... → U ánhxạtuyếntính Chứng minh: (a) rank(ψϕ) ≤ min{rank ψ, rank ϕ} (b) rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) (c) rank(ψϕ) ≥ rank kϕ + rank − dim W Giải a) Áp dụng câu a) cho ánhxạtuyếntính ... → U ánhxạtuyếntính ta có: dim Im ϕ + dim Ker ϕ = dim V ¯ ¯ ¯ a) Xét ánhxạ f : L → V , f = f |L , tức f (α) = f (α) với α ∈ L ¯ = f (L) = f (L), Ker f = L ∩ Ker f ¯ ¯ Ta có Im f ¯ Áp dụng ... ma trận A có vectơ riêng độc lập tuyếntính A ma trận cấp nên A không chéo hóa Trong R3 cho sở: u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 2, 1), u3 = (1, 3, 2) cho ánhxạtuyếntính f : R3 → R3 xác định bởi: f...
... 4.1 Ánhxạ tích tuyếntínhánhxạtuyếntính lại ánhxạ 4.2 Qua ánhxạtuyến tính, hệ vec-tơ phụ thuộc tuyếntính lại biến thành hệ vec-tơ phụ thuộc tuyếntính Nghĩa là: tính V hệ ánhxạtuyếntính ... nên hệ phụ thuộc Chú ý: Ánhxạtuyếntính biến hệ độc lập tuyếntính thành hệ phụ thuộc tuyếntính 5.Định lý xác định ánhxạtuyến tính: 5.1 Vídụ mở đầu: Cho ánhxạtuyếntính với: L(1,1) = (-1,1,2,3) ... Nhân (Kernel) ảnh (Image) ánhxạtuyến tính: 6.1 Định nghĩa: Cho ánhxạtuyếntính Nhân ánhxạtuyếntính f tập hợp: Ảnhánhxạtuyếntính f tập hợp: Số chiều Imf kerf tương ứng gọi hạng số khuyết...
... → U ánhxạtuyếntính Chứng minh: (a) rank(ψϕ) ≤ min{rank ψ, rank ϕ} (b) rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) (c) rank(ψϕ) ≥ rank kϕ + rank − dim W Giải a) Áp dụng câu a) cho ánhxạtuyếntính ... → U ánhxạtuyếntính ta có: dim Im ϕ + dim Ker ϕ = dim V ¯ ¯ ¯ a) Xét ánhxạ f : L → V , f = f |L , tức f (α) = f (α) với α ∈ L ¯ = f (L) = f (L), Ker f = L ∩ Ker f ¯ ¯ Ta có Im f ¯ Áp dụng ... ma trận A có vectơ riêng độc lập tuyếntính A ma trận cấp nên A không chéo hóa Trong R3 cho sở: u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 2, 1), u3 = (1, 3, 2) cho ánhxạtuyếntính f : R3 → R3 xác định bởi: f...
... d(x, y) = ||x − y||) Vídụ Trên Rn ánhxạ 1/2 n x2 k x = (x1 , , xn ) → ||x|| = k=1 chuẩn, gọi chuẩn Euclide Mêtric sinh chuẩn mêtric thông thường Rn Vídụ Trên C[a, b], ánhxạ x → ||x|| := supa≤t≤b ... = {x ∈ X : x = 1} compact Chứng minh dim X < ∞ Giải Xét ánhxạ f : K × X → X, f (λ, x) = λx Khi đó, cầu B(0, 1) ảnh tập compact qua ánhxạ f 10 ... chú: Bài giải cách tìm số M > cho inf x∈X0 a−x = inf a−x x∈X0 ∩B(θ,M ) Sau sử dụng tính compact tập X0 ∩ B(θ, M ) tính liên tục hàm x → a − x Bài Cho kgđc X A ⊂ X tập lồi Chứng minh tác tập A,...
