thuyết nhiễu loạn bậc nhất PNL. Sử dụng phương trình (1.3.3) và (1.3.12) trường
điện E(r, t) có thể viết
( , ) = { ( , ) ( , ) exp[ ( − )] + . . }, (1.3.21) Trong đó A(z, t) là sự tiến triển của xung biến đổi chậm. Những biến đổi Fourier ( , − ) của A(z, t) thỏa mãn phương trình (1.3.16) có thể viết lại thành
= [ ( ) +∆ − ] (1.3.22) Chúng ta sử dụng phương trình (1.3.19) và xấp xỉ − bằng 2 − . Ý nghĩa vật lý của phương trình này rất rõ ràng. Mỗi thành phần phổ bên trong sự tiến triển của xung thu được ứng với một sự dịch chuyển pha phụ thuộc vào cả
tần số và cường độ.
Đến đây, chúng ta có thể quay ngược miền thời gian bằng cách lấy nghịch
đảo biến đổi Fourier của phương trình (1.3.22) thu được phương trình truyền cho
A(z, t). Tuy nhiên, một hàm chính xác của ( )hiếm khi được biết đến, điều này khá hữu ích khi khai triển ( )trong chuỗi Taylor theo tần số sóng mang như
sau:
( ) = + ( − ) + ( − ) + ( − ) +⋯, (1.3.23) Trong đó
=
( = 1,2, … ) (1.3.24)
Số hạng bậc ba và các số hạng bậc cao trong khai triển này là không đáng kể
nếu độ rộng phổ∆ ≪ . Sự bỏ qua này là phù hợp với các giả thiết gần nhưđơn sắc được sử dụng khi ta bắt đầu phương trình (1.3.22). Nếu ≈ 0 tại một vài giá
15
trị cụ thể của (trong vùng lân cận bước sóng không tán sắc trong sợi quang), nó có thể bao gồm cả các thành phần bậc ba. Chúng ta thay phương trình (1.3.23) vào (1.3.22) và lấy nghịch đảo biến đổi Fourier bằng cách sử dụng:
( , ) = ∫ ( , − ) exp[− ( − ) ] . (1.3.25) Trong quá trình tính toán biến đổi Fourier, hiệu ( − )được thay bằng một phép tính khác là ( ⁄ ) Kết quả là A(z, t) trở thành
=− − + ∆ (1.3.26)
Số hạng ∆ bao gồm sựảnh hưởng của hao phí sợi quang và hao phí phi tuyến. Bằng cách sử dụng phương trình (1.3.18) và (1.3.10), ∆ có thểđược đánh giá và thay thế vào phương trình (1.3.26). Kết quả là:
+ + + = | | . (1.3.27) Trong đó thông số phi tuyến được định nghĩa là
=
ſſ. (1.3.28)
Để có được phương trình (1.3.27), biên độ xung A được giả thiết dạng chuẩn hóa | | đại diện cho năng lượng quang. Số lượng | | được đo bằng đơn vị
ế được biểu diễn trong đơn vị ⁄ . Thông số ſſđược biết đến như
vùng lõi hiệu dụng và được định nghĩa:
ſſ =(∬ | ( , )| )
∬ | ( , )| . (1.3.29) Việc đánh giá đòi hỏi sử dụng các dạng thức phân bố F(x, y) cho các mode sợi cơ bản. Rõ ràng, ſſ phụ thuộc vào các thông số sợi quang như bán kính lõi sợi, sự khác nhau của chỉ số lõi và vỏ.
Phương trình (1.3.27) mô tả sự truyền xung quang pico giây trong các sợi quang đơn mode. Phương trình này thường được gọi là phương trình Schrodinger phi tuyến bởi vì nó có thể tối giản hóa dưới những điều kiện nhất định. Nó còn bao gồm những ảnh hưởng của sự hao phí sợi thông qua , của sự tán sắc qua và , của sợi phi tuyến qua . Khi xung lan truyền đi với vận tốc nhóm ≡ 1⁄ trong khi đó ảnh hưởng của tán sắc vận tốc nhóm được điều chỉnh thông qua . Thông số
16
không tán sắc của sợi quang. Trong chếđộ tán sắc dị thường (λ> ), là âm, sợi có thể tạo ra các soliton quang học.
