Bài giảng phương pháp tính

Máy tính sẽ hỗ trợ cho chúng ta tính toán, đồng thời cũng thuận lợi cho việc giải thích và thực hiện các bước lặp của thuật toán tính toán một cách dễ hiểu và trực quan, dễ thực hiện đư

Học phần: Phương pháp tính

Số tín chỉ: 03

(dùng cho sinh viên khoa CNTT và Khoa Cơ điện của HV Nông nghiệp Việt Nam)

Tài liệu chính:

Nguyễn Xuân Thảo, Bài giảng Phương pháp tính (Soạn 2015)

Tài liệu tham khảo:

[1] Dương Thủy Vĩ, Phương pháp tính, Nhà xuất bản khoa học kĩ thuật, Hà Nội

2006

[2] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, Nhà XB ĐHQG, Hà Nội 2008

[3] Phạm Hạ Thủy, Phương pháp tính, Nhà xuất bản tài chính, Hà Nội 2010

[4] Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp tính, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, Hà Nội

Nên dùng máy tính Casio fx 570 ES Máy tính sẽ hỗ trợ cho chúng ta tính toán,

đồng thời cũng thuận lợi cho việc giải thích và thực hiện các bước lặp của thuật toán tính toán một cách dễ hiểu và trực quan, dễ thực hiện được ngay Một số chú ý ban đầu trên máy Casio:

+ Muốn lấy các kí hiệu chữ vàng trên bàn phím ta bấm tổ hợp phím 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 + với kí

tự cần lấy, chẳng hạn muốn lấy giá trị 𝜋, ta bấm 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 × 10 𝑥

+ Muốn lấy các kí hiệu chữ đỏ trên bàn phím ta bấm tổ hợp phím 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 + với kí tự

cần lấy, chẳng hạn muốn lấy giá trị e, ta bấm 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 × 10 𝑥

+ Máy có 9 biến (A, B, C, D, E, F, X, Y, M) nên có thể dùng để giải hệ phương trình đại số 3 biến theo phương pháp lặp

+ Trong quá trình hướng dẫn thao tác trên máy, để tránh dài dòng ta quy ước: Các chữ số trong phương trình không viết trong khung phím , bấm phím trong khung , các chữ trong dấu () chỉ giải thích, chẳng hạn với (Y?) là nhập giá trị của Y Để tránh quá dài cho bài giảng, sau những ví dụ ban đầu giúp SV làm quen với các thao tác trên máy Casio, những ví dụ về sau tôi chỉ gợi ý viết lại phương trình hoặc chỉ cho kết quả tính toán mà không hướng dẫn thao tác bấm phím

Chương 0 Giới thiệu về phương pháp tính

 Tên gọi: 1 Phương pháp tính (Computational methods)

2 Phương pháp số (Numerical methods)

3 Giải tích số (Numerical analysis)

4 Toán học tính toán (Computational mathematics)

 PPT là một môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng , chủ yếu là giải

số, các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu Có nhiều lí do nghiên để cứu giải gần đúng các bài toán như công thức giải đúng không hoặc khó thực hiện, dữ liệu thu thậpđược không chính xác, yêu cầu về mặt thời gian… Cụ thể trong các bài toán sẽ nêu kĩ hơn

+ Xấp xỉ hàm số: Thay một hàm số có dạng phức tạp hoặc một hàm số dưới dạng bảng bởi những hàm số đơn giản hơn (Bài toán nội suy, bài toán xấp xỉ)

+ Giải gần đúng các phương trình : Tìm nghiệm số gần đúng của một Phương trình đại số

+ Giải gần đúng các bài toán tối ưu: QHTT, QH lồi,…

 Sự khác biệt giữa toán lý thuyết và toán học tính toán (PPT)

+ Toán lý thuyết chỉ quan tâm đến chứng minh sự tồn tại nghiệm, khảo sát dáng điệu của hàm số và một số tính chất định tính của nghiệm

+ Toán học tính toán đề xuất thuật giải trên máy tính, quan tâm đến các vấn đề: thời gian chạy trên máy, bộ nhớ cần sử dụng để giải bài toán, tốc độ hội tụ và sự ổn định của thuật giải

Ta xét sự khác biệt này qua các ví dụ sau:

𝑒 ≈ 0.367879 và được tích lũy theo từng bước tính truy hồi Cho dù có tính chính xác 𝐼1 =1