... V Ánhxạ i : A → V 40 4.3 Một số tính chất ánhxạtuyếntính α→α ánhxạtuyếntính đơn cấu Nói riêng, A = V ta có ánhxạtuyếntính idV : V → V , tự đẳng cấu V gọi ánhxạ đồng V 4.3 Một số tính ... trường K , f : U → V g : V → W hai ánhxạtuyếntính Khi ánhxạ hợp thành g ◦ f : U → W ánhxạtuyếntính Chứng minh: Từ định nghĩa ánhxạ hợp thành ánhxạtuyếntính f g , ∀α, β ∈ U, t ∈ K , ta ... 4.2 Vídụánhxạtuyếntính 39 Định nghĩa 4.1.3 Giả sử U V hai không gian véc tơ trường K f : U → V ánhxạtuyếntính f gọi đơn cấu đơn ánh, f gọi toàn cấu toàn ánh, f gọi đẳng cấu song ánh Trong...
... ánhxạtuyếntính liên tục f: { E} { F } f I = f Chứng minh Theo Định lý 2.2.1 fI (x) {F } , = [xi, i I ] {E} x Do fI ánhxạ từ {E} vào {F } Từ tínhtuyếntính f suy fI ánhxạtuyếntính ... với (13) 24 (i) j Khi ánhxxạ = x j = i d: E {E} j i x a x(i) ánhxạtuyếntính liên tục, bảo tồn chuẩn d đẳng cấu từ E lên d(E) l { E} Chứng minh Dễ thấy d ánhxạtuyếntính Mặt khác, với x ... (ji ) = x I Do d ánhxạtuyếntính liên tục, bảo tồn chuẩn 2.2.5 Hệ Giả sử L ( l { E} , l { F } ) Khi ánhxạ T: E F đợc xác định công thức T(x): = pi d(x), x E ánhxạtuyếntính liên tục T...
... học Tự nhiên Tp.HCM) Chương Ánhxạtuyếntính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) / 26 ÁnhxạtuyếntínhVídụ Chứng minh f(x, y, z) = (2x + y, x − 2y + z) ánhxạtuyếntính từ R3 vào R2 Giải Với ... T.T Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương Ánhxạtuyếntính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 13 / 26 Nhân ảnhánhxạtuyếntínhVídụ Cho ánhxạtuyếntính f(x, y, z) = (x + y + 2z, 2x + y − 3z) ... Vậy ánhxạtuyếntính cần tìm f(x, y) = (−x + 2y, 2x, 5x − 2y) T.T Đèo (ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM) Chương Ánhxạtuyếntính (Đại số B1- Đại số tuyến tính) 11 / 26 Nhân ảnhánhxạtuyến tính...
... gian tuyếntínhánhxạtuyếntính 36 3.4 ánhxạtuyếntính 3.4.1 Các khái niệm ánhxạtuyếntính Định nghĩa 3.4.1 Cho hai không gian véctơ thực U V ánhxạ f : U V đ-ợc gọi ánhxạtuyếntính ... = Vídụ 3.4.1 Các vídụánhxạtuyếntínhánhxạ f : U V, f (x) = 0V (véctơ V ) với x U ánhxạtuyếntính (còn đ-ợc gọi ánhxạ không) ánhxạ đồng f : V V, f (x) = x từ không gian V lên V ánh ... khác ánhxạtuyếntính chuyển hệ véctơ phụ thuộc tuyếntính thành hệ phụ thuộc tuyếntính Chú ý ảnh véctơ độc lập tuyếntính (qua ánhxạtuyến tính) nói chung không độc lập tuyếntínhánhxạ tuyến...
... Vídụ Phép chiếu p : R3 −→ R2 (x1 , x2 , x3 ) −→ p(x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 ) ánhxạtuyếntính Dạng tổng quát ánhxạtuyếntính f : Rm → Rn cho tập Các tính chất ánhxạtuyếntính Cho ... nghĩa ánhxạ f : V → U , sau: f (x) = a1 β1 + + an βn Rõ ràng f ánhxạtuyếntính thỏa mãn điều kiện định lý Từ định lý này, ta thấy ánhxạtuyếntính hoàn toàn xác định biết ảnh sở, ánhxạtuyến ... gọi hạt nhân ánhxạtuyếntính f • Ký hiệu Imf = {f (x)|x ∈ V } ⊂ U Imf KGVT U , gọi ảnhánhxạtuyếntính f 5.2 Nhận xét • Để xác định hạt nhân ánhxạtuyếntính f : V → U , ta sử dụng biểu thức...