1.3.2 Các hiệu ứng phi tuyến bậc cao
Mặc dù phương trình lan truyền (1.3.27) thành công trong việc giải thích một số lượng lớn các hiệu ứng phi tuyến, nó có thể thay đổi tùy thuộc vào điều kiện thí nghiệm. Nhưng phương trình (1.3.7) không bao gồm các hiệu ứng tán xạ không đàn hồi của các kích thích như SRS và SBS. Nếu công suất đỉnh của xung vượt qua một mức ngưỡng, cả SRS và SBS có thể chuyển năng lượng xung thành một xung mới, có thể lan truyền cùng hướng hoặc theo hướng ngược lại. Hai xung tương tác với nhau thông qua khuếch đại Raman hoặc Brillouin và XPM. Hiện tượng tương tự
xảy ra khi hai hoặc nhiều xung ở các bước sóng khác nhau (cách nhau nhiều hơn độ
rộng phổ của mỗi xung) tạo thành sự ngẫu nhiên trên sợi. Sự lan truyền đồng thời nhiều xung được mô tả bởi một tập hợp các phương trình tương tự như phương trình (1.3.27), sự biến đổi phù hợp bao gồm sự đóng góp của XPM và khuếch đại Raman hoặc Brillouin.
Phương trình (1.3.27) cũng cần được sửa đổi cho xung cực ngắn có chiều rộng xung gần bằng hoặc <1 ps. Độ rộng phổ của xung như vậy đủ rộng để một số
phép xấp xỉđã được thực hiện (để có được phương trình (1.3.27)) trở nên đáng kể. Giới hạn quan trọng nhất là sự bỏ qua hiệu ứng Raman. Đối với các xung có độ
rộng phổ (>0.1 THz), khuếch đại Raman có thể khuếch đại các thành phần tần số
thấp của một xung bằng cách chuyển năng lượng từ các thành phần tần số cao của chính xung đó. Hiện tượng này được gọi là tán xạ Raman nội xung. Kết quả là phổ
xung dịch chuyển về phía tần số thấp (màu đỏ) khi xung lan truyền bên trong sợi, hiện tượng này được gọi là tự dịch tần số [4]. Nguồn gốc vật lý của hiệu ứng này liên quan đến sự trễ tự nhiên của phản ứng Raman (dao động) [8]. Về mặt toán học, phương trình (1.3.6) không thể được sử dụng để có được phương trình (1.3.27). Người ta phải sử dụng các dạng chung của phân cực phi tuyến được đưa ra trong phương trình (1.1.10).
Một lần nữa chúng ta bắt đầu với phương trình sóng (1.3.1). Phương trình (1.1.10) mô tả một loạt các hiệu ứng phi tuyến bậc ba, và không phải tất cả trong số
17
đó là liên quan đến khóa luận của chúng tôi. Ví dụ, hiện tượng phi tuyến bậc ba như
hòa ba bậc ba và quá trình trộn bốn sóng không có khả năng xảy ra trừ khi một điều kiện hợp tương hợp pha được thỏa mãn.
