- Sự lên hay xuống của giá cổ phiếu của mỗi đơn vị thời gain là độc lập với diễn biến của giá cổ phiếu đó trong quá khứ.
e) Từ tập A\{0}, lập được bao nhiêu số có 8 chữ số khác nhau biết tổng của 4 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 4 chữ số sau 12 đơn vị ?
2.3.2 Các bài toán tính số tập con của một hay nhiều tập hợp.
2.3.2.1 Các bài toán dạng cơ bản có thể đưa ngay về công thức tổ hợp
Các bài toán sử dụng công thức tổ hợp dạng cơ bản thường yêu cầu thành lập các tổ, nhóm thỏa mãn điều kiện cho trước.
a)Dạng 1: Đếm số tập con của một tập lớn duy nhất Bài tập 1:
Một tổ có 14 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách cử một nhóm gồm 5 học sinh của tổ đi lao động ở phòng thí nghiệm?
Với bài toán này học sinh có thể biết được ngay số các nhóm có thể lập chính là số các tổ hợp chập 5 của 14 phần tử.
Bài tập 2:
Cho tập hợp P gồm n điểm.
a) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P ?
b) Nếu trong n điểm này không có 3 điểm nào thẳng hàng thì hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh thuộc P ?
b)Dạng 2: Đếm số tập con có phần tử lấy từ nhiều tập lớn.
Với dạng toán này ta cần phối hợp sử dụng các công thức về tổ hợp và quy tắc cộng, quy tắc nhân.
Bài tập 1:
Trong một lớp có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ đi tham gia chiến dịch “ Mùa hè xanh” của Đoàn Thanh niên Cộng sản Hồ Chí Minh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Giải
Ta có 4 20
C cách chọn 4 học sinh nam trong số 20 học sinh nam, ứng với mỗi cách chọn này lại có 3
15
C cách chọn 3 học sinh nữ trong số 15 học sinh nữ. Theo quy tắc nhân số cách chọn là 4
20
C . 315 15
C = 2204475 Bài tập 2: Bài tập 2:
Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia đồng diễn thể dục.
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm đồng diễn thể dục ?
b) Trong 5 em được chọn, yêu cầu không có quá 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
c) Trong 5 em được chọn, yêu cầu phải có ít nhất 1 em nữ thì có bao nhiêu cách chọn?
* Bài tập 2 và bài tập 1 có cùng một kiểu giả thiết nhưng yêu cầu của bài tập 2
khó hơn, đòi hỏi học sinh phải biết tìm ra chính xác số phần tử m lấy từ tập A và số phần tử n lấy từ tập B để đưa vào tập C sao cho tổng của số phần tử này là 5
m + n = 5
Sau khi đã mô hình hoá bài toán, ta có thể thêm điều kiện cho m và n để có thêm các bài toán mới.
Giải
a) Do m + n = 5 và 0m 7, 0n 5 nên ta chỉ có các cặp số (m;n) sau thỏa mãn điều kiện là (2 ; 3), (3 ; 2), (4 ; 1), (5; 0). Do đó ta xét các trường hợp: TH1: Nhóm có 2 nam và 3 nữ, có 2 3 7 5 C C cách chọn. TH2: Nhóm có 3 nam và 2 nữ, có 3 2 7 5 C C cách chọn. TH3: Nhóm có 4 nam và 1 nữ, có 4 1 7 5 C C cách chọn. TH4: Nhóm chỉ có 5 nam và không có nữ, có 5 0 7 5 C C cách chọn.
Vậy số cách chọn nhóm thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 2 3 7 5 C C + 3 2 7 5 C C + 4 1 7 5 C C + 5 0 7 5 C C = 3255.
b) Từ yêu cầu đề bài ta có m + n = 5 và 0m 7, 0n 2. Suy ra các cặp số (m;n) thỏa mãn hệ điều kiện này là (3;2), (4;1), (5;0). Vậy ta có các trường hợp:
TH1: Nhóm có 3 nam và 2 nữ. TH2: Nhóm có 4 nam và 1 nữ. TH3: Nhóm chỉ có 5 nam.
c) Từ yêu cầu đề bài ta có m + n = 5 và 0m 7, 1n 3. Suy ra các cặp số (m;n) thỏa mãn yêu cầu đề bài là ( 4;1), (3;2), (2;3). Vậy ta có các trường hợp:
TH1: Nhóm có 1 nữ và 4 nam. TH2: Nhóm có 2 nữ và 3 nam. TH3: Nhóm có 3 nữ và 2 nam.