𝑒 đến thế nào đi chăng nữa thì vẫn nhận được

𝐼𝑁 < 0 với 𝑁 đủ lớn

Khắc phục hiện tượng này do khả năng xử lí của mỗi kĩ sư (người tính toán) Một phương pháp có thể nghĩ tới cho bài toán này là ta tính toán theo công thức truy hồi ngược 𝐼𝑛−1 = 𝑛−1(1 − 𝐼𝑛) với chú ý 0 ≤ 𝐼𝑛 ≤ 𝑥1 𝑛

𝑛+1, lim𝑛→0𝐼𝑛 = 0

Nếu cho 𝐼20 ≈ 0 thì sai số mắc phải 𝜀20 < 1

21

Khi đó 𝐼19 ≈ 1

20 với sai số mắc phải 𝜀19 < 1

21× 1

20 Đến 𝐼9 sai số chỉ còn 𝜀9 < 10−12 (rất nhỏ) và 𝐼9 ≈ 0.091623

Thực hành tính toán trên máy Casio fx 570 ES Plus

+ n = 3 ta có phương trình 𝐵 = 1 − 2𝐴 = 0.207274 Bấm máy, từ màn hình kết quả tính ở bước n = 2, ta dùng phím di chuyển lên đến phương trình 𝐵 = 1 − 2𝐴 sửa thành 𝐵 = 1 − 3𝐴 rồi giải với 𝐴 = 0.264242 Cụ thể

⊲ ⊲ (𝑠ử𝑎 𝑡𝑕à𝑛𝑕 𝐵 = 1 − 3𝐴) 𝐶𝐴𝐿𝐶 Rồi nhập 𝐴 như bước trên để tính toán sẽ cho kết quả 0.207274

Các bước khác làm tương tự đến bước lặp muốn tính Tương tự với việc tính ngược

𝐼𝑛−1 = 𝑛−1(1 − 𝐼𝑛)

Ví dụ 2 Giải hệ ptđstt 𝐴𝑥 = 𝑏, 𝐴 là ma trận vuông cấp 𝑛 𝐷𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0

+ Lý thuyết: Đây là hệ Cramer, công thức nghiệm 𝑥𝑖 = det 𝐴𝑖

det 𝐴, trong đó 𝐴𝑖 nhận được từ 𝐴 bằng cách thay cột thứ 𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, bởi cột 𝑏

+ PPT: Ta phải tính 𝑛 + 1 định thức, mỗi định thức có 𝑛! số hạng, mỗi số hạng có

𝑛 thừa số nên phải có 𝑛 − 1 phép nhân Vì vậy để giải được bài toán này cần 𝑛! 𝑛 + 1 (𝑛 − 1) phép tính nhân (chưa kể các phép tính khác)

Giả sử có một bài toán 20 biến (𝑛 = 20) (thực tế 𝑛 có thể lên đến hàng ngàn, hàng vạn biến) và máy tính thực hiện được 105 phép tính/1s Khi đó để thực hiện hết các phép tính nhân (với 𝑛 = 20) cần đến 3 108 năm! (Không còn ý nghĩa thực

tế và tốn kém)

Ví dụ 3 Giải hệ

1 12

1 3 1

2

1 3

1 4 1

3

1 4

1 5

𝑥1

𝑥2

𝑥3 =

11 6 13 12 47 60

Đặt =

1 12

1 3 1

2

1 3

1 4 1

3

1 4

1 5

1

+ PPT Khi tính toán, ta thay 1

3 ≈ 0.333, tìm nghiệm theo các phương pháp số tốt nhất hiện nay (tính đến năm 2008) ta nhận được

𝑥1

𝑥2

𝑥3 ≈

1.0900.4881.491

Kết quả này

không hoàn toán chính xác Nguyên nhân ma trận A có số điều kiện (cont (A)) rất

xấu

Nhận xét: Trong quá trình giải số một bài toán có thể nảy sinh nhiều vấn đề mà lý

thuyết không quan tâm và không thể giải quyết được Do đó cần một khoa học

riêng chuyên nghiên cứu việc giải số các bài toán Gọi là phương pháp tính

 Quan hệ giữa phương pháp tính và tin học

Để giải một bài toán thực tế, người ta phải lần lượt thực hiện các công đoạn của quá trình mô phỏng số sau:

+ Bước 1 Xây dựng mô hình toán học cho bài toán thực tế

+ Bước 2 Tính tương thích của mô hình với các hiện tượng thực tế vấn đề tồn tại (và có thể duy nhất) của lời giải Phác thảo phương hướng tính toán

