Chúng ta đã xem xét hình dạng xung với sự mở rộng tương đối từ đầu đến cuối. Nói chung, một xung với phần đầu dốc hơn và phần đuôi mở rộng nhanh hơn so với khi truyền một xung đơn giản. Xung phát ra trực tiếp từ laser bán dẫn điều biến thường là loại xung này và nói chung không thể xấp xỉ bằng một xung Gauss. Một dạng xung super Gauss có thểđược sử dụng để mô tả một xung dốc ban đầu và phần đuôi mở rộng vì tán sắc. Phương trình (2.1.21) được tổng quát lại để có dạng của xung Super Gauss:
(0, ) = − (2.1.30) Trong đó tham số m kiểm soát mức độ sắc của cạnh xung. Đối với m = 1
chúng ta dùng xung Gaussian có chirp. Đối với giá trị lớn hơn của m, xung trở
thành hình vuông. Nếu sự gia tăng thời gian được định nghĩa là thời gian mà cường độ tăng từ 10 đến 90% giá trịđỉnh của nó và liên hệ với tham số m là
= ( 9) ≈ (2.1.31) Do đó, tham số m có thểđược xác định từ các phép đo của và .
31
Hình 2.4: Dạng xung tại z = LD và z = 2LD của một xung dạng Super Gauss tại z =0 (đường đứt nét)
Hình 2.4 cho thấy dạng xung super Gauss không có chirp tại = 0, và 2 với m = 3. Sự khác biệt giữa hai dạng xung có thể là do xung super Gauss khi bắt đầu và kết thúc dốc hơn. Trong khi đó, xung Gauss duy trì hình dạng của nó trong quá trình truyền, xung super Gauss không chỉ mở rộng với tốc độ nhanh hơn mà còn làm biến đổi hình dạng. GVD gây ra sự trễ khác nhau của mỗi thành phần tần số có liên quan trực tiếp đến sự tách tần số từ tần số trung tâm kết quả phổ
mở rộng với một tốc độ nhanh hơn mở rộng xung.
2.2 Lý thuyết tự biến điệu pha - sự mở rộng xung do SPM
Để mô tả SPM trong sợi quang ta cần đến các nghiệm số của phương trình lan truyền xung (1.3.39) thu được ở mục 1.3. Các phương trình đơn giản hơn (1.3.41) có thểđược sử dụng cho độ rộng xung T0> 5 ps. Một sự đơn giản hóa hơn nữa nếu các tác động của GVD lên SPM là không đáng kể để số hạng β2 trong phương trình (1.3.41) có thểđặt bằng 0. Nói chung, độ rộng xung và công suất đỉnh thiết lập sao cho LD >>L>> LNL cho một sợi có độ dài L, phương trình (2.1.7) cho thấy những tác động GVD là không đáng kể cho xung tương đối rộng (T0>100ps)
với một công suất đỉnh lớn (P0> 1 W).
