Định nghĩa: Cho hai không gian vectơ E, F trên K.. Đặc biệt, một ánh xạ tuyến tính từ E đến E được gọi là phép biến đổi tuyến tính của E.. Một ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là
Trang 1C V ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1 ĐỊNH NGHĨA:
a Định nghĩa:
Cho hai không gian vectơ E, F trên K
Một ánh xạ :f E được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu F
có các tính chất sau:
i x x, E f x x( ) f x( ) f x( )
ii x E K f(x) f x( )
Ánh xạ tuyến tính còn được gọi là đồng cấu không gian
vectơ
Tập hợp tất cả ánh xạ tuyến tính từ E đến F được ký hiệu
là Hom E F( , )hay L ( , )E F
Đặc biệt, một ánh xạ tuyến tính từ E đến E được gọi là
phép biến đổi tuyến tính của E
Ta ghi Hom E( ) thay cho Hom E E( , )
Một ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu
Một ánh xạ tuyến tính toàn ánh được gọi là toàn cấu
Một ánh xạ tuyến tính song ánh được gọi là đẳng cấu
b Thí dụ:
Td1: Ánh xạ đồng nhất Id E : E là 1 phép biến E
đổi tuyến tính của E
Td2: Ánh xạ không
0 :
0F
x
Td3: Ánh xạ
|
:
g
là một phép biến đổi tuyến tính của 3
Trang 2Vì:
u ( , ),x y v ( , )x y 2 (g u v ) g x y[( , ) ( , )] x y g x x y y[( , )]
= ( x x ) ( y y ), 2(x x ), (x x ) 3( y y )
( x y x x ,2 , 3 ) (y x y,2 ,x x 3 )y
g u( ) g v( )
u ( , )x y 2 (g u ) g[( x, y)] ( xy,2 x, x3y) (x y x x ,2 , 3 )y g u( )
2 TÍNH CHẤT
a Mệnh đề 1:
Cho f Hom E F( , ), khi đó:
i) (0) 0 f vì ( ) f O f O(0 ) 0 ( ) f O ) O ii) ( f x) f x( )
iii)
1 1
b Mệnh đề 2:
Cho f Hom E F( , )
Nếu f là 1 đẳng cấu thì f 1 cũng là đẳng cấu (từ F vào E)
c Mệnh đề 3:
Cho hai không gian vectơ E, F trên K
Giả sử a1, ,a là 1 cơ sở của E, và n b1, ,b là n vectơ nào n
đó của F
Khi đó, có một ánh xạ tuyến tính duy nhất f từ E vào F thỏa
( )
1, ,
Trang 3Chứng minh:
1
n
i i i
đặt
1
( ) n i i
i
Dễ thấy f Hom E F( , )
Nếu có g Hom E F ( , ) thỏa
( ) 1, ,
1
,
n
i i i
Vậy g f
d Mệnh đề 4:
Nếu f Hom E F( , )và g Hom F G ( , ) thì g f Hom E G( , )
Thí dụ:
Trong không gian vectơ , cho các vectơ 3
(1,1,0), (1,0, 1), (0,1,2)
(1, 1,0), ( 1,0,0)
a) Chứng minh a,b,c là cơ sở của 3
b) Gọi f là phép biến đổi tuyến tính của 3
mà ( ) f a v f b, ( ) u v f c, ( ) u Tính ( , , ) f x y z
Bài làm:
a) ta có
nên a, b, c độc lập tuyến tính
Mà dim3 3, nên a, b, c là cơ sở của 3
Trang 4
b)
u ( , , )x y z 3
u ( x 2y z a ) (2x2y z b ) (x y z c )
nên
( , , )f x y z f (( x 2y z a ) (2x2y z b ) (x y z c ) ) ( x 2y z ) f(a)(2x2y z )f ( )b (x y z) f c( ) ( x 2y z v ) (2x2y z u v )[ ] (x y z u )
(2 x3y2 , 3z x 3y3 ,0)z
3 ẢNH VÀ HẠT NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
a Ảnh của ánh xạ tuyến tính
Cho ánh xạ tuyến tính f Hom E F( , )
Tập hợp ( ) { ( ) /f E f x x E } được gọi là ảnh của ánh xạ
tuyến tính f
Ký hiệu: Im f
Thí dụ: Im0 {0} 0 , ImId E E
Mệnh đề 5:
Im f là một không gian con của F
Mệnh đề 6:
Cho f Hom E F( , ) Nếu a1, ,a là một họ sinh của E thì n f a( ), , ( )1 f a là một n
họ sinh của Im f
Chứng minh:
Hiển nhiên f a( ), , ( ) Im1 f a n f
Ngoài ra, y Im f x E y f x( )
Vì x E nên
1
n
i i i
, suy ra
1
( ) n i ( )i
i
Vậy f a( ), , ( )1 f a n là một họ sinh của Im f
Trang 5NHẬN XÉT:
f toàn ánh Im f F
Thí dụ:
Cho phép biến đổi tuyến tính
f : 3 3
( , , ) x y z (x2 ,y y z x y z , )
Tìm một cơ sở của Im f
Giải:
Vì cơ sở tự nhiên
e1 (1,0,0), e2 (0,1,0), e3 (0,0,1)
là 1 họ sinh của nên 3
f e( ) (1,0,1), ( ) ( 2,1, 1), ( ) (0,1,1)1 f e2 f e3
là một họ sinh của Im f
Do đó, một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của
( ) (1,0,1), ( ) ( 2,1, 1), ( ) (0,1,1)
Im f
Ta có:
1 2 3
f e
f e
f e
,
suy ra một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của
1 2 3
( ), ( ), ( )
f e f e f e là f e( ), ( )1 f e2
Đây là 1 cơ sở của Im f
HẠNG CỦA AXTT:
Cho f Hom E F( , )
Số chiều của Im f được gọi là hạng của f
Ký hiệu rank( )f Tóm lại: rank( ) dim Imf f
b Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính
Cho ánh xạ tuyến tính f Hom E F( , )