+ Bước 3 Rời rạc hóa mô hình: Người ta thường dùng các phương pháp sai phân, phần tử hữu hạn v.v… để quy bài toán lien tục về các bài toán với số ẩn hữu hạn

+ Bước 4 Xây dựng thuật toán: Ở công đoạn này, người ta chú ý đến các vấn

đề như độ phức tạp của thuật toán, tính hội tụ, ổn định của phương pháp giải

+ Bước 5 Cài đặt và khai thác tin học

Chương 1 Số xấp xỉ và sai số

§ 1 Số xấp xỉ

1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối

Trong thực tế nhiều khi đại lượng chính xác 𝐴 cần tính toán ta không biết được,

do đó ta cần phải dùng một số thay thế cho đại lượng đó để tính toán

Định nghĩa 1 Số xấp xỉ (số gần đúng) Ta gọi 𝑎 là số gần đúng của số chính xác 𝐴, kí hiệu là 𝑎 ≈ 𝐴, nếu như 𝑎 khác 𝐴 không nhiều và được dùng thay thế 𝐴 trong tính toán

Nếu 𝑎 > 𝐴 thì 𝑎 được gọi là số xấp xỉ trên của 𝐴

Nếu 𝑎 < 𝐴 thì 𝑎 được gọi là số xấp xỉ dưới của 𝐴

Định nghĩa 2 Đại lượng ∆𝑎 = 𝑎 − 𝐴 là sai số thật sự của số xấp xỉ 𝑎 Đại lượng ∆= |∆𝑎| là sai số tuyệt đối của 𝑎

Vì 𝐴 chưa biết nên ∆𝑎 cũng chưa biết Do đó ∆ chưa biết Trong tính toán ta sẽ dùng đại lượng ∆𝑎≥ ∆ làm sai số tuyệt đối giới hạn của 𝑎 Tất nhiên, để sự xấp xỉ được chính xác thì ∆𝑎 được xác định càng nhỏ càng tốt

Ví dụ 1 Giả sử số chính xác là 𝐴 = 𝜋 và 𝑎 = 3.14 Ở đây ∆𝑎 = 𝑎 − 𝐴 = 3.14 −

𝜋 chưa biết

Ta có 3.14 < 𝐴 < 3.15 Ta có thể đánh giá ∆𝑎= 3.15 − 3.14 = 0.01 > ∆𝑎 Nếu lấy 3.14 < 𝐴 < 3.142 Ta có thể đánh giá ∆𝑎= 3.142 − 3.14 = 0.002 > ∆𝑎

Định nghĩa 3 Sai số tương đối của 𝑎 là 𝛿 = |𝐴|∆

Trong tính toán dùng 𝛿𝑎 = ∆𝑎

|𝑎| thay thế cho 𝛿

Ví dụ 2 Sản lượng của một nhà máy dự đoán là 105 (tấn); nhưng thực tế sản xuất

đạt 100 (tấn)

Sai số là ∆𝑎 = 𝑎 − 𝐴 = 105 − 100 = 5 (tấn), ∆= 5 (tấn) Nếu tính theo kg thì

∆𝑎 = 𝑎 − 𝐴 = 105000 − 100000 = 5000 (kg), ∆= 5000 (kg) Sai số tuyệt đối (trong trường hợp này) phụ thuộc vào đơn vị đo

Nếu dùng sai số tương đối 𝛿 =|𝐴|∆ =1005 = 5% Sai số tương đối không phụ thuộc vào giá trị đo

Ví dụ 3 Bạn có vui lòng trả thêm 1 triệu để mua một đồ vật? Nếu là một cái xăm

xe máy thì chắc chắn câu trả lời là không Nếu là một chiếc ô tô 4 chỗ thì câu trả lời có Do đó, vấn đề quyết định ở đây không phải là số tiền trả thêm (độ tăng tuyệt đối) mà là tỉ số giữa số tiền tăng thêm và giá trị của đồ vật cần mua (sai số tuyệt đối)

Quy ước: Viết số chính xác dưới dạng 𝐴 = 𝑎 ± ∆𝑎

Chẳng hạn 𝜋 ≈ 3.141592 ≈ 3.14159 ≈ 3.1416 ≈ 3.142 ≈ 3.14; 4.25 ≈ 4.2; 4.135 ≈ 4.14

