Với một xung Gauss không có chirp ban đầu, phương trình (2.1.10) chỉ ra rằng sự mở rộng do tán sắc của xung không phụ thuộc vào dấu của thông số GVD . Do đó, với một giá trị của độ dài tán sắc LD, xung mở rộng bởi một số hạng dạng chuẩn hóa trong chế độ tán sắc dị thường của sợi quang. Sự đáp ứng này sẽ
thay đổi nếu xung Gauss ban đầu có chirp. Trong trường hợp xung Gauss có chirp tuyến tính, trường tới có thể biểu diễn dưới dạng:
U(0,T)=exp − (2.1.14) Trong đó là độ bán rộng. Đối với một xung Gauss, hai thông số TFWHM và T0 liên hệ bởi:
= 2( 2) ⁄ ≈1.665 (2.1.15) Bằng cách sử dụng phương trình (2.1.12) - (2.1.14) và lấy tích phân, biên độ
tại bất kỳđiểm z nào dọc theo sợi được cho bởi:
U(z,T)=
( ) ⁄ − ( (2.1.16) Do đó, một xung Gauss duy trì hình dạng của nó khi lan truyền nhưng độ
rộng của nó tăng lên cùng với z:
26
Hình 2.1: Sự mở rộng xung do tán sắc cho một xung Gauss bên trong sợi tại z=2LD, và 4LD.
Đường nét đứt là xung tới tại z=0.
Trong đó độ dài tán sắc = ⁄| |. Phương trình (2.1.17) cho thấy cách GVD mở rộng một xung Gauss như thế nào. Độ mở rộng được điều chỉnh bởi độ
dài tán sắc . Đối với một sợi có chiều dài nhất định, xung ngắn mở rộng nhiều hơn vì độ dài tán sắc nhỏ hơn. Tại z = , một xung Gauss mở rộng bởi một hệ số
√2. Hình 2.1 cho thấy mức độ mở rộng mà sự tán sắc gây ra cho các xung Gauss khi vẽ | ( , )| tại Z=2 và Z=4
So sánh phương trình (2.1.14) và (2.1.16) ta thấy rằng mặc dù xung tới không có chirp (không có điều pha), nhưng xung khi truyền đi trở thành có chirp.
Điều này có thể thấy rõ ràng bằng cách viết U (z, T) dưới dạng
U(z,T)=|U(z,T)|exp[i ( , )] (2.1.18) Trong đó:
( , ) =− (( ⁄)( ⁄) ) + tan (2.1.19) Thời gian phụ thuộc của pha ( , ) là sự khác nhau về tần số tức thời giữa các xung so với tần số trung tâm . Sự khác biệt δω chỉ là thời gian phát sinh - ⁄ [dấu âm vì cách chọn exp(- ) trong phương trình (2.1.8)] và được cho bởi:
27
Phương trình (2.1.20) cho thấy rằng có sự thay đổi tần số tuyến tính qua xung, tức là, một sợi tạo ra chirp tần số tuyến tính trên xung. Các chirp δω phụ thuộc vào dấu của . Trong chế độ tán sắc thường > 0, δω là âm ở rìa đầu (T<0) và tăng tuyến tính qua xung; điều ngược lại xảy ra trong chếđộ tán sắc dị thường khi < 0.
Sự tán sắc gây ra mở rộng xung có thể được giải thích rằng các thành phần tần số khác nhau của một xung di chuyển ở tốc độ hơi khác nhau dọc theo sợi vì GVD. Cụ thể hơn, các thành phần màu đỏ đi nhanh hơn so với các thành phần màu xanh trong chế độ tán sắc thường > 0, trong khi đó điều ngược lại xảy ra trong chế độ tán sắc dị thường < 0. Xung có thể duy trì độ rộng của nó chỉ khi tất cả
các thành phần phổđến cùng nhau. Bất cứ sự trễ nào xuất hiện trong các thành phần phổ khác nhau đều dẫn đến mở rộng xung.