2.2.1 Sự dịch pha phi tuyến
Thường thì số hạng biên độ U(z,T) được xác định như trong phương trình (2.1.3), các phương trình lan truyền xung (2.1.4), với giới hạn β2 = 0, ta có
=
32
Trong đó có tính đến sự hao phí sợi quang. Chiều dài phi tuyến được định nghĩa là
= ( ) (2.2.2)
Trong đó là công suất đỉnh và γ liên hệ với các chỉ số phi tuyến hệ số
như trong phương trình (2.3.28). Phương trình (2.2.1) có thể được giải được khi thay = ( ) và phần thực và ảo tương ứng để:
= 0,
=
(2.2.3)
Khi biên độ V không đổi dọc theo chiều dài sợi L, phương trình pha có thể
lấy tích phân và phân tích để có được nghiệm chung:
( , ) = (0, )exp [ ( , )] (2.2.4) Trong đó U (0, T) là biên độ trường tại z = 0 và
( , ) = | (0, )| ( ſſ⁄ ) (2.2.5) Chiều dài hiệu dụng ſſ được định nghĩa là:
ſſ = [1−exp(− )]⁄ (2.2.6) Phương trình (2.2.4) cho thấy SPM tạo ra một sự dịch pha phụ thuộc vào cường độ nhưng hình dạng xung không bị ảnh hưởng. Sự dịch pha phi tuyến trong phương trình (2.2.5) tăng theo chiều dài sợi L. Số ſſđóng vai trò của một chiều dài hiệu dụng nhỏ hơn L do sự suy hao sợi quang. Trong trường hợp không có suy hao sợi quang, α = 0, và ſſ = , sự dịch pha tối đa xảy ra ở trung tâm xung t= 0. Với U chuẩn hóa như |u (0, 0)|= 1 được cho bởi:
= ſſ⁄ = ſſ (2.2.7) Ý nghĩa vật lý của chiều dài phi tuyến LNL từ phương trình (2.2.7), nó là khoảng cách truyền hiệu dụng mà tại đó = 1. Nếu chúng ta sử dụng một giá trị điển hình = 2 trong vùng bước sóng 1.55 , = 50 tại (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
= 10 - giảm tỷ lệ nghịch với sự gia tăng P0.
Việc mở rộng phổ SPM gây ra là kết quả của sự phụ thuộc thời gian của .
Điều này có thể biết được bằng cách chú ý rằng, một pha thay đổi tạm thời nghĩa là tần số quang học tức thời khác nhau giữa các xung khác nhau so với giá trị trung tâm . Khác biệt δωđược đưa ra bởi:
33 ( ) =−
=− ſſ
| (0, )| (2.2.8) Trong đó dấu trừ là do sự lựa chọn của hệ số exp(- ) trong phương trình (2.1.2). Thời gian phụ thuộc của δωđược gọi là chirp tần số. Các chirp gây ra bởi sự
tăng độ lớn SPM với khoảng cách truyền. Nói cách khác, thành phần tần số mới
được tạo ra liên tục như xung lan truyền trong sợi. Những thành phần tần số SPM tạo mở rộng phổ vượt cả chiều rộng ban đầu của nó tại z=0.
Mức độ mở rộng phổ phụ thuộc vào hình dạng xung. Ví dụ, trường hợp của một xung super Gaussian với trường tới U(0,T) được đưa ra bởi phương trình (2.1.30). SPM gây ra chirp ( ) cho xung đó là:
( ) = ſſ
− (2.2.9) Trong đó m = 1 cho một xung Gauss. Đối với giá trị m lớn hơn, xung có dạng gần như hình chữ nhật với sườn trái ngày càng dốc hơn sườn phải. Hình 2.5
cho thấy sự suy biến của dịch chuyển pha phi tuyến và tần số chirp gây ra δω
trên xung tại ſſ = trong các trường hợp của xung Gauss (m = 1) và một xung super Gauss (m = 3). tỷ lệ thuận với | (0, )| trong phương trình (2.2.5), biến
đổi theo thời gian của nó giống như cường độ xung. Sự thay đổi theo thời gian của chirp δω tạo ra có một số tính năng thú vị. Đầu tiên, δω là âm gần sườn chính của xung vào (dịch chuyển đỏ) và trở nên dương gần sườn kế tiếp (dịch chuyển xanh) của xung. Thứ hai, chirp là tuyến tính và dương (up-chirp) qua khu vực trung tâm của xung Gauss. Thứ ba, chirp lớn hơn đáng kể cho xung dốc ở sườn đầu và sườn sau. Thứ tư, xung super Gauss biến đổi khác hơn xung Gauss bởi vì chirp chỉ xảy ra gần sườn xung và không thay đổi trong một cấu hình tuyến tính.
34
Hình 2.5: Thay đổi theo thời gian của SPM gây ra sự dịch pha và chirp tần sốδω cho xung Gauss (đường đứt nét) và super Gaussian (đường cong liền).
