Như thế hợp của hai ánh xạ là một ánh xạ tuyến tính... Tính chất:Cho là ánh xạ tuyến tính V, W là hai không gian vec-tơ trên trường số K.. và gọi là ánh xạ không.. trên V và gọi là phép
Trang 1NỘI DUNG
1 Định nghĩa :
Cho V và W là hai không gian vec-tơ Ánh xạ f: V-> W gọi là 1 ánh xạ tuyến tính
nếu f thỏa mãn hai tính chất sau đây:
(L1): f(u + v ) = f(u) + f(v), mọi u,v thuộc V (tính bảo toàn phép cộng)
(L2): f(λu) = λf(u), mọi λ thuộc R , mọi u thuộc V (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng)
- Nhận xét : Từ hai điều kiện trên, dễ dàng nhận thấy rằng:
f : V -.> W là ánh xạ tuyến tính:
f ( λ1u1 + λ2u2) = λ1f(u1) + λ2f(u2) , λ1, λ2 thuộc R , u1 , u2 Є V
2 Các phép toán về ánh xạ tuyến tính:
Cho f : V-> W và g: V-> W là hai ánh xạ tuyến tính:
a Tổng của hai ánh xạ tuyến tính:
mọi u Є V , ( f + g )( u ) = f ( u ) + g ( u ) Є W
b Tích của ánh xạ f và số thực λ , kí hiệu là λf , là ánh xạ xác định bởi :
mọi u Є V , ( λf ) (u) = λf (u) Є W
c Gỉa sữ V, W, U là ba không gian veto f: V->W và g: W-> V, là hai ạnh xạ tuyến tính Khi đó , ánh xạ hợp dược xác định bởi:
mọi u Є V , ( g0 f ) (u) = g ( f(u) ) Є U
là một ánh xạ từ V tới U Như thế hợp của hai ánh xạ là một ánh xạ tuyến tính
Trang 2
3 Tính chất:
Cho là ánh xạ tuyến tính V, W là hai không gian vec-tơ trên trường số
K Khi đó:
1
2
Chứng minh:
1 Ta có:
Do đó, từ (*), (**) ta có: f(0 V ) = 0w
2 Ta có:
4 Các ví dụ áp dụng:
và gọi là ánh xạ không.
trên V và gọi là phép biến đổi đồng nhất (hay toán tử đồng nhất) trên V.
trên không gian R[x] các đa thức thực một biến x
4.hép lấy tích phân xác định:
là một ánh xạ tuyến tính từ không gian C[a,b] các hàm số thực liên tục trên [a,b] đến không gian R
tính Nghĩa là: là một phép biến đổi tuyến tính
Trang 36 Các ánh xạ sau co phải ánh xạ tuyến tính không?
a f: R3 -> R3
f ( x1, x2 , x3 ) = (x1 – x3 , x2 , 5)
b.f : R3 -> R3
f ( x1 , x2 , x3 ) = (x2 – x3 , x1 , x2 )
Giải:
a x = ( x1 , x2 , x3 ) Є R3
y = ( y1 y2, y3) Є R3
x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 )
f ( x +y) = ( x1+ y1– x3 –y3 , x2+ y2 , 5)
f ( x) = f ( x1, x2, x3) = ( x1 – x3 , x2 , 5 )
f ( y ) = f ( y1, y2, y3) = ( y1-y3, y2, 5)
vậy f ( x+y ) khác f(x) + f(y) mọi x y Є R3
Vậy f không phải là ánh xạ tuyến tính
b * x= ( x1,x2, x3) Є R3
y = (y1, y2 ,y3 ) Є R3
x + y = ( x1 + y1, x2 + y2 , x3 +y3 )
f (x+y) = (x2 + y2 – x3 – y3 , x1 + y1, x2 + y2 ) f(x) = f ( x1, x2, x3) = ( x2 – y3, x1 , x2 )
f (y) = f ( y1, y2,y3 ) = ( y2 – y3, y1, y2 )
Như vậy f ( x + y ) = f(x) + f(y) mọi x,y Є R3
Trang 4• λx = (λx1, λx2 , λx3 )
f ( λx) = ( λx2 – λx3 , λx1 , λx2 )
= λ ( x2 – x3 , x1 , x2 )
= λ f(x)
Vậy f là một ánh xạ tuyến tính
7 Cho ánh xa tuyến tính sau:
a f: V-> R ,f(v1) = 2 , f(v2) = -3
tính f ( 5v1+ 9v2 )
b f: V-> R f( x+ 2) =1, f(1) = 5
f ( x2 + x) =0
Tính f ( 2-x+3x2 )
Giải
a f(5v1 + 9v2) = f (5v1 ) + f(9v2)
= 5f (v1) + 9f(v2)
= 5 2 + 9 (-3) = -17
b f (1) = 5 => f(2) = 2f(1) = 2.5= 10
f( x+2) = 1 => f(x) + f(2) = 1 => f(x) = -9 f(x2 + x) =0 => f(x2) + f(x) =0
f(x2) = 9 f( 2-x+3x2 ) = 10 + 9 +27 = 46