* Cách giải câu b) và câu c) chỉ được sử dụng khi số phần tử của A và B nhỏ, học sinh có thể liệt kê đầy đủ các trường hợp, còn khi số phần tử của A và B lớn thì việc liệt kê như vậy là rất khó khăn. Lúc này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp tính gián tiếp. Giáo viên có thể cho học sinh hình thành nhận xét sau:
Giả sử tập A có a phần tử, tập B có b phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có p phần tử với số phần tử lấy từ tập A và B ?
- Nếu bài toán không có thêm điều kiện gì thì ta có thể hiểu câu hỏi của đề bài tương đương với câu hỏi : “ Có bao nhiêu tập con có p phần tử của tập E gồm a +b phần tử ?” . Câu trả lời là p
a b
C tập con.
- Nếu đề bài có thêm điều kiện là tập con p phần tử phải thỏa mãn một tính chất A nào đó thì kết quả chỉ là số n với n Cpa b , nN. Khi đó
ta cũng có số tập con có k phần tử không thỏa mãn tính chất A là
p a b
Hình vẽ 2.13: Phần bù của tập hợp có các phần tử thỏa mãn tính chất A
Cách giải bài toán tổng quát 1.Tính trực tiếp
Giả sử ta chọn k phần tử của tập hợp A và (p-k) phần tử của tập hợp B. Số cách chọn này là Sk= k p k
a b
C C . Cho k thay đổi sao cho k và (p-k) thỏa mãn yêu
cầu đề bài rồi lấy tổng tất cả các số hạng Sk tương ứng, ta sẽ được kết quả cần tìm. 2.Tính gián tiếp Số cách chọn p phần tử từ tập A và B một cách bất kỳ là p a b C . Kết quả phải tìm là hiệu ( p a b C k k S
) với mỗi giá trị k không thỏa mãn yêu cầu đề bài
Xét bài toán 2
- Ở câu a) của bài toán 2, năm học sinh được chọn bất kỳ từ 10 học sinh, không cần thêm điều kiện gì về số học sinh nam và học sinh nữ. Vì vậy ta có thể hiểu vai trò học sinh nam và học sinh nữ là như nhau và yêu cầu đề bài trở thành: tính số tập con có 5 phần tử lấy từ tập có 10 phần tử. Đáp án của câu a) là: 5 10 C = 252. số tập con thỏa mãn tính chất A số tập con không thỏa mãn tính chất A
- Ở câu b) của bài toán 2, ta có thể tính theo cách gián tiếp. Khi đó, các trường hợp không thỏa mãn yêu cầu đề bài là trường hợp nhóm chỉ có 5 nam, không có nữ và trường hợp nhóm chỉ có 1 nữ và 4 nam. Như vậy đáp án của câu b) là: 5
10
C C57C C15 47 = 56. Bài tập 3 Bài tập 3
Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Chọn ra một tốp ca gồm 8 em.
a) Nếu tốp ca phải có ít nhất 2 nữ thì có bao nhiêu cách chọn tốp ca?
b) Nếu tốp ca phải có ít nhất 2 nữ và ít nhất 2 nam thì có bao nhiêu cách chọn tốp ca?
*Với dạng bài : “Chọn ra k phần tử từ hai tập A và B mà phải có ít nhất k0 phần tử của tập A” thì ta có thể làm như sau:
- Nếu k0 gần bằng số phần tử a của tập A hoặc gần bằng số phần tử b của tập B hoặc gần bằng k thì ta nên làm theo phương pháp tính trực tiếp.
- Nếu k0 cách xa cả a, b, k ( a – k0 5 và b – k0 5 và k – k0 5) thì ta nên làm theo phương pháp tính gián tiếp.
Như vậy ở bài toán 3, cách giải theo phương pháp gián tiếp có ưu thế hơn cách giải theo phương pháp trực tiếp vì k0 = 2 nhỏ hơn nhiều so với a =10, b = 10, k =8.
Bài tập 4
Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không có đủ ba màu?
