Bài giảng ánh xạ tuyến tính

Bài giảng: ánh xạ tuyến tính Giảng viên: Phan Đức Tuấn Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng Đà Nẵng, 09/11/2009 Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Định nghĩa Cho U, V không gian vector trường K Ánh xạ T : U → V gọi ánh xạ tuyến tính nếu: i T (u + v ) = T (u) + T (v ), ∀u, v ∈ U ii T (ku) = kT (u), ∀k ∈ K , ∀u ∈ U Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Chú ý Hai điều kiện i,ii thay điều kiện: T (au + bv ) = aT (u) + bT (v ), ∀a, b ∈ K , ∀u, v ∈ U Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Chú ý Hai điều kiện i,ii thay điều kiện: T (au + bv ) = aT (u) + bT (v ), ∀a, b ∈ K , ∀u, v ∈ U Trong trường hợp U = V ánh xạ tuyến tính gọi phép biến đổi tuyến tính Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Chú ý Hai điều kiện i,ii thay điều kiện: T (au + bv ) = aT (u) + bT (v ), ∀a, b ∈ K , ∀u, v ∈ U Trong trường hợp U = V ánh xạ tuyến tính gọi phép biến đổi tuyến tính Để đơn giản ta viết T(u)=Tu Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Ví dụ Cho T : R → R xác định Tx = ax, với a số cho trước ánh xạ tuyến tính Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Ví dụ Cho T : R → R xác định Tx = ax, với a số cho trước ánh xạ tuyến tính Thật vậy: Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Ví dụ Cho T : R → R xác định Tx = ax, với a số cho trước ánh xạ tuyến tính Thật vậy: T (x + y ) = a(x + y ) = ax + ay = Tx + Ty Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Ví dụ Cho T : R → R xác định Tx = ax, với a số cho trước ánh xạ tuyến tính Thật vậy: T (x + y ) = a(x + y ) = ax + ay = Tx + Ty T (kx) = a(kx) = k(ax) = kTx Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Ví dụ Cho T : P2[t] → P1[t] xác định Tp(t) = p (t), ánh xạ tuyến tính Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Hay ImT = (1, 0, 1); (2, 1, 1); (−1, 1, −2) Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 13 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Hay ImT Ta có  2 −1 = (1, 0, 1); (2, 1, 1); (−1, 1, −2)      1 1 1  → 0 −1 → 0 −1 −2 −1 0 Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 13 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Hay ImT Ta có  2 −1 = (1, 0, 1); (2, 1, 1); (−1, 1, −2)      1 1 1  → 0 −1 → 0 −1 −2 −1 0 Vậy ImT có sở {(1, 0, 1); (0, 1, −1)} suy dim(ImT )=2 Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 13 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính T : R3 → R3, Tu = T (x, y , z) = (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z) Xác định sở, số chiều ImT , KerT Tìm KerT : Ta có T (x, y , z) = θ = (0, 0, 0) tương đương    x + 2y − z = (∗) y +z =0   x + y − 2z = Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 14 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Ta có ma trận hệ    −1  1  → 0 1 −2 Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) phương trình là:    −1 −1 1  → 0 1  −1 −1 0 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 15 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Ta có ma trận hệ    −1  1  → 0 1 −2 phương trình là:    −1 −1 1  → 0 1  −1 −1 0 Nghiệm tổng quát hệ (*) (3m, −m, m) = m(3, −1, 1) Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 15 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Ta có ma trận hệ    −1  1  → 0 1 −2 phương trình là:    −1 −1 1  → 0 1  −1 −1 0 Nghiệm tổng quát hệ (*) (3m, −m, m) = m(3, −1, 1) Vậy KerT có sở {(3, −1, 