoảng phân cách ban đầu
Khi hai soliton tương tác cùng pha ta đặt = 0, = = 0 phương trình (3.3.4) sẽ được đơn giản hóa hơn nữa. Chúng ta xấp xỉ sóng đầu vào ban đầu như
phương trình (3.3.6), và đặt ( ) = 0, ( ) = 0 . Phương trình lan truyền của hai soliton trong sợi quang là:
( ,ɀ) = ( ℎ ( + ) exp( ɀ⁄2) + ℎ ( + ) exp( ɀ⁄2)) (3.3.7) Trong đó: = [ ( ) ( ( )) ( ) ( ) ] (3.3.7a) , = , ( ± ) (3.3.7b) =( )ɀ (3.3.7c) Phần bên phải phương trình (3.3.6) trở thành hàm đối xứng khi = 0 và mô tả tương tác của hai xung cùng biên độ. Giá trị chính xác của các trị riêng trong phương trình (3.3.6) có thể tìm được khi giải phương trình trị riêng. Tuy nhiên, các giá trị xấp xỉ có thể tìm được bằng số hạng thứ nhất trong khai triển Taylor của phương trình (3.3.6) và phương trình (3.3.7) và sử dụng các định luật bảo toàn ta thu được:
, = 1 + ( )± sech ( ) (3.3.8) Hai xung trong phương trình (3.3.7) tương tác với nhau theo chu kỳ dọc theo chiều dài lan truyền z thông qua số hạng cos( ) trong biểu thức của Q (phương
63
trình (3.3.8a)). Chu kỳ tương tác này tính theo công thức:
ɀ = ( ) ( )( ) (3.3.9) Sử dụng phần mềm Matlab ta thu được kết quả sự tương tác của hai soliton cùng pha = 0, cùng biên độ ban đầu r=1 , đối xứng =0 phụ thuộc vào khoảng phân cách ban đầu (là khoảng cách phát ban đầu của hai soliton) như sau:
TH1 TH2 TH3 TH4 TH5 TH6 TH7 TH8 (pw) 1.2 2.2 3.2 4.2 5.2 5.7 6.2 8 (a) = ; = ; = , = . (b) = ; = ; = , = . (c) = ; = ; = , = . (d) = ; = ; = , = .
64 (e) = ; = ; = , = . (f) = ; = ; = , = . (g) = ; = ; = , = . (h) = ; = ; = , =
Hình 3.16: Tương tác hai soliton phụ thuộc khoảng phân cách ban đầu
Bảng 1: Sự phụ thuộc của chu kỳ tương tác vào khoảng phân cách ban đầu
(pw) 1.2 2.2 3.2 4.2 5.2 5.7 6.2 8
65
Hình 3.17: Sự phụ thuộc chu kỳ tương tác vào khoảng phân cách ban đầu
Nhận xét: - Từ các kết quả khảo sát trên chúng tôi thấy rằng theo khoảng cách truyền, hai soliton bị hút lại gần nhau, đến một khoảng cách nhất định chúng nhập lại làm một, rồi lịa tách ra xa và sau đó giữ nguyên hình dạng ban đầu. Hiện tượng này diễn ra tuần hoàn.
- Khoảng phân cách ban đầu càng tăng thì sau khoảng cách truyền càng xa hai soliton mới va chạm và nhập làm một, tức là khoảng cách hoạt động của hệ truyền thông tin soliton càng lớn.