... Banach Phiếm hàm tuyếntính liên tục • Một ánhxạtuyếntính từ không gian định chuẩn X vào trường số K gọi phiếm hàm tuyếntính Định lý : Cho f : (X, ||.||) −→ K phiếm hàm tuyếntính Các mệnh đề ... Nếu A tuyếntính liên tục ||A(x)||Y ||A||.||x||X , ∀x ∈ X iii Nếu A tuyếntính tồn số dương M cho ||A(x)||Y M.||x||X , A liên tục ||A|| M ∀x ∈ X (b) Ta ký hiệu L(X, Y ) tập tất ánhxạtuyếntính ... , ||.||1 ), (Y2 , ||.||2 ) ánhxạtuyếntính liên tục Ak : X −→ Yk , k = 1, Ta xét ánhxạ Mà ta có A: X −→ Y1 × Y2 A(x) = (A1 (x), A2 (x)), x ∈ X Chứng minh A tuyến tính, liên tục : max(||A1 ||,...
... trận ánhxạtuyếntính f sở tắc −2 A= −1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNHXẠTUYẾNTÍNH TP HCM — 2013 48 / 67 Ma trận ánhxạtuyếntínhVídụVídụ Cho ánhxạtuyếntính f : R2 → R2, biết ma trận ánh ... trận ánhxạtuyếntính f sở B = {(1, 1), (1, 0)} A = MatB (f ) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNHXẠTUYẾNTÍNH TP HCM — 2013 46 / 67 Ma trận ánhxạtuyếntínhVídụVídụ Cho ánhxạtuyếntính ... TPHCM) ÁNHXẠTUYẾNTÍNH TP HCM — 2013 44 / 67 Ma trận ánhxạtuyếntínhVídụVídụ Cho ánhxạtuyếntính f : R2 → R2, biết f (x1, x2) = (2x1 + x2, x1 − x2) Tìm ma trận ánhxạtuyếntính f sở...
... Các vídụ VD1 Ánhxạ không f : V W , f (v ) W , v V ánhxạtuyếntính VD2 Ánhxạ đồng IdV : V V v IdV (v ) v toán tử tuyếntính §1: KHÁI NIỆM ÁNHXẠTUYẾNTÍNH VD3 Ánhxạ đạo ... NIỆM ÁNHXẠTUYẾNTÍNH VD5 Với A ma trận cỡ mxn bất kì, ánhxạ f : Mn p ( K ) Mm p ( K ) X AX ánhxạtuyếntính §1: KHÁI NIỆM ÁNHXẠTUYẾNTÍNH 1.2 Các phép toán a ĐL1 Cho ánhxạtuyếntính ... f g ánhxạtuyếntính §1 KHÁI NIỆM ÁNHXẠTUYẾNTÍNH 1.3 Đơn cấu - toàn cấu - đẳng cấu a.Định nghĩa Ánhxạtuyếntính f:V→W gọi đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) f đơn ánh (toàn ánh, song ánh) ...
... Chương ÁNHXẠTUYẾNTÍNH Định nghĩa Nhân ảnhánhxạtuyếntính Ma trận biểu diễn ánhxạtuyếntính Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánhxạtuyếntính 25/05/2010 / 31 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Ánhxạ ... Chương Ánhxạtuyếntính 25/05/2010 13 / 31 Nhân ảnhánhxạtuyếntính Nhân ảnhánhxạtuyếntính 1.1 Không gian nhân 1.2 Không gian ảnh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánhxạtuyếntính 25/05/2010 ... = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 11 −3 −6 −4 Chương Ánhxạtuyếntính 25/05/2010 21 / 31 Ma trận biểu diễn ánhxạtuyếntínhVídụ Cho ánhxạtuyếntính f : R4 → R3 định f (x, y, z, t) = (x − 2y...
... a Không gian ánhxạtuyếntính L(E,F) Với E F hai không gian tuyếntính trờng K, gọi tập ánhxạtuyếntính từ E vào F là:L(E,F) Hệ Với phép toán (f+g) (f), L(E,F) không gian tuyếntính trờng K ... sở Im(f) hệ độc lập tuyếntính cực đại {f(e1),f(e2), ,f(en )} hay hệ ứng với cột sở A Hạng r(f)=dim(Im(f))=r(A) 185 Nhân ánhxạtuyếntính Định nghĩa 5.5: Nhân ánhxạtuyếntính f: EF: Ker f={ ... định ánhxạ f(x)=Ax mà A ma trận f Hệ : Nếu A B tơng ứng ma trận ánhxạ f g đó: Ma trận f+g A+B Ma trận t.f t.A Ma trận gof B.A B Bài tập Trên R,R2,R3 Các ánhxạ sau có phải ánhxạtuyến tính...
