Các soliton bậc nhất (N = 1) tương ứng với trường hợp của một trị riêng duy nhất. Nó được gọi là soliton cơ bản bởi vì dạng của nó không thay đổi trên đường truyền. Sự phân bố trường thu được từ phương trình (3.1.9) - (3.1.12) sau khi thiết lập j = k = 1. Chú ý rằng ψ21 = λ1 (1 + |λ|4 / η2 )-1, thay thế nó vào phương trình (3.1.9), chúng ta có được:
( , ) =−2( ∗) (1 = | | ⁄ ) (3.1.13) Sau khi sử dụng phương trình (3.1.10) cho λ 1 cùng với ζ1 = (δ + iη)/2 và
đưa ra tham số τs và s thông qua -c1 / η = exp (ητs i s), chúng ta có được những dạng chung của soliton cơ bản:
( , ) = sech[ ( − + )] exp [ ( − ) ⁄2− + (3.1.14) Trong đó η, δ, τs, và s là bốn thông số tùy ý đặc trưng của soliton. Vì vậy, một sợi quang tạo ra bốn tham số soliton cơ bản, tất cảđều có cùng điều kiện N = 1. Thực tế thì, bốn thông sốη, δ, τs, và sđại diện cho biên độ, tần số, vị trí và pha của soliton, tương ứng. Các pha s có thể bỏ qua vì một hằng số pha tuyệt đối không có ý nghĩa vật lý. Nó sẽ liên quan khi ta xem xét tương tác phi tuyến giữa một cặp soliton. Thông số τs cũng có thể bỏ qua vì nó biểu thị vị trí của các đỉnh soliton. Nếu thời gian bắt đầu được lựa chọn sao cho đỉnh xảy ra tại τ = 0 và ξ = 0,
người ta có thể thiết lập τs = 0. Điều này được thấy rõ từ yếu tố pha trong phương trình (3.1.14) rằng tham số δ đại diện cho một sự dịch tần số các soliton từ tần số
sóng mang ω0. Sử dụng phần sóng mang, exp(-iω0 t), tần số mới trở thành
ω’0 = ω0 + δ/T0. Lưu ý rằng một sự dịch tần số cũng thay đổi vận tốc soliton từ giá trị ban đầu của nó. Điều này có thể thấy rõ hơn cách sử dụng τ= (t-β1z)/T0 trong phương trình (3.1.14) và viết nó như là:
46
| ( , )| = sech [ ( − )⁄ ] (3.1.15) Trong đó β’1 = β1 + δ|β2|/T0. Theo cơ sở vật lý, sự thay đổi trong nhóm vận tốc (vg = 1/β1 ) là kết quả của sự tán sắc sợi quang.
Các dịch chuyển tần sốδ cũng có thểđược loại bỏ khỏi phương trình (3.1.14) bằng cách chọn tần số sóng mang thích hợp. Soliton cơ bản sau đó tạo thành một nhóm tham số duy nhất được mô tả bởi:
( , ) = sech( ) exp ( ⁄2) (3.1.16) Các tham sốη xác định không chỉ biên độ soliton mà còn chiều rộng của nó. Trong các đơn vị thực, sự thay đổi chiều rộng soliton với η như là T0/η, nghĩa là, nó tỉ lệ nghịch với biên độ soliton. Mối quan hệ nghịch đảo giữa biên độ và chiều rộng của một soliton là hệ quả quan trọng nhất của soliton. Các hình thức kinh điển của soliton cơ bản thu được bằng cách chọn u(0,0) =1 để η = 1. Với lựa chọn này, phương trình (3.1.16) trở thành:
( , ) = sech( ) exp ( ⁄2) (3.1.17) Người ta có thể xác minh bằng cách thay trực tiếp vào phương trình (3.1.6)
để thấy nghiệm này thực sự là một nghiệm của phương trình NLS.
Các nghiệm trong phương trình (3.1.17) cũng có thể thu được bằng cách giải phương trình NLS trực tiếp, mà không sử dụng phương pháp tán xạ ngược. Cách tiếp cận này bao gồm các giả thiết rằng một dạng nghiệm của phương trình NLS tồn tại và có hình thức:
( , ) = ( )exp [ ( , )] (3.1.18)
Trong đó V là độc lập với ξ trong phương trình (3.1.18) để đại diện cho một soliton cơ bản vẫn duy trì hình dạng của nó trong quá trình truyền. Pha có thể phụ
thuộc vào cả ξ và τ. Nếu phương trình (3.1.18) được thay thế vào phương trình (3.1.5), phần thực và ảo được tách biệt, chúng bao gồm hai phương trình cho V và . Phương trình pha cho thấy rằng nên có dạng (ξ; τ) = K’ξ- δτ, mà K’ và δ là hằng số. Chọn δ = 0 (không có sự dịch tần số), V(τ) được tìm thấy thỏa mãn:
= 2 ( ′− ) (3.1.19) Phương trình phi tuyến này có thể được giải bằng cách nhân nó với 2(dV/dτ) và tích phân trên τ. Kết quả là:
47
( )⁄ = 2 ′ − + ′ (3.1.20) Trong đó C’ là một hằng số của tích phân. Sử dụng điều kiện biên mà cả V và dV/dτđều bị bỏ qua khi |τ|→∞, C được tìm thấy bằng 0. Hằng số K’ được xác
định từđiều kiện V = 1 và dV/dτ = 0 tại đỉnh soliton, giả thiết này xảy ra tại τ = 0 và = ⁄2. Phương trình (3.1.20) được lấy tích phân dễ dàng để có được V(τ)=sech(τ).
Trong sợi quang, các nghiệm (3.1.17) chỉ ra rằng nếu một xung secant hyperbolic có chiều rộng T0 và năng lượng đỉnh P0 được lựa chọn sao cho N = 1
trong phương trình (3.1.4), các xung sẽ lan truyền không bị biến dạng - không thay
đổi hình dạng cho khoảng cách dài tùy ý. Đây là tính năng của solitons cơ bản mà làm cho chúng trở thành ứng cử viên vàng cho các hệ thống truyền thông quang học [80]. Công suất đỉnh P0 của các soliton cơ bản được lấy từ phương trình (3.1.4) bằng cách thiết lập N = 1 và được cho bởi:
=| |≈ . | |
(3.1.21)