Quy tắc thu gọn

 Sai số quy tròn tuyệt đối 𝜃𝑎1 = |𝑎 − 𝑎1|

Tóm lại: Sai số gặp phải khi dùng số quy tròn 𝑎1 cho số đúng 𝐴 là 𝑎1 − 𝐴 ≤

𝑎1 − 𝑎 + 𝑎 − 𝐴 = 𝜃𝑎1 + ∆𝑎

3 Chữ số có nghĩa và chữ số đáng tin

 Chữ số có nghĩa

Định nghĩa 4 Trong hệ thập phân chữ số có nghĩa là những chữ số được tính từ

chữ số khác không đầu tiên tính từ trái sang phải

Chú ý - Khi viết số gần đúng (xấp xỉ) chỉ nên giữ lại 1 hoặc 2 chữ số nghi ngờ để

khi tính toán, sai số chỉ tác động lên các chữ số nghi ngờ mà thôi

- Sau một chữ số nghi ngờ luôn là số nghi ngờ, trước chữ số đáng tin luôn là chữ số đáng tin

§ 2 Xác định sai số của hàm số khi biết sai số của đối số

1 Công thức tổng quát

Xét hàm hai biến 𝑢 = 𝑓 𝑥, 𝑦 với 𝑥, 𝑦 là các biến

Bài toán: Cho biết các sai số tuyệt đối giới hạn, tương đối giới hạn của các biến

𝑥, 𝑦 Hãy tìm các sai số tương ứng của 𝑢

Công thức số gia: ∆𝑢 = 𝑓𝑥′ 𝑥, 𝑦 × ∆𝑥 + 𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 × ∆𝑦

Giả sử 𝑋, 𝑌 là các giá trị chính xác của các biến (nhưng không biết được), ta có

𝑈 = 𝑓( 𝑋, 𝑌) là giá trị chính xác của hàm (cũng không biết được) Giả sử 𝑥, 𝑦 là các giá trị xấp xỉ của các biến với các sai số tuyệt đối giới hạn tương ứng là ∆𝑥, ∆𝑦

Ta có |∆𝑢| = |𝑓𝑥′ 𝑥, 𝑦 × ∆𝑥 + 𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 × ∆𝑦| ≤ |𝑓𝑥′ 𝑥, 𝑦 | × ∆𝑥 + |𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 | × ∆𝑦

Ta chọn ∆𝑢= |𝑓𝑥′ 𝑥, 𝑦 | × ∆𝑥 + |𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 | × ∆𝑦 là sai số tuyệt đối giới hạn cần tìm cho 𝑢 = 𝑓 𝑥, 𝑦

Sai số tương đối giới hạn:

2 Sai số của tổng đại số

Trong tính toán ta thường gặp các sai số

1 Sai số giả thiết: Do mô hình hóa bài toán trong thực tế Sai số này không thể

loại trừ được

2 Sai số phương pháp: Phương pháp thay thế bài toán phức tạp bằng phương

pháp đơn giản được gọi là phương pháp gần đúng

Sai số do phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp

3 Sai số các số liệu: Các sai số thường đo được bằng thực nghiệm do đó có sai

số

4 Sai số do tính toán: Các số tính toán vốn đã có sai số, còn thêm sai số qui tròn,

nên sau khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán

+ Các hệ số của 𝑓 𝑥 trong thực tế chỉ biết gần đúng, vì thế việc giải đúng

𝑓 𝑥 = 0 nhiều khi chẳng những không thực hiện được mà nhiều khi còn không có

2 Khoảng phân li nghiệm

Định nghĩa: Khoảng (𝑎, 𝑏) được gọi là khoảng phân li nghiệm của 𝑓 𝑥 = 0 nếu

𝑎, 𝑏 chỉ chứa duy nhất một nghiệm của 𝑓 𝑥 = 0

Định lí: Nếu hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên (𝑎, 𝑏) và 𝑓 𝑎 𝑓𝑏 < 0, 𝑓′(𝑥) không đổi dấu trong (𝑎, 𝑏) thì (𝑎, 𝑏) là khoảng phân li nghiệm của 𝑓 𝑥 = 0

Khoảng phân li nghiệm thường được tìm qua việc khảo sát hàm số Khoảng phân li nghiệm càng hẹp thì việc tìm nghiệm xấp xỉ càng tốt ta có thể chia đôi khoảng phân li ban đầu để tìm các khoảng phân li nghiệm hẹp hơn

Ví dụ 1 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 5𝑥 − 3 = 0 có khoảng phân li nghiệm là (-1, 0) và (4,5)