Cách 1: Liệt kê các trường hợp Bi đỏ Bi trắng Bi vàng Số cách chọn 4 0 0 4 4 C = 1 3 1 0 3 1 4 5 C .C = 20 1 3 0 1 3 4 5 C .C = 40 2 2 0 2 2 4 5 C .C = 60 0 4 0 4 5 C = 5 0 1 3 1 3 5 6 C .C = 100 0 3 1 3 1 5 6 C .C = 60 0 2 2 2 2 5 6 C .C = 150 0 0 4 4 6 C = 15 1 0 3 1 3 4 6 C .C = 80 3 0 1 3 1 4 6 C .C = 24 2 0 2 2 2 4 6 C .C = 90 Tổng số cách chọn 645 cách
Cách liệt kê tương đối dài nên ta có thể làm theo cách gián tiếp (sử dụng công thức phần bù)
Cách 2:
Hộp đựng 15 viên bi, chọn ngẫu nhiên 4 viên bi trong số 15 viên bi là một tổ hợp chập 4 của 15 phần tử : C 154
Nếu chọn 4 viên bi có đủ cả ba màu thì ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: 2 bi đỏ, 1 bi trắng, 1 bi vàng có 2 1 1
Trường hợp 2: 1 bi đỏ, 2 bi trắng, 1 bi vàng có C C C cách chọn. 14 25 16 Trường hợp 3: 1 bi đỏ, 1 bi trắng, 2 bi vàng có C C C cách chọn. 14 15 26 Vậy nếu chọn ra 4 viên bi có đủ cả ba màu thì có tất cả :
2 1 14 5 6 4 5 6
C C C + C C C + 14 52 16 C C C = 720 cách chọn 14 15 26
Suy ra số cách chọn 4 viên bi không có đủ ba màu là: C 154 720 = 654 cách.
* Cách làm thứ hai tuy có gọn hơn cách thứ nhất nhưng khi k phần tử chọn ra là số lớn thì ta vẫn phải liệt kê rất nhiều trường hợp. Do đó, ta không nên làm bài toán 2 theo cả hai cách này.
Lúc đó, ta cần vận dụng đến công thức tính số phần tử của một tập hợp các tập hợp như sau :
M N P M N P M N N C M P M N P
Ở đây M, N, P là tập hợp các cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài.
* Bài tập 4 có thể giải theo cách thứ 3 dựa vào công thức trên như sau:
Cách 3:
Chọn 4 viên bi không đủ ba màu thì có các trường hợp sau: - Trường hợp 1: 4 viên bi lấy ra chỉ có màu đỏ hoặc màu trắng.
Trường hợp này ta phải chọn 4 viên trong số 9 viên bi ( 4 đỏ + 5 trắng), số cách chọn là 4
9
C cách.
- Trường hợp 2: 4 viên bi lấy ra chỉ có màu trắng hoặc màu vàng.
Trường hợp này ta phải chọn 4 viên bi trong số 11 viên bi ( 5 trắng + 6 vàng), số cách chọn là C cách. 114
- Trường hợp 3: 4 viên bi chỉ có màu vàng hoặc màu đỏ.
Trường hợp này ta phải chọn 4 viên bi trong số 10 viên ( 4 đỏ + 6 vàng), số cách chọn là C104 cách.
- Nhưng cả TH1 và TH2 đều chứa C cách chọn 4 viên bi chỉ toàn màu 54 trắng; TH2 và TH3 đều chứa C cách chọn 4 viên bi chỉ toàn màu vàng; 46 TH1 và TH3 đều chứa C44 cách chọn 4 viên bi chỉ toàn màu đỏ.
Vậy số cách chọn 4 viên bi thỏa mãn yêu cầu đề bài là:
4 4 4 4 4 4
9 10 11 4 5 6
(C C C ) (C C C )66621 645 cách.
( Ta có M = C , 49 N = C , 114 P = C , 104 MN = C , 54 NP = C , 54 MP = C45)
c) Dạng 3: Phân chia một tập hợp thành nhiều tập con.
Cho tập hợp A có n phần tử khác nhau. Chia tập hợp A thành các tập con A1, A2, A3,…Ak; trong đó mỗi tập con Ai ( i1,k) có ni phần tử (i1,k). Khi đó ta phải chọn theo thứ tự tăng dần của i.
- Chọn n1 phần tử trong số n phần tử của tập A cho tập A1.
- Chọn n2 phần tử trong số n – n1 phần tử còn lại của tập A cho tập A2. - Chọn n3 phần tử trong số n – n1 – n2 phần tử còn lại của tập A cho tập A3. - …..
