Đồng thời ta cũng có một biên độ U chuẩn hóa là:
23
Trong đó là đỉnh năng lượng của xung ngẫu nhiên. Các yếu tố trong phương trình (2.1.3) để tính suy hao sợi quang. Bằng cách sử dụng phương trình (2.1.1) - (2.1.3), ( , ) được tìm thấy thỏa mãn:
= ( ) − ( )
| | (2.1.4)
Trong đó sgn ( )=±1 tùy thuộc vào dấu của tham số GVD và
=| | , = (2.1.5)
Chiều dài tán sắc và độ dài phi tuyến đưa ra một phạm vi độ dài mà hiệu ứng tán sắc hoặc phi tuyến trở nên quan trọng đối với sự tiến triển của xung. Tùy thuộc vào độ lớn tương đối của L, , và , phản ứng lan truyền có thể được phân ra thành bốn loại.
Khi chiều dài sợi L thỏa mãn L ≪ và L ≪ , không có hiện tượng tán sắc cũng không bị ảnh hưởng phi tuyến, hoặc cả hai đều không đóng một vai trò quan trọng trong quá trình truyền xung. Điều này có thể thấy được bằng cách chú ý rằng cả hai điều kiện bên phải của phương trình (2.1.4) có thể bỏ qua trong trường hợp này. Kết quả U(z, ) = (0, ), xung duy trì hình dạng của nó trong quá trình truyền. Sợi đóng một vai trò thụđộng trong chếđộ này và hoạt động như một phần vận chuyển xung quang (ngoại trừ sự suy giảm năng lượng xung vì suy hao sợi quang). Chếđộ này rất hữu ích cho hệ thống thông tin quang liên lạc.
Khi chiều dài sợi mà L ≪ nhưng L ~ , số hạng cuối cùng trong phương trình (2.1.4) là không đáng kể so với hai số hạng còn lại. Sự phát triển xung sau đó được chi phối bởi GVD, và các hiệu ứng phi tuyến đóng một vai trò tương
đối nhỏ. Chế độ tán sắc chiếm ưu thế bất cứ khi nào sợi quang và các thông số xung thỏa mãn:
= | | ≪1 (2.1.6)
Khi chiều dài sợi L mà L ≪ và L~ số hạng tán sắc trong phương trình (2.1.4) là không đáng kể so với số hạng phi tuyến. Trong trường hợp đó, quá trình tiến triển xung trong sợi được điều chỉnh bởi SPM dẫn đến sự mở rộng phổ của xung. Chếđộ phi tuyến chiếm ưu thế áp dụng bất cứ khi nào các thông số thỏa mãn:
24
= | | (2.1.7) Khi chiều dài sợi L dài hơn hoặc tương đương với cả LD và LNL, sự tán sắc và phi tuyến tương tác với nhau khi xung lan truyền dọc theo sợi. Sự tương tác của GVD và SPM có thể dẫn đến một biến đổi khác biệt so với khi chỉ có ảnh hưởng của GVD hoặc SPM. Trong chế độ tán sắc dị thường (β2 <0), các sợi quang có thể
tạo thành soliton. Trong chếđộ tán sắc thông thường (β2> 0), các hiệu ứng GVD và SPM có thểđược sử dụng nén xung. Phương trình (2.1.4) cực kỳ hữu ích trong việc tìm hiểu sự tiến triển xung trong sợi quang khi cả sự tán sắc và các hiệu ứng phi tuyến được đưa vào xem xét.
2.1.2 Sự mở rộng xung do tán sắc
Ảnh hưởng của GVD lên xung quang lan truyền trong môi trường tán sắc tuyến tính [8] được nghiên cứu bằng cách thiết lập γ = 0 trong phương trình (2.1.1). Nếu chúng ta định nghĩa biên độ U(z,T) chuẩn hóa theo phương trình (2.1.3), U(z,T) thỏa mãn những phương trình vi phân tuyến tính từng phần sau đây:
= (2.1.8)
Phương trình này tương tự như phương trình sóng chi phối nhiễu xạ của ánh sáng CW và giống với phương trình đó khi nhiễu xạ xảy ra theo phương ngang và
được thay thế bằng -λ /(2π), trong đó λ là chiều dài bước sóng của ánh sáng. Vì lý do này, các hiệu ứng thời gian gây ra bởi tán sắc liên hệ chặt chẽ với các hiệu ứng không gian gây ra bởi nhiễu xạ [6].
Phương trình (2.1.8) được dễ dàng giải quyết bằng cách sử dụng phương pháp biến đổi Fourier. Nếu ( , ) là biến đổi Fourier của U (z, T) sao cho
U(z,T) =
∫ ( , ) exp(− ) (2.1.9) Sau đó nó thỏa mãn một phương trình vi phân thường:
=− (2.1.10)
Được cho bởi
25
Phương trình (2.1.11) cho thấy GVD thay đổi theo pha của mỗi phổ thành phần của xung bằng một hệ số mà nó phụ thuộc vào cả tần số và khoảng cách truyền. Mặc dù pha thay đổi như vậy không ảnh hưởng đến phổ xung, nhưng chúng có thể thay đổi hình dạng xung. Bằng cách thay phương trình (2.1.11) vào phương trình (2.1.9), nghiệm chuẩn hóa của phương trình (2.1.8) được cho bởi:
U(z,T)=
∫ (0, ) − (2.1.12) Trong đó (0, ) là biến đổi Fourier của trường ánh sáng tới tại z = 0 và ta tìm được khi sử dụng
(0, ) =∫ (0, ) exp( ) (2.1.13) Phương trình (2.1.12) và (2.1.13) có thểđược sử dụng cho xung đầu vào với các hình dạng tùy ý.