§2 Phương pháp chia đôi

1 Nội dung phương pháp

- Giả sử (𝑎, 𝑏) là khoảng phân li nghiệm của 𝑓 𝑥 = 0

- Để cho tiện theo dõi ta gọi 𝑥∗ là nghiệm đúng của phương trình 𝑓 𝑥 = 0, tức là 𝑓 𝑥∗ = 0

 Các bước tiến hành phương pháp chia đôi

- Bước 1 Chia đôi khoảng (𝑎, 𝑏)

+ Nếu 𝑓 𝑎+𝑏

2 = 0 thì 𝑥∗ =𝑎+𝑏

2 là nghiệm của phương trình

+ Nếu 𝑓 𝑎+𝑏2 ≠ 0 thì chọn khoảng 𝑎1, 𝑏1 = 𝑎,𝑎+𝑏2 hoặc 𝑎1, 𝑏1 =(𝑎+𝑏2 , 𝑏) sao cho 𝑓 𝑎1)𝑓(𝑏1 < 0

- Bước 2 Tính 𝑓 𝑎1 +𝑏1

2 rồi lặp lại như bước 1

Cứ như vậy ta thu được một dãy con lồng nhau

𝑎𝑛, 𝑏𝑛 ⊂ 𝑎𝑛−1, 𝑏𝑛−1 ⊂ ⋯ ⊂ 𝑎1, 𝑏1 ⊂ (𝑎, 𝑏)

có 𝑓 𝑎𝑛)𝑓(𝑏𝑛 < 0 và 𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 =𝑏−𝑎

2 𝑛 → 0 (𝑛 → +∞)

Do đó 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 → 𝑥∗ (𝑛 → +∞)

 Sai số tuyệt đối giới hạn Δ𝑛 =𝑏−𝑎2𝑛

 Ưu điểm, nhược điểm của phương pháp chia đôi

- Ưu điểm: đơn giản, dễ lập chương trình chạy trên máy tính, chắc chắn hội

tụ

- Nhược điểm: tốc độ hội tụ chậm

 Sơ đồ khối

2 Ví dụ

Ví dụ 1 Giải gần đúng 𝑥3 − 𝑥 − 1 = 0 trên (1, 2) bằng phương pháp chia đôi sau

5 bước lặp và đánh giá sai số (tính toán 5 chữ số phần thập phân)

Giải

Ta kiểm ta điều kiện của phương pháp chia đôi với 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥 − 1 Vì

𝑓 1 = −1, 𝑓 2 = 5, nên khoảng (1, 2) là khoảng phân li nghiệm

Trong thực hành trên máy Casio Fx 570 ES PLUS ( đọc tương ứng giữa các dòng)

B lặp Bấm máy Màn hình máy Casio Giải thích

mũi tên)

1 + 22

+ trở về tính bước lặp tiếp theo

+ Di chuyển mũi tên phải,

Sai số tuyệt đối giới hạn Δ𝑛 = 𝑏−𝑎2𝑛 =2−12𝑛 = 21𝑛 Theo yêu cầu bài toán

Δ𝑛 = 1

2 𝑛 ≤ 2 × 10−2, và 𝑛 ≥ 6 Vậy cần ít nhất 6 phép lặp

b) Vì trước chữ số đáng tin là chữ số đáng tin, nên muốn kết quả có ít nhất 3 chữ số đáng tin thì đằng sau dấu thập phân phải có ít nhất 2 chữ số đáng tin (vì phần nguyên có 1 chữ số do khoảng phân li là (1, 2)) Vậy sai số cần tính

i) Phương trình 𝑥 = 𝜑 𝑥 có nghiệm duy nhất trên (𝑎, 𝑏)

ii) Phép lặp 𝑥𝑛+1 = 𝜑 𝑥𝑛 hội tụ, hơn nữa ta có ước lượng

𝑥0| ≤ 1 − 𝑞 𝑟

+ Nếu 𝜑 là đơn điệu tăng thì để 𝜑 (𝑎, 𝑏) ⊂ 𝑎, 𝑏 chỉ cần 𝑎 ≤ 𝜑 𝑎 , 𝜑 𝑏 ≤

𝑏

Nếu 𝜑 là đơn điệu giảm thì để 𝜑 (𝑎, 𝑏) ⊂ 𝑎, 𝑏 chỉ cần 𝑎 ≤ 𝜑 𝑏 , 𝜑 𝑏 ≤ 𝑏 Chú ý 2 Có nhiều cách từ 𝑓 𝑥 = 0 suy ra 𝑥 = 𝜑 𝑥 nhưng chọn 𝜑 𝑥 sao cho thỏa mãn điều kiện của định lí 1 để đảm bảo tốc độ hội tụ