1)} suy dim(KerT )=1 Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 15 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Bài tập Tìm sở, số chiều ImT , KerT với: T : R3 → R3, Tu = T (x, y , z) = (x + y + z, x + y + z, x + y + z) T : P2[t] → P1[t], Tp(t) = p (t) Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 16 / 22 Bài 2: Ma trận ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho T : U → V ánh tuyến tính E = {e1, e2, , en } sở U, F = {f1, f2, , fm } sở V Ta có: V Te1 = a11f1 + a21f2 + · · · + am1fm V Te2 = a12f1 + a22f2 + · · · + am2fm V Ten = a1n f1 + a2n f2 + · · · + amn fm Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 17 / 22 Bài 2: Ma trận ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Khi đó: ma trận A = [aij ]mn gọi ma trận ánh xạ T sở E , F ký hiệu: AT /EF Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 18 / 22 Bài 2: Ma trận ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Khi đó: ma trận A = [aij ]mn gọi ma trận ánh xạ T sở E , F ký hiệu: AT /EF Chú ý Ma trận AT /EF , có cột thứ j (Tej )/F Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 18 / 22 Bài 2: Ma trận ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính T : R2 → R3 xác định bởi: T (x, y ) = (x + 2y , 3x − y , 5x + 6y ) a Tìm ma trận T hai sở tắc E , F R2, R3 b Tìm ma trận T hai sở E = {e1 = (2, 3); e2 = (−1, 4)} sở tắc F Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 19 / 22 Bài 2: Ma trận ánh xạ tuyến tính Giải: a Ta có: Te1 = T (1, 0) = (1, 3, 5) = (1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1) Te2 = T (0, 1) = (2, −1, 6) = 2(1, 0, 0) − (0, 1, 0) + 6(0, 0, 1) Suy (Te1)/F = (1, 3, 5); (Te2)/F = (2, −1, 6) nên   AT /EF = 3 −1 Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 20 / 22 Bài 2: Ma trận ánh xạ tuyến tính b Ta có: Te1 = T (2, 3) = (8, 3, 28) = 8(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 28(0, 0, 1) Te2 = T (−1, 4) = (7, −7, 19) = 7(1, 0, 0) − 7(0, 1, 0) + 19(0, 0, 1) Suy (Te1)/F = (8, 3, 28); (Te2)/F = (7, −7, 19) nên   AT /EF =  −7 28 19 Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 21 / 22 Bài 2: Ma trận ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính T : R3 → R2 xác định bởi: T (x, y , z) = (3x + 2y − 4z, x − 5y + 3z) a Tìm ma trận T hai sở E = {e1 = (1, 0, 1); e2 = (1, 1, 0); e3 = (0, 1, 1)} cở sở tắc b Tìm ma trận T hai sở E = {e1 = (1, 1, 1); e2 = (1, 1, 0); e3 = (1, 0, 0)} F = {f1 = (1, 3); f2 = (2, 5)} Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 22 / 22 [...]... Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 8 / 22 Bài 1: Định nghĩa và tính chất Bài tập Các ánh xạ sau có là ánh xạ tuyến tính không? vì sao? T : R2 → R xác định bởi Tu = T (x, y ) = 2x + 5y Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 8 / 22 Bài 1: Định nghĩa và tính chất Bài tập Các ánh xạ sau có là ánh xạ tuyến tính không? vì sao? T : R2 → R xác... V là ánh xạ tuyến tính {Tu : u ∈ U} = ImT gọi là ảnh của T {u ∈ U : Tu = θV } = KerT gọi là nhân của T dim(ImT ) gọi là hạng của ánh xạ tuyến tính T Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 9 / 22 Bài 1: Định nghĩa và tính chất Tính chất i T θU → θV Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 10 / 22 Bài 1: Định nghĩa và tính chất Tính. .. là ánh xạ tuyến tính {Tu : u ∈ U} = ImT gọi là ảnh của T Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 9 / 22 Bài 1: Định nghĩa và tính chất Định nghĩa Cho