Với sự phụ thuộc của cường độ, các hiệu ứng phi tuyến có thể bao gồm dạng hàm sau đây cho độ cảm bậc ba [7]:
( )( − , − , − ) = ( ) ( − ) (, − ) ( − ), (1.3.30) Trong đó R(t) là hàm đáp ứng phi tuyến thông thường như hàm delta ∫ ( ) = 1 . Bằng cách thay thế phương trình (1.3.30) vào (1.3.10), độ phân cực phi tuyến được viết thành:
( , ) = ( ) ( , )∫ ( − )| ( , )| (1.3.31) Trong đó người ta giả thiết rằng điện trường và các vectơ phân cực cùng hướng. Giới hạn trên của tích phân trong phương trình (1.3.31) chỉ mở rộng lên đến t bởi vì hàm đáp ứng R( − ) phải bằng 0 khi > t. Sử dụng phương trình (1.3.2) và (1.3.4) được tìm thấy
∆ + ( ) =− + ( ) ∬ ( − ) ×
( , ) ( , ) ∗( + − , ) (1.3.32) Trong đó ( ) là biến đổi Fourier của R (t). Như trước đây, ta có thể áp dụng các số hạng ở phía tay phải như một sự thay đổi nhỏ và được bỏ qua. Ảnh hưởng của điều kiện nhiễu loạn là sự thay đổi hằng số truyền cho mode cơ bản bởi
Δβ như trong phương trình (1.3.19) nhưng với một cách diễn đạt khác của Δβ. Chúng ta có thể xác định biên độ biến đổi chậm A (z, t) như trong phương trình (1.3.21) và sau một số phép tính đại số, theo phương trình cho xung lan truyền trong một sợi đơn mode [8] ta có: +2 + + 2 − 6 = 1 + ( , )∫ ( )| ( , − )| ′ (1.3.33) Trong đó γ là tham số phi tuyến được xác định trong phương trình (1.3.28). Nhìn chung, khu vực lõi hiệu dụng ſſ cũng là một hàm của ω vì phân phố mode
18
không đáng kể và có thểđược đưa vào một cách đơn giản. Thời gian phát sinh xuất hiện ở phía bên phải của phương trình (1.3.33) là kết quả khi phương trình (1.3.4)
được sử dụng trong phương trình (1.1.7) và dẫn xuất bậc một của được giữ lại trong các tính toán được sử dụng cho các xung cực ngắn. Thuật ngữ này cũng bao gồm sự mất mát năng lượng phi tuyến từ tán xạ Raman nội xung. Phương trình (1.3.33) có thể áp dụng ngay cả khi hình dạng là xấp xỉ biến đổi chậm và có thể được sử dụng cho các xung ngắn như một vài chu kỳ quang.
Hình 1.2: Thay đổi theo thời gian của hàm đáp ứng Raman R (t) thu được bằng cách sử dụng phổ
khuếch đại Raman thực tế của sợi silica.
Hàm đáp ứng R (t) phải bao gồm cả sự đóng góp dao động Raman và dao
động điện tử. Giả sử rằng sựđóng góp điện tử là gần như tức thời, dạng thức hàm của R (t) có thểđược viết như sau [6]
R(t)=(1- ) ( ) + ( ) (1.3.34)
Trong đó đại diện cho đóng góp một phần của phản ứng Raman trễ tới sự
phân cực phi tuyến . Hàm đáp ứng Raman ℎ ( ) tạo ra khuếch đại Raman với phổ của nó là
(∆ ) = ( ) ℎ (∆ ) (1.3.35) Trong đó ∆ = − và phần ảo đã tính được. Phần thực của ℎ (∆ ) có thể thu được từ phần ảo bằng cách sử dụng các liên hệ Kramers-Kronig. Biến đổi Fourier của ℎ (∆ ) sau đó sẽ cho ta hàm đáp ứng Raman ℎ ( ). Hình 1.2 cho thấy
19
sự thay đổi theo thời gian của ℎ ( ) thu được bằng cách sử dụng phổ đo được bằng thực nghiệm của khuếch đại Raman trong sợi silica [7].
Theo quan điểm của các dao động tắt dần ta thấy trong hình 1.1, một dạng thức hữu ích là [7]
ℎ ( ) = exp (− ⁄ ) sin( ⁄ ). (1.3.36) Các thông số và là hai thông sốđiều chỉnh và được lựa chọn để tạo ra sự
phù hợp với thực tế của phổ khuếch đại Raman. Giá trị thích hợp của chúng là = 12.2 ſ và = 32 ſ . Phần cũng có thể ước tính từ phương trình (1.3.35). Bằng cách sử dụng các giá trị của đỉnh khuếch đại Raman, được ước tính khoảng 0,18 [6].