- Ưu điểm:

+ Xấp xỉ ban đầu không nhất thiết phải thật gần nghiệm đúng 𝑥∗

+ Phép lặp có khả năng tự sửa sai Nếu xấp xỉ thứ k, 𝑥𝑘 mắc sai số thì có thể coi như xấp xỉ ban đầu mới

+ Có các đánh giá sai số tiên nghiệm và hậu nghiệm

+ Dễ lập trình trên máy tính (thể hiện qua sơ đồ khối)

+ Dễ song song hóa

- Nhược điểm: Khi 𝑞 gần 1 thì tốc độ hội tụ rất chậm

 Sơ đồ khối

 Chú ý: Tổng quát có thể đưa 𝑓 𝑥 = 0 về 𝑥 = 𝜑 𝑥 như sau:

Đặt 𝜑 𝑥 = 𝑥 + 𝜇 𝑥 𝑓(𝑥) (chú ý 𝑓 𝑥 = 0) với 𝜇 𝑥 ≠ 0 được chọn sao cho

𝜑′(𝑥) < 1, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] Chẳng hạn từ 𝜑 𝑥 = 𝑥 + 𝜇 𝑥 𝑓 𝑥 ta có 𝜑′ 𝑥 =

1 + 𝜇 𝑥 𝑓′(𝑥) Ta có thể chọn 𝜇 𝑥 = −𝑓′1(𝑥)

2 Ví dụ

Ví dụ 1 Giải gần đúng 𝑥3 − 𝑥 − 1 = 0 trên (1, 2) bằng phương pháp lặp đơn sau

5 bước lặp và đánh giá sai số (tính toán 5 chữ số phần thập phân)

9 (𝑥 + 1)−53 < 0, ∀ 𝑥 ∈ 1,2 Do đó 𝜑′ 2 =0.16025 ≤ 𝜑′ 𝑥 ≤ 𝜑′ 1 = 0.20999, hay 𝜑′ 𝑥 ≤ 𝑞 = 0.25 < 1 Mặt khác,

Chẳng hạn với Ví dụ 1, ta có 2 ≤ 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 1 ≤ 11, ∀𝑥 ∈ (1,2) Ta có thể chọn 𝜑 𝑥 = 𝑥 −111 𝑓 𝑥 = 𝑥 −x3−x−111 và 𝜑′ 𝑥 ≤ 1 − 2

11 =119 = 𝑞 và

1 < 𝜑 1 = 1.0909 ≤ 𝜑 𝑥 ≤ 𝜑 2 = 1.54545 < 2 Do đó ta có thể chọn phép lặp

𝑥𝑛+1 = 𝜑 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 −𝑥𝑛3−𝑥 𝑛 −1

11 , 𝑥0 = 1.4 Bảng tính toán

“ngược” của nhau Vì 𝜑1′ 𝑥 = 3𝑥2 ≥ 3, ∀𝑥 ∈ 1,2 , nên ta chọn hàm 𝜑 𝑥 trong tính toán

Ví dụ 2 Giải gần đúng 𝑥3 − 𝑥 − 1 = 0 trên (1, 2) bằng phương pháp lặp đơn với

độ chính xác 10−4

Hướng dẫn: Làm tương tự như ví dụ 1, đến khi gặp sai số cần thiết thì dừng lại

Ví dụ 3 Tìm nghiệm gần đúng của f x = x3 + x − 1000 = 0 trên (9,10) bằng phương pháp lặp đơn sau 5 bước lặp

3 Ddđ

4 Nnnnn

§4 Phương pháp dây cung

1 Nội dung phương pháp

a Ý tưởng phương pháp

Trong phương pháp này ta luôn giả thiết các điều kiện sau thỏa mãn:

+ [a, b] là khoảng phân li nghiệm của 𝑓 𝑥 = 0

+ 𝑓(𝑥) khả vi hai lần trên trên [𝑎, 𝑏] và 𝑓′(𝑥), 𝑓′′(𝑥) không đổi dấu trên [𝑎, 𝑏]

Định nghĩa: Điểm 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] được gọi là điểm Fourier nếu 𝑓′′ 𝑥 𝑓 𝑥 > 0