Ánh xạ tuyến tính

Ánh xạ tuyến tính, môn Đại số tuyến tính, trường đại học Bách Khoa Hà Nội

CHƯƠNG 4 11/4/2012 1THS. NGUYỄN HẢI SƠN - ĐHBK  §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa. a.Định nghĩa. Cho V và W là 2 KGVT trên trường K. Ánh xạ f :V→W là một ánh xạ tuyến tính nếu thỏa mãn 2 tính chất: (i ) f (u v) f (u) f (v) (ii ) f (ku) kf (u)     với     u,v V, k K + Ánh xạ tuyến tính f :V→V gọi là toán tử tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính trên V.  §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH b. Các ví dụ. VD1. Ánh xạ không là ánh xạ tuyến tính. VD2. Ánh xạ đồng nhất NX: Ta có thể gộp (i) và (ii) thành (iii ) f (ku lv) kf (u) lf (v)        u,v V , k ,l K với W W f : V , f (v ) , v V        V V Id : V V v Id (v) v  là một toán tử tuyến tính.  §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VD3. Ánh xạ đạo hàm là ánh xạ tuyến tính.    [x] [x] p n n D : P P D( p) p' 1  Thật vậy, với ta có ( . . ) ( . . )' . ' . ' ( ) ( ) D k f l g k f l g k f l g kD f lD g        , [x], k,l n f g P      §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VD4. Ánh xạ là ánh xạ tuyến tính.     f : f (x ,x ,x ) (x x ,x x ) 3 2 1 2 3 1 2 2 3 2    §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Thật vậy, với ta có 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 ( ) ( , , ) (( ) 2( ),( ) ( )) (( 2 ) ( 2 ),( ) ( )) ( 2 , ) ( 2 , ) ( ) ( ) f x y f x y x y x y x y x y x y x y x x y y x x y y x x x x y y y y f x f y                            3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , ) ,x x x x y y y y k        1 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 ( ) ( , , ) ( 2 , ) ( ( 2 ), ( )) ( 2 , ) ( ) f kx f kx kx kx kx kx kx kx k x x k x x k x x x x kf x             §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VD5. Với A là một ma trận cỡ mxn bất kì, ánh xạ là ánh xạ tuyến tính.    AX n p m p f : M (K ) M ( K ) X   1.2. Các phép toán a. ĐL1. Cho các ánh xạ tuyến tính f,g: V→W. Khi đó, các ánh xạ ψ,φ: V→W xác định bởi ψ(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x), φ(x)=(kf)(x)=k.f(x) , k∈K,x∈V. cũng là ánh xạ tuyến tính. b. ĐL2. Cho các ánh xạ tuyến tính giữa các K-kgvt f: V→W, g: W→U. Khi đó, các ánh xạ h:V→U, h(x)=g(f(x)) hợp thành của f và g cũng là ánh xạ tuyến tính. §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  §1. KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.3 Đơn cấu - toàn cấu - đẳng cấu. a.Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tính f:V→W gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh). Trường hợp f là đẳng cấu, ta nói V và W là đẳng cấu với nhau, kí hiệu: b. Định lý. Mọi không gian vectơ n chiều trên trường K đều đẳng cấu với K n . V W   §1. Ánh xạ tuyến tính 1.4 Hạt nhân-Ảnh-Hạng của ánh xạ tuyến tính. Đn1. Cho ánh xạ tuyến tính f:V→W giữa các không gian vectơ. - Hạt nhân của f , kí hiệu là Ker(f) xác định bởi - Ảnh của f, kí hiệu Im(f) xác định bởi 1 W W Ker(f)={v V|f(v)= }=f ({ })     Im(f)={f(u)|u V}=f(V)  [...]... khi số chiều của chúng bằng nhau  §1: Ánh xạ tuyến tính f VD 1 Cho ánh xạ tuyến tính :  3   3 xác định bởi f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  2 x2 , x2  x3 , x1  x2  x3 ) a) Chứng minh f là toán tử tuyến tính b) Tìm số chiều và một cơ sở của Im(f ) và Ker(f )  §2: MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH §2: MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  2.1 Định nghĩa Cho ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vec tơ hữu hạn... của ánh xạ tuyến tính Nhận xét Cho BV và BW tương ứng là cơ sở của các kgvt V và W, dim V=n, dimW=m Khi đó, ta có tương ứng 1-1 giữa mỗi ánh xạ tuyến tính f: V →W với tập các ma trận cỡ mxn  §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính 2.1.3 Ma trận của ánh xạ tổng và ánh xạ tích ĐL1: Nếu f, g: V →W là các ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với cặp cơ sở BV và BW lần lượt là A và B thì ma trận của các ánh xạ f+g... §1: Ánh xạ tuyến tính Mđ 1 Ker(f) là không gian con của V Im(f) là không gian con của W c/m:… Đn2: Hạng của ánh xạ tuyến tính f, kí hiệu r(f) hay rank(f), là số chiều của Im(f) r(f) = dimIm(f) Mđ 2 Nếu f: V → W là ánh xạ tuyến tính và V=span(S) thì f(V)=span(f(S)) c/m: …  §1: Ánh xạ tuyến tính Mđ 3 Axtt f: V→W là đơn cấu khi và chỉ khi Ker(f)={θ} c/m:… Mđ 4 Nếu f: V → W là ánh xạ tuyến tính và... ma trận của ánh xạ D:P3[x] →P2[x], D(p)=p’ đối với cặp cơ sở chính tắc E={1, x, x2, x3} và E’={1, x , x2}  §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính VD 3 Cho ánh xạ tuyến tính f : P3 [x]  P2 [x] có ma trận đối với cặp cơ sở chính tắc là 1 3 4 5 A  2 4 0 1    3 5 1 2   a) Xác định f (a  bx  cx 2  dx 3 ) b) Xác định cơ sở và số chiều của Im(f) và Kerf  §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính 2.2 Công... thức tọa độ Cho f: V →W là ánh xạ tuyến tính có ma trận A đối với cặp cơ sở BV và BW Khi đó, với mọi vecto u  V , ta có [f (u )]BW  A[u ]BV VD1 Cho ánh xạ tuyến tính f :  3  P2 [x] Xác định f(v) với v=(1;2;3) biết f có ma trận đối với cặp cơ sở chính tắc là 1 0 1 A  2 1  3 2  2  1   §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính VD2 (Đề 1_ Hè 2009) Cho toán tử tuyến tính f :  3   3 thỏa mãn:... trận tọa độ của vectơ f(vj) đối với cơ sở BW gọi là ma trận của ánh xạ f đối với cặp cơ sở BV và BW: A  [f(v1 )]BW  [f(v2 )]BW [f(v m )]BW    §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính NX: i) A là ma trận cỡ nxm ii) [ u1 u2 un ]A=[ f (v1 ) f (v2 ) f (vm )] MĐ 1 r(A)=r(f)=dimIm(f)  §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính VD1 Cho ánh xạ tuyến tính f :  3   2 xđ bởi f (x1 , x2 , x3 )  (x1  2 x2 ,x2  x3... BW tương ứng là: A+B và λA ĐL2 Nếu f: V →W , g: W →U là các ánh xạ tuyến tính, f có ma trận A đối với cặp cơ sở BV và BW và g có ma trận B đối với cặp cơ sở BW và BU thì ma trận của các ánh xạ gof đối với cặp cơ sở BV và BU là BA  §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính 2.4 Ma trận của toán tử tuyến tính theo một cơ sở 2.4.1 Đ/n Cho toán tử tuyến tính f: V→V trên không gian n chiều V và B là một cơ sở của... f (vn )]  [v1 v2  vn ] A  §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính 2.4.2 Mệnh đề Cho f là một toán tử tuyến tính trên không gian véc tơ V α={v1,v2,…,vn} và α’={u1,u2,…,un} là 2 cơ sở của V G/s mtr chuyển cơ sở từ α sang α’ là C, mtr của f đối với cơ sở α và α’ lần lượt là A và B Khi đó B=C-1AC C/m:…  §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính VD1 Cho toán tử tuyến tính f :  3   3 xđ bởi f (x1 , x2 , x3 ) ... 1;1;0  , 1;1;1} VD2 Cho toán tử tuyến tính f :    có ma trận A đối với cơ sở B  {1;1;1 , 1;1;2  , 1;2;3} 3 Tính f(6;9;14) biết  1 0 1 A   1 1 2    2 2 1   3  §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính 2.4.3 Đ/n Hai ma trận A và B gọi là đồng dạng, kí hiệu là A~B, nếu tồn tại ma trận khả nghịch C sao cho B=C-1AC NX: (i) Các ma trận của một toán tử tyến tính f trên không gian vectơ V theo... MỘT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH  §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG 3.1 Trị riêng và vectơ riêng 3.1.1 Đ/n1 Cho f là một toán tử tuyến tính trên kgvt V Không gian con V’  V được gọi là kg con bất biến đối với toán tử f nếu f(V’)  V’ VD1 Với một toán tử tuyến tính bất kì f trên kgvt V bao giờ cũng có hai kg con bất biến là V và {θ}  §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG 3.1.2 Đ/n2 Cho f là một toán tử tuyến tính trên kgvt