Ta xem xét việc lan truyền của ánh sáng CW bên trong một sợi quang học. Bắt đầu với phương trình lan truyền đơn giản hóa. Nếu suy hao của sợi quang được bỏ qua, phương trình này có dạng:
= − | | (3.1.1)
được gọi là phương trình Schrodinger phi tuyến (NLS) trong soliton quang. Nhưđã thảo luận trong phần 1.3, A(z,T) đại diện cho biên độ của sự tiến triển xung,
là tham số GVD, và các tham số phi tuyến là chịu trách nhiệm cho SPM. Chỉ có một số phương trình sóng phi tuyến có thể được giải bằng phương pháp sự tán xạ ngược. Phương trình NLS (3.1.1) thuộc về lớp phương trình đặc biệt này. Zakharov và Shabat sử dụng phương pháp tán xạ ngược vào năm 1971 để giải
43
quyết phương trình NLS. Phương pháp này tương tự với phương pháp biến đổi Fourier sử dụng phổ biến để giải quyết các phương trình vi phân tuyến tính. Phương pháp bao gồm việc xác định một bài toán tán xạ phù hợp. Trường tới tại z=0 được sử dụng để tìm các điều kiện tán xạ ban đầu mà sự tiến triển cũng được xác định dễ
dàng bằng cách giải các bài toán tán xạ tuyến tính. Các trường truyền qua được xây dựng lại từ các dữ liệu tán xạ.
Chuẩn hóa phương trình (3.1.1) bằng cách đưa ra ba biến thứ nguyên
= , = , = (3.1.2) Và viết chúng dưới dạng:
= ( ) − | | (3.1.3) Trong đó P0 là công suất đỉnh, T0 là chiều rộng của xung tới, và tham số N là
=
= | | (3.1.4) Chiều dài tán sắc LD và độ dài phi tuyến LNL được định nghĩa như trong phương trình (2.1.5). Suy hao sợi quang được bỏ qua trong phần này.
Tham số N có thểđược loại bỏ khỏi phương trình (3.1.3) bằng cách :
= = (3.1.5) Phương trình (3.1.3) sẽ có hình thức chuẩn hóa của phương trình NLS:
+ + | | = 0 (3.1.6) Trong đó chọn sgn (β2) = -1 đã được thực hiện để tập trung vào các trường hợp GVD dị thường. Nếu U(ξ;τ) là một nghiệm của phương trình, thì εu (ε2ξ; ετ)
cũng là một nghiệm, trong đó ε là một hệ số tùy ý.
Trong phương pháp tán xạ ngược, yếu tố vi phân tán xạ kết hợp với phương trình (3.1.6) là:
+ =ζ (3.1.7)
+ ∗ =−ζ (3.1.8) Trong đó và là biên độ của hai sóng tán xạ bởi điện thế u (ξ; τ). Trị
riêng ζđóng một vai trò tương tự như tần số trong biến đổi Fourier chuẩn hóa ngoại trừζ có thể có giá trị phức khi U ≠ 0. Tính năng này có thểđược xác định (u = 0),
44 và khác nhau như là exp (±iζτ).
Phương trình (3.1.7) và (3.1.8) áp dụng cho tất cả các giá trị của ξ. Trong phương pháp tán xạ ngược, chúng ta giải tại ξ = 0 trước. Đối với dạng ban đầu u(0;τ), phương trình (3.1.7) và (3.1.8) được giải để có được những dữ liệu tán xạ
ban đầu. Các vấn đề tán xạ trực tiếp được đặc trưng bởi một hệ số phản xạ r(ζ) nó
đóng vai trò tương tự như hệ số Fourier. Dạng của các trạng thái liên kết (soliton) tương ứng với các cực của r(ζ) là dạng phức của ζ. Như vậy, dữ liệu tán xạ ban đầu bao gồm các hệ số phản xạ r (ζ), các cực phức ζj , và phần dư của chúng cj , trong đó
j = 1 đến N nếu cực tồn tại. Mặc dù tham số N của phương trình (3.1.4) không nhất thiết phải là một số nguyên, ký hiệu như vậy được sử dụng cho số lượng cực, giá trị
số nguyên của nó xác định số cực.
Sự phát triển của các dữ liệu tán xạ dọc theo chiều dài sợi được xác định bằng cách sử dụng kỹ thuật nổi tiếng [7]. Nghiệm mong muốn u (ξ; τ) được xây dựng lại từ các dữ liệu tán xạ đã tìm được bằng cách sử dụng phương pháp tán xạ
ngược. Bước này là khá cồng kềnh về mặt toán học vì nó đòi hỏi các nghiệm của một phương trình tích phân tuyến tính phức tạp. Tuy nhiên, trong trường hợp cụ thể,
r(ζ) biến mất với điều kiện ban đầu u(0; τ), nghiệm u(ξ; τ) có thể được xác định bằng cách giải một tập hợp các phương trình đại số. Trường hợp này tương ứng với solitons. Bậc soliton được đặc trưng bởi số lượng cực N, hoặc giá trị riêng ζj
(j = 1-N). Các nghiệm thường có thểđược viết như sau [8]: ( , ) =−2 ∑ ∗
∗
(3.1.9) Trong đó
= exp ( + ) (3.1.10) và ψ*2j thu được bằng cách giải theo các thiết lập sau đây của phương trình
đại số tuyến tính
+∑ ∗∗ ∗ = 0 (3.1.11)
∗ −∑ ∗∗ = ∗ (3.1.12) Các giá trị riêng ζj nói chung là dạng phức (2ζj = δj + iηj). Phần thực δj tạo ra một sự thay đổi trong vận tốc nhóm kết hợp với các thành phần thứ j của soliton.
45
Đối với các soliton bậc N vẫn còn bị giới hạn, thì cần đảm bảo rằng tất cả các thành phần của nó đi cùng một tốc độ. Như vậy, tất cả các giá trị riêng ζj nằm trên một
đường thẳng song song với trục ảo, tức là, δj = δ cho tất cả j. Điều này đơn giản hóa các nghiệm thường trong phương trình (3.1.10) một cách đáng kể. Sau này ta thấy rằng tham sốδ đại diện cho một sự dịch tần số của soliton từ các tần số sóng mang
ω0.