3.3.3.2 Tương tác của hai soliton khác pha – khảo sát tương tác của hai soliton phụ thuộc vào độ lệch pha ban đầu soliton phụ thuộc vào độ lệch pha ban đầu
Trong phương trình (3.3.6), hai soliton khác pha ban đầu như là kết quả
tương tác giữa hai xung trong một trạng thái không liên kết tại đó hai soliton xuất hiện, di chuyển với vận tốc khác nhau và . Hai nghiệm soliton có ≠ , phương trình (3.3.4) chỉ ra rằng tương tác của hai soliton truyền ngược hướng và các dạng sóng ban đầu (phương trình (3.3.6)) đại diện cho va chạm tức thời của hai soliton. Để quan sát sự tiến triển của hai soliton, chúng ta có thể xấp xỉ phương trình (3.3.4) bằng cách thiết lập ( ) , = 0, ( ) = và .( ) = Chia cả tử
và mẫu phương trình (3.3.4) cho ℎ( ) ℎ ( ) và sắp xếp lại ta được: (ɀ, ) = ( sech exp ( ( +∆ )) + ( sech exp ( ( +∆ )))
66 Trong đó:
= + +∆ )−[(2 +(tanh(∆ )( ) tanh(+∆ −)4 −sech()] ⁄ ) sech( ) )
(3.3.11a) , = ( , , ) ɀ− , + , (3.3.11b) = − + ( − (3.3.11c) , = , ( +ɀ , (3.3.11d) exp( ∆ ) = + tanh ( ) (3.3.11e)
exp( ∆ ) = + tanh ( ) (3.3.11f)
Phương trình (3.3.10) cho thấy sự tiến triển của hai soliton và Q đại diện cho sự tương tác giữa chúng. Các nghiệm hai soliton chia tách thành hai soliton đơn riêng biệt như là | | →∞, trong đó Q là để thay đổi vị trí tương đối của các soliton, tức là:
(ɀ→ ∞, ) = sech( −∆ ) exp ( +∆ ) + sech( −
∆ ) exp ( +∆ ) (3.3.12) ∆ = ± ∆ ∆∆ ɀ→±∞ (3.3.13a) ∆ = ± = ± tan ∆ ∆ (3.3.13b) ∆ = ± = ± tan ∆ ∆ ∆ |ɀ| → ±∞ (3.3.13c) ∆ = ( − ) = ( + ) ∆ = ( − ) (3.3.13d) Phương trình (3.3.12) chỉ ra rằng hai soliton truyền ngược hướng sau va chạm với chỉ một sự thay đổi trong vị trí và pha của chúng. Tuy nhiên, để phân tích sự tương tác của hai soliton với sự khác biệt pha ban đầu, chúng ta cần phải sử dụng các nghiệm hai soliton, phương trình (3.3.10), cùng với các trị riêng tương ứng với các dạng sóng xung ban đầu (phương trình (3.3.6)). Các giá trị riêng, ( , =
, ⁄2 + , ⁄2 của soliton có thể được đánh giá bằng cách sử dụng định luật bảo toàn đầu tiên và phương trình (3.3.8)
67
, = [ ( )( )± ( (⁄ )) 1− ( ) (3.3.15) Một biểu thức gần đúng cho khoảng tách xung, ∆ như một hàm của khoảng cách z dọc theo sợi có thể thu được:
∆ = + ɀ ɀ (3.3.16) = 2 exp(− ) cos( ⁄2) == 2 exp(− ) sin ( ⁄2) (3.3.17) Sử dụng phần mềm Matlab ta thu được kết quả sự tương tác của hai soliton cùng biên độ r=1, cùng khoảng phân cách ban đầu = 2.2 phụ vào sự lệch pha ban đầu của hai soliton cụ thể như sau:
TH1 TH2 TH3 TH4 TH5 TH6 0 / / / / / (a) = ; = . (b) = / ; = .
68 (c) = / ; = . (d) = / ; = . (e) = / ; = . (f) = / ; = .
Hình 3.18: Tương tác hai soliton cùng biên độ, độ phân cách ban đầu phụ thuộc theo độ lệch pha
Nhận xét:
- Ở những độ lệch pha nhỏ, hai soliton hút nhau đến khoảng cách nhất định thì va chạm, nhập làm một sau đó tách ra theo chu kỳ, theo chiều tăng của độ lệch pha lực hút của hai soliton giảm đến một tỉ lệ đủ lớn hai soliton không va chạm mà
đẩy nhau theo chiều dài lan truyền xung. Độ lệch pha càng tăng thì hai soliton phân tách càng nhanh và độ dao động cũng nhỏ hơn. Điều này cho thấy, tăng độ lệch pha cũng là một biện pháp làm giảm tương tác của hai soliton trong sợi quang.
69 ( ) = ; = . ( ) = ; = . ( ) = ; = .
Hình 3.19: Tương tác hai soliton cùng biên độ, cùng pha ban đầu phụ thuộc độ phân tách ban đầu - Như một khảo sát lại nhưng với độ lệch pha nhỏ của hai soliton theo độ
phân tách ban đầu, Hình 3.19 cho thấy khi độ phân tách ban đầu càng lớn thì lực hút hai soliton càng nhỏ, chúng đi được quãng đường càng dài trước khi va chạm.
Bảng 2: Giá trị chu kỳ tương tác phụ thuộc vào độ lệch pha tại một số giá trị
khoảng phân cách ban đầu
(rad) 0 /10 /5 3 /10 2 /5 /2
= 1.2( ) 3.9528 4.0628 4.4134 5.0746 6.1912 8.0445
= 1.6( ) 6.4198 6.5664 7.0282 7.8779 9.2610 11.4514
= 2( ) 10.3083 10.5026 11.1101 12.2129 13.9764 16.7150
70
= 2.8( ) 24.8956 25.2551 26.3771 28.4067 31.6422 36.6659
= 3.2( ) 37.7958 38.3060 39.8995 42.7865 47.4003 54.5881