2.2.2 Những thay đổi trong phổ xung
Ước tính về độ lớn của việc mở rộng phổ SPM gây ra có thể thu được từ giá trị đỉnh của δω trong hình 2.5. Chúng ta có thể tính giá trị đỉnh bằng cách tối đa
δω(T) từ phương trình (2.2.9). Bằng cách đặt đạo hàm theo thời gian của nó bằng không, giá trị tối đa δωđược cho bởi
= ( ) (2.2.10) Trong đó được đưa ra trong phương trình (2.2.7) và f(m) được định nghĩa là:
( ) = 2 1− ⁄ − 1− (2.2.11) Hình dạng thực tế của phổ xung S(ω) thu được bằng cách lấy biến đổi Fourier của phương trình (2.2.4). Sử dụng ( ) = | ( , )| chúng ta có được
( ) = ∫ (0, ) exp[ ( , ) + ( − ) ] (2.2.12) Nhìn chung, phổ không chỉ phụ thuộc vào hình dạng xung mà còn chirp ban
đầu đối với các xung. Hình 2.6 cho thấy phổ của một xung Gauss không chirp cho một số giá trị dịch chuyển pha tối ta . Đối với một sợi, tăng tuyến tính với suất đỉnh theo phương trình (2.2.7). Như vậy, quá trình thay đổi phổ chỉ ra trong hình 2.6 có thểđược quan sát thực nghiệm khi tăng công suất đỉnh. Hình 2.7
35
cho thấy các quan sát thực nghiệm phổ [7] xung gần như xung Gauss ≈90 , thu được từ laser ion argon tại đầu ra của một sợi dài 99m với đường kính lõi 3.35 .
Hình 2.6: Phổ SPM-mở rộng cho một xung Gauss có chirp.
Hình 2.7: Các quan sát thực nghiệm phổ [9] xung gần như xung Gauss ≈90 thu được từ
laser ion argon tại đầu ra của một sợi dài 99m với đường kính lõi 3.35 . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Các tính năng đáng chú ý nhất của hình 2.6 và 2.7 là sự mở rộng phổ SPM gây ra kèm theo một cấu trúc dao động trong toàn bộ dải tần số. Nhìn chung, phổ
bao gồm nhiều đỉnh và những đỉnh ngoài cùng là cường độ cao nhất. Số lượng các
36
động có thểđược biết đến bằng cách tham khảo hình 2.5 trong đó sự phụ thuộc thời gian của SPM gây ra chirp tần số được hiển thị. Nhìn chung, chirp tương tự xảy ra tại hai giá trị của T nghĩa là các xung có cùng một tần số tức thời ở hai điểm khác nhau. Hai điểm này đại diện cho hai sóng cùng tần số nhưng khác pha có thể giao thoa hoặc triệt tiêu tùy thuộc vào sự khác biệt pha tương đối của chúng. Cấu trúc của đa số các đỉnh trong phổ xung là kết quả của sự tương tác như vậy [8]. Về mặt toán học, tích phân Fourier trong phương trình (2.2.12) có sựđóng góp vượt trội tại hai giá trị của T mà tại đó chirp là như nhau. Những đóng góp này, là số phức, có thể tăng lên hoặc biến mất. Thật vậy, người ta có thể sử dụng phương pháp pha tĩnh
để có được một phương trình phân tích của S(ω) là giá trị lớn của φ max. Điều này cho thấy rằng số lượng các đỉnh M trong mở rộng phổ SPM được đưa ra xấp xỉ
bằng mối quan hệ [6]:
≈( − ) (2.2.13)
Phương trình (2.2.13) cùng với phương (2.2.12) có thểđược sử dụng để ước tính độ rộng phổ ban đầu ∆ hoặc độ rộng xung nếu xung không có chirp [6]. Phương pháp này khá chính xác chỉ khi ≫ 1. Để có được một biện pháp chính xác hơn để tính độ mở rộng phổ, ta nên sử dụng phổ RMS độ rộng phổ Δωrms định nghĩa là:
∆ = (( − ) )−(( − )) (2.2.14) Trong đó phần trong ngoặc biểu thị trung bình phổ mở rộng SPM được đưa ra trong phương trình (2.2.12). Cụ thể hơn,
(( − )) =∫ ( ) ( )
∫ ( ) (2.2.15)
Hình 2.8: So sánh phổ mở rộng SPM cho xung Gauss có chirp và Super Gaussian ở năng lượng
37
Các yếu tố phổ mở rộng cho một xung Gauss có thể viết dưới dạng [6] ∆
∆ = 1 + √ ⁄
(2.2.16)
Trong đó ∆ là độ rộng phổ RMS ban đầu của xung.