Phương trình (1.3.33) cùng với các hàm đáp ứng R(t) được đưa ra bởi phương trình (1.3.34) điều chỉnh sự tiến triển của xung cực ngắn trong sợi quang.
Độ chính xác của nó đã được xác minh bằng cách chỉ ra rằng nó duy trì số lượng các photon trong xung tiến hóa nếu hao phí sợi được bỏ qua bằng cách thiết lập
α=0. Năng lượng xung không được bảo toàn với sự có mặt của tán xạ Raman nội xung vì một phần năng lượng xung được hấp thụ bởi các phân tử silic. Phương trình (1.3.33) bao gồm cả sự hao phí phi tuyến này. Nó có thể tối giản như phương trình (1.3.27) cho xung quang dài hơn nữa, dài hơn so với phạm vi thời gian của các hàm
đáp ứng Raman ℎ ( ) vì R(t) cho xung sẽ được thay thế bằng hàm delta δ(t). Cần lưu ý rằng ℎ ( ) tiến đến 0 cho t > 1 ps (xem hình 1.2), sự thay thế này thỏa mãn với xung pico giây có độ rộng xung lớn hơn nhiều so với 1 ps.
Đối với các xung ngắn hơn 5 ps nhưng đủ rộng để chứa nhiều chu kỳ quang (chiều rộng >>10 fs), chúng ta có thểđơn giản hóa phương trình (1.3.33) bằng cách sử dụng một chuỗi Taylor mở rộng là
| ( , − )| ≈ | ( , )| − ′ | ( , )| (1.3.37) Xấp xỉ này là hợp lý nếu xung tiến triển chậm dọc theo sợi. Xác định thời
điểm ban đầu của các hàm đáp ứng phi tuyến như sau:
≡∫ ℎ ( ) = (∆ )
∆ (1.3.38) Và chú ý rằng ∫ ( ) = 1 phương trình (1.3.33) được xấp xỉ bằng:
20
+ + − = | | + (| | − | | (1.3.39) Trong đó một hệ quy chiếu chuyển động với xung tại vận tốc nhóm được sử dụng bằng cách chuyển đổi:
T= t - ⁄ ≡ − (1.3.40)
Nó rất dễ để xác định nguồn gốc của ba số hạng bậc cao trong phương trình (1.3.39). Các hệ số điều chỉnh này ảnh hưởng đến sự tán sắc bậc ba và sẽ rất quan trọng đối với xung cực ngắn vì băng thông rộng của chúng.
Đối với xung có độ rộng > 5 , các thông số ( ) và ⁄ quá nhỏ (<0.001), đó là hai thành phần cuối cùng trong phương trình (1.3.39) có thể được bỏ qua. Sự đóng góp của số hạng tán sắc bậc ba cũng khá nhỏ (miễn là sóng mang không phải là quá gần với bước sóng không tán sắc), người ta có thể sử dụng phương trình đơn giản hóa
+ − + | | = 0 (1.3.41) Phương trình này cũng có thể thu được từ phương trình (1.3.27) bằng cách sử
dụng các biến đổi được đưa ra trong phương trình (1.3.40). Trong trường hợp đặc biệt của α = 0, phương trình (1.3.41) được gọi là phương trình NLS vì nó tương tự
như phương trình Scghrodinger với một số hạng phi tuyến bịẩn (biến z đóng vai trò của thời gian). Để mở rộng hơn nữa, phương trình (1.3.39) được gọi tổng quát (hoặc mở rộng) là phương trình NLS. Phương trình NLS là một phương trình cơ bản của khoa học phi tuyến và đã được nghiên cứu trong các bài toán của soliton [9] - [6].
= | | ≈ (1− | | ) (1.3.42) Phương trình (1.3.41) là phương trình phi tuyến đơn giản nhất để nghiên cứu hiệu ứng phi tuyến bậc ba trong sợi quang.