... tỏ ánhxạtuyếntính chuyển hệ véc tơ phụ thuộc tuyếntính thành hệ véc tơ phụ thuộc tuyếntính Nếu ánhxạtuyếntính đơn ánh gọi đơn cấu Nếu ánhxạtuyếntính toàn ánh gọi toàn cấu Nếu ánhxạ ... Các tính chất ánhxạtuyếntính - Hạt nhân ảnh 6.2.1 Các tính chất ánhxạtuyếntính Định lí 6.2: Cho V W hai không gian véc tơ Nếu f: V → W ánhxạtuyếntính a f(θ) = θ 80 Bài 6: Ánhxạtuyếntính ... f ánhxạtuyếntính 6.1.2 Các phép toán ánhxạtuyếntính • Giả sử V W hai không gian véc tơ f: V → W g: V → W hai ánhxạtuyếntính từ V tới W o Ta định nghĩa tổng f + g hai ánhxạtuyến tính...
... 1anh xạ giá trị không: gọi ánhxạ không ánhxạtuyếntính 2Ánh xạ đồng , phép biến đổi tuyếntính V gọi phép biến đổi đồng (hay toán tử đồng nhất) V Phép lấy đạo hàm phép biến đổi tuyếntính ... , x2 ) = λ f(x) Vậy f ánhxạtuyếntính Cho ánhxatuyếntính sau: a f: V-> R ,f(v1) = , f(v2) = -3 tính f ( 5v1+ 9v2 ) b f: V-> R f( x+ 2) =1, f(1) = f ( x2 + x) =0 Tính f ( 2-x+3x2 ) Giải ... định: ánhxạtuyếntính từ không gian C[a,b] hàm số thực liên tục [a,b] đến không gian R 5: Cho điểm tính Nghĩa là: Phép lấy đối xứng qua trục Oy phép biến đổi tuyến phép biến đổi tuyến tính...
... Các vídụ VD1 Ánhxạ không f : V W , f (v ) W , v V ánhxạtuyếntính VD2 Ánhxạ đồng IdV : V V v IdV (v ) v toán tử tuyếntính §1: KHÁI NIỆM ÁNHXẠTUYẾNTÍNH VD3 Ánhxạ đạo ... NIỆM ÁNHXẠTUYẾNTÍNH VD5 Với A ma trận cỡ mxn bất kì, ánhxạ f : Mn p ( K ) Mm p ( K ) X AX ánhxạtuyếntính §1: KHÁI NIỆM ÁNHXẠTUYẾNTÍNH 1.2 Các phép toán a ĐL1 Cho ánhxạtuyếntính ... f g ánhxạtuyếntính §1 KHÁI NIỆM ÁNHXẠTUYẾNTÍNH 1.3 Đơn cấu - toàn cấu - đẳng cấu a.Định nghĩa Ánhxạtuyếntính f:V→W gọi đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) f đơn ánh (toàn ánh, song ánh) ...
... HẠT NHÂN CỦA ÁNHXẠTUYẾNTÍNH a Ảnhánhxạtuyếntính Cho ánhxạtuyếntính f Hom( E , F ) Tập hợp f ( E ) { f ( x) / x E} gọi ảnhánhxạtuyếntính f Ký hiệu: Im f Thí dụ: Im {0} ... chiều Im f gọi hạng f Ký hiệu rank( f ) Tóm lại: rank( f ) dim Im f b Hạt nhân ánhxạtuyếntính Cho ánhxạtuyếntính f Hom( E , F ) ... i f (ai ) i 1 Vậy f (a1 ), , f (an ) họ sinh Im f NHẬN XÉT: f toàn ánh Im f F Thí dụ: Cho phép biến đổi tuyếntính f : 3 3 ( x, y , z ) ( x y , y z , x y z ) Tìm sở...