T : U → V là ánh xạ tuyến tính {Tu : u ∈ U} = ImT gọi là ảnh của T {u ∈ U : Tu = θV } = KerT gọi là nhân của T Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 9 / 22 Bài 1: Định nghĩa và tính. .. (x, y ) = (x + 3y , 2x − y ), là ánh xạ tuyến tính Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 6 / 22 Bài 1: Định nghĩa và tính chất Ví dụ 3 Cho T : R2 → R2 xác định bởi Tu = T (x, y ) = (x + 3y , 2x − y ), là ánh xạ tuyến tính Thật vậy: Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 6 / 22 Bài 1: Định nghĩa và tính chất Ví dụ 3 Cho T : R2 → R2... Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 8 / 22 Bài 1: Định nghĩa và tính chất Bài tập Các ánh xạ sau có là ánh xạ tuyến tính không? vì sao? T : R2 → R xác định bởi Tu = T (x, y ) = 2x + 5y T : R2 → R2 xác định bởi Tu = T (x, y ) = (x 2, y − x) T : R → R2 xác định bởi Tx = (x, 3x) Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 8 / 22 Bài 1: Định nghĩa và tính chất... và tính chất Ví dụ 3 Cho T : R2 → R2 xác định bởi Tu = T (x, y ) = (x + 3y , 2x − y ), là ánh xạ tuyến tính Thật vậy: T (ku) = T (kx, ky ) = (kx + 3ky , 2kx − ky ) = k(x + 3y , 2x − y ) = kTu Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 7 / 22 Bài 1: Định nghĩa và tính chất Bài tập Các ánh xạ sau có là ánh xạ tuyến tính không? vì sao? Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH. .. ), là ánh xạ tuyến tính Thật vậy: T (ku) = T (kx, ky ) Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 7 / 22 Bài 1: Định nghĩa và tính chất Ví dụ 3 Cho T : R2 → R2 xác định bởi Tu = T (x, y ) = (x + 3y , 2x − y ), là ánh xạ tuyến tính Thật vậy: T (ku) = T (kx, ky ) = (kx + 3ky , 2kx − ky ) Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 7 / 22 Bài. .. (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 5 / 22 Bài 1: Định nghĩa và tính chất Ví dụ 2 Cho T : P2[t] → P1[t] xác định bởi Tp(t) = p (t), là ánh xạ tuyến tính Thật vậy: T [p(t) + q(t)] = [p(t) + q(t)] = p (t) + q (t) = Tp(t) + Tq(t) Tkp(t) = [kp(t)] = k.p (t) = kTp(t) Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 5 / 22 Bài 1: Định nghĩa và tính chất Ví dụ 3.. .Bài 1: Định nghĩa và tính chất Ví dụ 2 Cho T : P2[t] → P1[t] xác định bởi Tp(t) = p (t), là ánh xạ tuyến tính Thật vậy: Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 5 / 22 Bài 1: Định nghĩa và tính chất Ví dụ 2 Cho T : P2[t] → P1[t] xác định bởi Tp(t) = p (t), là ánh xạ tuyến tính Thật vậy: T [p(t) + q(t)] = [p(t) + q(t)] =... Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 10 / 22 Bài 1: Định nghĩa và tính chất Chứng minh i T θU = T (0u) = 0Tu = θV Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 11 / 22 Bài 1: Định nghĩa và tính chất Chứng minh i T θU = T (0u) = 0Tu = θV iii Cho u, v ∈ ImT ⇒ ∃x, y ∈ U : Tx = u, Ty = v Khi đó Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, ... Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Bài tập Các ánh xạ sau có ánh xạ tuyến tính không? sao? Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà... trước ánh xạ tuyến tính Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng, 09/11/2009 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Ví dụ Cho T : R → R xác định Tx = ax, với a số cho trước ánh xạ tuyến. .. 09/11/2009 / 22 Bài 1: Định nghĩa tính chất Bài tập Các ánh xạ sau có ánh xạ tuyến tính không? sao? T : R2 → R xác định Tu = T (x, y ) = 2x + 5y Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đà