Chương 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH (TT) 5.3 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 5.3.1. Mệnh đề: Cho f L(V, W). Khi đó: i) Ký hiệu Im(f) = f(V) = không gian ảnh của ánh xạ tuyến tính f = ảnh của toàn bộ V qua ánh xạ tuyến tính f ii) Nếu a là một cơ sở của V thì f(a) là một tập sinh của Im(f) = f(V). Từ tập sinh f(a) của Im(f), ta sẽ tìm ra một cơ sở của Im(f). iii) Chọn K = { } W thì f-1(K) V Ký hiệu ker(f) = f-1 ( W) ={ V /f( ) = W } Muốn tìm cơ sở cho ker(f) ta chỉ cần tìm cơ sở cho không gian lời giải (không gian nghiệm) của hệ phương trình tuyến tính f(x) = . Ví dụ: f : R4 R4 (u, v, w, t) (u + 2v + 4w – 7t, -3u – 2v + 5t, 2u + v – w – 2t, 3u + v – 3w – t) Tìm cơ sở cho Im(f) Chọn một cơ sở a tùy ý của R4, chẳng hạn: ta chọn cơ sở chính tắc như sau: f( 1) = f(1, 0, 0, 0) = ( 1, -3, 2, 3) f( 2 ) = f(0, 1, 0, 0) = (2, -2, 1, 1) f( 3) = f(0, 0, 1, 0) = (4, 0, -1, -3) f( 4) = f(0, 0, 0, 1) = (-7, 5, -2, -1) Ta sẽ đi tìm cơ sở từ một tập sinh: Lập ma trận: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận về dạng bậc thang Im(f) có một cơ sở là D = { 1 = (1, -3, 2, 3), 2 = (0, 4, -3, 5)} => dimIm(f) = 2 · Tìm một cơ sở cho không gian Ker(f) Ker(f) = Giải hệ phương trình f( ) = 0 với = (u, v, w, t) nghiệm w, t R tùy ý, u = 2w – t, v = 4t – 3w Cho w = 1, t = 0 ta có 1 = (2, -3, 1, 0) Cho w = 0, t = 1 ta có 2 = (-1, 4, 0, 1) Vậy Ker(f) có cơ sở là C = { 1 = (2, -3, 1, 0), 2 = (-1, 4, 0, 1)} => dimIm(f) = 2 5.3.2. Mệnh đề: f đơn ánh nếu và chỉ nếu ker(f) = 0. 5.3.3. Định lý: Khi V = Vn thì dim V = dimIm(f) + dimKer(f) = n 5.4 Toán tử tuyến tính Một ánh xạ tuyến tính từ V vào chính nó được gọi là một tóan tử tuyến tính (hay một phép biến đổi tuyến tính, hay một tự đồng cấu tuyến tính) trên V. Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính trên V được ký hiệu là L(V). . Chương 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH (TT) 5.3 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 5.3.1. Mệnh đề: Cho f L(V, W). Khi đó: i) Ký hiệu Im(f) = f(V) = không gian ảnh của ánh xạ tuyến tính f =. đơn ánh nếu và chỉ nếu ker(f) = 0. 5.3.3. Định lý: Khi V = Vn thì dim V = dimIm(f) + dimKer(f) = n 5.4 Toán tử tuyến tính Một ánh xạ tuyến tính từ V vào chính nó được gọi là một tóan tử tuyến. chính nó được gọi là một tóan tử tuyến tính (hay một phép biến đổi tuyến tính, hay một tự đồng cấu tuyến tính) trên V. Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính trên V được ký hiệu là L(V).