2.2.3 Ảnh hưởng của dạng xung và chirp ban đầu
Như đã đề cập trước đây, hình dạng của phổ mở rộng SPM phụ thuộc vào hình dạng xung và chirp ban đầu nếu xung đầu vào có chirp [7]. Hình 2.8 so sánh phổ xung cho xung Gauss (m=1) và super Gauss (m=3) thu được bằng cách sử
dụng phương trình (2.1.30) trong phương trình (2.2.12) và thực hiện lấy tích phân. Trong cả hai trường hợp, xung đầu vào được giả thiết là không có chirp (C = 0).
Chiều dài sợi và công suất đỉnh được lựa chọn sao cho = 4.5 . Sự
khác biệt giữa hai phổ có thể thấy được khi tham khảo hình 2.5 trong đó hiển thị
SPM gây ra cho xung Gauss và xung super Gauss. Khoảng phổ rộng hơn ba lần cho xung Super Gauss vì chirp tối đa từ phương trình (2.2.10) lớn hơn khoảng ba lần trong trường hợp đó. Mặc dù cả hai phổ trong hình 2.8 đều hiển thị năm đỉnh, phù hợp với phương trình (2.2.13), hầu hết các năng lượng vẫn còn trong đỉnh trung tâm của xung super Gauss. Điều này là vì chirp gần như bằng không trong khu vực trung tâm trong hình 2.5. Chẳng hạn một xung là hệ quả của cường độ gần như
chuẩn hóa của một xung Gauss với | | < chirp tần số xảy ra chủ yếu ở mép đầu và mép sau. Khi các cạnh trở nên dốc hơn, trong hình 2.8 phần đuôi mở rộng trên một phạm vi tần số dài hơn, nhưng đồng thời, mang ít năng lượng hơn vì chirp xảy ra trong một khoảng thời gian nhỏ.
Hình 2.9: Ảnh hưởng của chirp tần số ban đầu vlên sự mở rộng phổ SPM của một xung Gauss có chirp cho C = 5 và C = -5 với trường hợp = 4: 5π.
38
Một chirp tần số ban đầu cũng có thể dẫn đến những thay đổi mạnh mẽ trong sự mở rộng phổ SPM. Điều này được minh họa trong hình 2.9, trong đó cho thấy phổ của một xung Gauss với chirp dương và âm [ = ±5 trong phương trình (2.1.30)] dưới điều kiện giống với hình 2.8, nghĩa là, = 4.5 . Một so sánh những phổ này với phổ của xung Gaussian có chirp (bên trái trong hình 2.8) cho
thấy cách chirp ban đầu tạo ra những thay đổi về tính chất trong sự mở rộng gây ra bởi SPM. Một chirp dương làm tăng số lượng đỉnh phổ trong khi điều ngược lại xảy ra trong trường hợp của một chirp âm. Do đó, nó cho biết thêm về chirp ban đầu cho C> 0, kết quả trong một cấu trúc dao động tăng cường. Trong trường hợp của
C<0, sựđóng góp của hai chirp là ngược dấu, ngoại trừ ở các cạnh xung. Các đỉnh ngoài cùng trong hình 2.9 C = -5 là vì chirp còn lại ở gần đầu và đuôi xung.