- Đến tập thứ k là Ak thì chỉ còn lại đúng nk phần tử cho tập này. Như vậy ta chỉ phải chọn k – 1 bước và ta không cần phải chọn phần tử cho tập cuối cùng.
Bài tập 1
Một lớp học có 40 học sinh được chia thành 4 tổ, mỗi tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chia tổ?
Giải
- Tổ thứ nhất có 10 học sinh được chọn trong số 40 học sinh, số cách chọn là C1040.
- Tổ thứ ba có 10 học sinh được chọn trong số 20 học sinh, số cách chọn là C . 1020 - Đến tổ thứ tư thì chỉ còn lại đúng 10 học sinh nên chỉ có duy nhất một
cách chọn.
Vậy có C .1040 C .1030 C cách chia học sinh vào 4 tổ, mỗi tổ có 10 học sinh. 1020 Bài tập 2
Một lớp học toán bồi dưỡng có 12 học sinh trong đó đã có 4 học sinh đã đạt giải trong kỳ thi trước. Thầy giáo muốn chia thành hai nhóm để trao đổi với số lượng học sinh của hai nhóm bằng nhau. Có bao nhiêu cách chia để cho 4 học sinh đã đạt giải ở hai nhóm khác nhau thì bằng nhau?
Giải
- Trong 12 học sinh có 4 em đã đoạt giải nên còn lại 8 học sinh chưa đoạt giải.
- 8 học sinh này được chia đều cho hai nhóm. Ta chỉ cần chọn 4 trong số 8 học sinh vào nhóm thứ nhất thì chỉ còn một cách đưa 4 học sinh còn lại vào nhóm thứ hai. Suy ra, chia đều 8 học sinh vào hai nhóm thì có C cách chia. 48
- 4 học sinh đã đạt giải được chia đều cho hai nhóm. Lý luận tương tự như trên ta có C cách chia. 24
Vậy có tất cả C .84 C cách chia thỏa mãn yêu cầu đề bài. 24
* Ta có thể thêm điều kiện cho các phần tử của tập A để có được những bài toán mới khó hơn.
Bài tập 3
Một tổ học sinh gồm 12 em, trong đó có 1 tổ trưởng và 1 tổ phó. 12 học sinh này được phân công đi lao động vệ sinh ở các phòng thư viện, phòng thí nghiệm hoá và phòng thực hành sinh. Phòng thư viện cần 5 em, phòng thí nghiệm hóa cần 3 em và phòng thực hành sinh cần 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách phân công biết tổ phó không đi lao động ở phòng thư viện còn tổ trưởng
Đối với hai bài toán trên, ta nên vẽ sơ đồ chọn và các điều kiện đi kèm (dùng biểu đồ Ven) để bài toán được rõ ràng và tránh trường hợp chọn trùng lặp.
Giải bài tập 3
a) Trường hợp 1: Tổ phó được phân công vào phòng thí nghiệm hóa.
Khi đó phòng thí nghiệm hóa có cả tổ trưởng và tổ phó, nên ta chỉ cần chọn thêm 1 học sinh trong số 10 học sinh vào phòng này, số cách chọn là
110 10
C . Sau đó có C cách chọn 5 học sinh vào phòng thư viện. Còn lại 4 học 59 sinh thì chỉ có 1 cách chọn là phân công vào phòng thực hành sinh.
Suy ra, ở trường hợp 1 có C .110 C .1 = 1260 cách chọn. 59
b) Trường hợp 2: Tổ phó được phân công vào phòng thực hành sinh.
Khi đó cần chọn thêm 3 học sinh vào phòng thực hành sinh, số cách chọn là C103 . Sau đó, có C27 cách chọn 2 học sinh vào phòng thí nghiệm hóa vì phòng này đã có bạn tổ trưởng. Còn lại 5 học sinh thì chỉ có 1 cách chọn duy nhất là vào phòng thư viện.
Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là : C .110 C + 59 C .103 C = 3780 cách chọn. 27
2.3.2.2 Mô hình bài toán tổ hợp trong trường hợp tập con bị ẩn
Có một số bài toán tổ hợp trong chương trình phổ thông mà đề bài chưa cho biết ngay tập con. Học sinh phải tìm được quan hệ nội tại trong bài toán