Ước tính về độ lớn của việc mở rộng phổ SPM gây ra có thể thu được từ giá trị đỉnh của δω trong hình 2.5. Chúng ta có thể tính giá trị đỉnh bằng cách tối đa
δω(T) từ phương trình (2.2.9). Bằng cách đặt đạo hàm theo thời gian của nó bằng không, giá trị tối đa δωđược cho bởi
= ( ) (2.2.10) Trong đó được đưa ra trong phương trình (2.2.7) và f(m) được định nghĩa là:
( ) = 2 1− ⁄ − 1− (2.2.11) Hình dạng thực tế của phổ xung S(ω) thu được bằng cách lấy biến đổi Fourier của phương trình (2.2.4). Sử dụng ( ) = | ( , )| chúng ta có được
( ) = ∫ (0, ) exp[ ( , ) + ( − ) ] (2.2.12) Nhìn chung, phổ không chỉ phụ thuộc vào hình dạng xung mà còn chirp ban
đầu đối với các xung. Hình 2.6 cho thấy phổ của một xung Gauss không chirp cho một số giá trị dịch chuyển pha tối ta . Đối với một sợi, tăng tuyến tính với suất đỉnh theo phương trình (2.2.7). Như vậy, quá trình thay đổi phổ chỉ ra trong hình 2.6 có thểđược quan sát thực nghiệm khi tăng công suất đỉnh. Hình 2.7
35
cho thấy các quan sát thực nghiệm phổ [7] xung gần như xung Gauss ≈90 , thu được từ laser ion argon tại đầu ra của một sợi dài 99m với đường kính lõi 3.35 .
Hình 2.6: Phổ SPM-mở rộng cho một xung Gauss có chirp.
Hình 2.7: Các quan sát thực nghiệm phổ [9] xung gần như xung Gauss ≈90 thu được từ
laser ion argon tại đầu ra của một sợi dài 99m với đường kính lõi 3.35 .
Các tính năng đáng chú ý nhất của hình 2.6 và 2.7 là sự mở rộng phổ SPM gây ra kèm theo một cấu trúc dao động trong toàn bộ dải tần số. Nhìn chung, phổ
bao gồm nhiều đỉnh và những đỉnh ngoài cùng là cường độ cao nhất. Số lượng các
36
động có thểđược biết đến bằng cách tham khảo hình 2.5 trong đó sự phụ thuộc thời gian của SPM gây ra chirp tần số được hiển thị. Nhìn chung, chirp tương tự xảy ra tại hai giá trị của T nghĩa là các xung có cùng một tần số tức thời ở hai điểm khác nhau. Hai điểm này đại diện cho hai sóng cùng tần số nhưng khác pha có thể giao thoa hoặc triệt tiêu tùy thuộc vào sự khác biệt pha tương đối của chúng. Cấu trúc của đa số các đỉnh trong phổ xung là kết quả của sự tương tác như vậy [8]. Về mặt toán học, tích phân Fourier trong phương trình (2.2.12) có sựđóng góp vượt trội tại hai giá trị của T mà tại đó chirp là như nhau. Những đóng góp này, là số phức, có thể tăng lên hoặc biến mất. Thật vậy, người ta có thể sử dụng phương pháp pha tĩnh
để có được một phương trình phân tích của S(ω) là giá trị lớn của φ max. Điều này cho thấy rằng số lượng các đỉnh M trong mở rộng phổ SPM được đưa ra xấp xỉ
bằng mối quan hệ [6]:
≈( − ) (2.2.13)
Phương trình (2.2.13) cùng với phương (2.2.12) có thểđược sử dụng để ước tính độ rộng phổ ban đầu ∆ hoặc độ rộng xung nếu xung không có chirp [6]. Phương pháp này khá chính xác chỉ khi ≫ 1. Để có được một biện pháp chính xác hơn để tính độ mở rộng phổ, ta nên sử dụng phổ RMS độ rộng phổ Δωrms định nghĩa là:
∆ = (( − ) )−(( − )) (2.2.14) Trong đó phần trong ngoặc biểu thị trung bình phổ mở rộng SPM được đưa ra trong phương trình (2.2.12). Cụ thể hơn,
(( − )) =∫ ( ) ( )
∫ ( ) (2.2.15)
Hình 2.8: So sánh phổ mở rộng SPM cho xung Gauss có chirp và Super Gaussian ở năng lượng
37
Các yếu tố phổ mở rộng cho một xung Gauss có thể viết dưới dạng [6] ∆
∆ = 1 + √ ⁄
(2.2.16)
Trong đó ∆ là độ rộng phổ RMS ban đầu của xung.