2.3. Ảnh hưởng của tán sắc vận tốc nhóm và tự biến điệu pha đến sự tiến triển của xung triển của xung (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Các hiệu ứng SPM được thảo luận trong phần 2.2 mô tả các diễn biến lan truyền thực tế chỉ dùng cho xung tương đối dài ( > 100 ) mà chiều dài tán sắc là lớn hơn nhiều so với chiều dài sợi L và chiều dài phi tuyến LNL. Khi xung trở
nên ngắn hơn và chiều dài tán sắc tương đương với chiều dài sợi, ta cần xem xét
ảnh hưởng kết hợp của GVD và SPM [8]. Các tính năng mới phát sinh từ sự tương tác giữa GVD và SPM. Trong chếđộ tán sắc dị thường của một sợi quang, hai hiện tượng có thể kết hợp khi xung lan truyền để tạo một soliton quang học (Chương III). Trong chếđộ tán sắc thường, ảnh hưởng kết hợp của GVD và SPM có thểđược sử dụng để nén xung.
Bắt đầu với phương trình Schrodinger (NLS) phi tuyến. Các phương trình sau có thểđược viết trong một dạng chuẩn hóa như
= ( ) − | | (2.3.1) Trong đó ξ và τđại diện cho biến khoảng cách và thời gian chuẩn hóa được
định nghĩa là:
= ⁄ , = ⁄ (2.3.2) Thông số N được cho bởi
39 =
= | | (2.3.3)
Ý nghĩa vật lý của N sẽ trở nên rõ ràng trong chương 3, nơi các giá trị
nguyên của N được tìm thấy có liên quan đến trật tự soliton. Ý nghĩa thực tiễn của các tham số N là nghiệm của phương trình (2.3.1) thu được cho một giá trị N cụ thể
áp dụng cho nhiều tình huống thực tế thông qua phương trình (2.3.3). Từ phương (2.3.3), N chi phối tầm quan trọng tương đối của các hiệu ứng SPM và GVD trên xung lan truyền dọc theo sợi. Tán sắc chiếm ưu thế với N<<1 trong khi SPM chi phối khi N>>1. Đối với các giá trị của N~1 thì cả hai SPM và GVD đều đóng vai trò quan trọng trong quá trình tiến hóa xung. Trong phương trình (2.3.1), ( ) = ±1 tùy thuộc vào việc GVD là tán sắc thường ( > 0) hoặc dị thường ( < 0).
Hình 2.10: Sự tiến triển của các hình dạng xung (hình trên) và phổ (hình thấp hơn) trên một khoảng cách 5LD cho một xung Gauss ban đầu có chirp lan truyền trong chếđộ tán sắc thường của
sợi quang (β2> 0) với các thông số với N = 1.
Hình 2.10 cho thấy sự tiến hóa của dạng xung và phổ của một xung Gauss ban đầu có chirp trong chế độ tán sắc thường của một sợi sử dụng N = 1 và α= 0.
Các diễn biến khá khác biệt so với khi chỉ có một trong hai GVD hoặc SPM chiếm
40
(không có SPM). Điều này có thểđược hiểu rằng SPM tạo ra thành phần tần số mới
được dịch chuyển về phía đỏ gần mép đầu và dịch chuyển về phía xanh ở gần đuôi của xung. Các thành phần màu đỏđi nhanh hơn các thành phần màu xanh trong chế độ tán sắc thường, SPM dẫn đến một tỷ lệ cao của xung mở rộng so với khi chỉ có GVD. Điều này sẽảnh hưởng đến sự mở rộng phổ như là dịch pha do SPM gây ra. sẽ xảy ra ít hơn nếu hình dạng xung là không thay đổi. Thật vậy, = 5 tại
= 5 và một phổ với hai đỉnh được mong đợi khi không có GVD.
Hình 2.11: Sự phát triển của các hình dạng xung (hình trên) và phổ quang (hình thấp hơn) trong
điều kiện giống hệt với hình. 2.10 ngoại trừ việc lan truyền xung Gauss trong chếđộ tán sắc dị
thường (β2 <0).
Sự khác nhau khi xung truyền trong các chế độ tán sắc dị thường của sợi
được mô tả trong hình 2.11 ở đó cho thấy hình dạng xung và phổ trong điều kiện