Bài giảng phương pháp tính

Bài giảng Phương Pháp Tính 2015 Học phần: Phương pháp tính Số tín chỉ: 03 (dùng cho sinh viên khoa CNTT Khoa Cơ điện HV Nông nghiệp Việt Nam) Tài liệu chính: Nguyễn Xuân Thảo, Bài giảng Phương pháp tính (Soạn 2015) Tài liệu tham khảo: [1] Dương Thủy Vĩ, Phương pháp tính, Nhà xuất khoa học kĩ thuật, Hà Nội 2006 [2] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, Nhà XB ĐHQG, Hà Nội 2008 [3] Phạm Hạ Thủy, Phương pháp tính, Nhà xuất tài chính, Hà Nội 2010 [4] Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp tính, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, Hà Nội 2011 [5] Phạm Phú Triêm, Nguyễn Bường, Giải tích số, Nhà xuất ĐHQG, Hà Nội 2000 [6] Nguyễn Trường Chấng, Nguyễn Thế Thạch, Hướng dẫn sử dụng giải toán máy tính Casio fx 570 ES, Nhà xuất Giáo dục, Hồ Chí Minh 2008 Nên dùng máy tính Casio fx 570 ES Máy tính hỗ trợ cho tính toán, đồng thời thuận lợi cho việc giải thích thực bước lặp thuật toán tính toán cách dễ hiểu trực quan, dễ thực Một số ý ban đầu máy Casio: + Muốn lấy kí hiệu chữ vàng bàn phím ta bấm tổ hợp phím 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 + với kí tự cần lấy, chẳng hạn muốn lấy giá trị 𝜋, ta bấm 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 × 10𝑥 + Muốn lấy kí hiệu chữ đỏ bàn phím ta bấm tổ hợp phím 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 + với kí tự cần lấy, chẳng hạn muốn lấy giá trị e, ta bấm 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 × 10𝑥 + Máy có biến (A, B, C, D, E, F, X, Y, M) nên dùng để giải hệ phương trình đại số biến theo phương pháp lặp + Trong trình hướng dẫn thao tác máy, để tránh dài dòng ta quy ước: Các chữ số phương trình không viết khung phím , bấm phím khung , chữ dấu () giải thích, chẳng hạn với (Y?) nhập giá trị Y Để tránh dài cho giảng, sau ví dụ ban đầu giúp SV làm quen với thao tác máy Casio, ví dụ sau gợi ý viết lại phương trình cho kết tính toán mà không hướng dẫn thao tác bấm phím Nguyễn Xuân Thảo- GV Khoa CNTT- Học viện nông nghiệp Việt Nam Chương Giới thiệu phương pháp tính  Tên gọi: Phương pháp tính (Computational methods) Phương pháp số (Numerical methods) Giải tích số (Numerical analysis) Toán học tính toán (Computational mathematics)  PPT môn khoa học nghiên cứu cách giải gần , chủ yếu giải số, phương trình, toán xấp xỉ hàm số toán tối ưu Có nhiều lí nghiên để cứu giải gần toán công thức giải không khó thực hiện, liệu thu thậpđược không xác, yêu cầu mặt thời gian… Cụ thể toán nêu kĩ + Xấp xỉ hàm số: Thay hàm số có dạng phức tạp hàm số dạng bảng hàm số đơn giản (Bài toán nội suy, toán xấp xỉ) + Giải gần phương trình : Tìm nghiệm số gần Phương trình đại số + Giải gần toán tối ưu: QHTT, QH lồi,…  Sự khác biệt toán lý thuyết toán học tính toán (PPT) + Toán lý thuyết quan tâm đến chứng minh tồn nghiệm, khảo sát dáng điệu hàm số số tính chất định tính nghiệm + Toán học tính toán đề xuất thuật giải máy tính, quan tâm đến vấn đề: thời gian chạy máy, nhớ cần sử dụng để giải toán, tốc độ hội tụ ổn định thuật giải Ta xét khác biệt qua ví dụ sau: Ví dụ Giả sử ta cần tính tích phân 𝐼𝑛 = 𝑥 𝑛 𝑒 𝑥−1 𝑑𝑥, 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ + Lý thuyết: 𝐼𝑛 ≥ 0, ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ Tích phân phần 𝐼𝑛 = − 𝑛𝐼𝑛 −1 𝐼1 = 𝑥𝑒 𝑥−1 𝑑𝑥 = 1𝑒 ≈0.367879 Từ tính 𝐼𝑛 , ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ + Phương pháp tính: Nếu ta tiếp tục tính theo công thức truy hồi 𝐼𝑛 = − 𝑛𝐼𝑛 −1 𝐼9 ≈ −0.068480 Điều sai thực chất 𝐼𝑛 ≥ 0, ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ Nguyên nhân sai số chỗ 𝐼1 = 1𝑒 ≈ 0.367879 tích lũy theo bước tính truy hồi Cho dù có tính xác 𝐼1 = 1𝑒 đến nhận 𝐼𝑁 < với 𝑁 đủ lớn Khắc phục tượng khả xử lí kĩ sư (người tính toán) Một phương pháp nghĩ tới cho toán ta tính toán theo công thức 1 truy hồi ngược 𝐼𝑛 −1 = 𝑛−1 (1 − 𝐼𝑛 ) với ý ≤ 𝐼𝑛 ≤ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = , 𝑛+1 lim𝑛→0 𝐼𝑛 = Nếu cho 𝐼20 ≈ sai số mắc phải 𝜀20 < 21 Bài giảng Phương Pháp Tính 1 2015 Khi 𝐼19 ≈ với sai số mắc phải 𝜀19 < × 20 21 20 −12 Đến 𝐼9 sai số 𝜀9 < 10 (rất nhỏ) 𝐼9 ≈ 0.091623 Thực hành tính toán máy Casio fx 570 ES Plus - bước 0: Tính 𝐼1 = 𝑥𝑒 𝑥−1 𝑑𝑥 ≈ 0.367879 Bấm máy □ □ 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 𝑋 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 𝑒 𝑥 ∎ 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 𝑋 − 𝑑𝑖 𝑐𝑕𝑢𝑦ể𝑛 để 𝑛𝑕ậ𝑝 𝑐ậ𝑛 = □ - bước lặp: Tính 𝐼𝑛 = − 𝑛𝐼𝑛 −1 ∀𝑛 ≥ Ta coi 𝐼𝑛 ≔ 𝐵, 𝐼𝑛 −1 ≔ 𝐴 ( A, B có máy Casio), phương trình 𝐵 = − 𝑛𝐴, ∀𝑛 ≥ + n = ta có phương trình 𝐵 = − 2𝐴 = 0.264242 Bấm máy 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 𝐵 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 𝐶𝐴𝐿𝐶 − 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 𝐴 𝐶𝐴𝐿𝐶 đến máy hỏi giá trị 𝐴? nhập 0.367879 cho kết 0.264242 + n = ta có phương trình 𝐵 = − 2𝐴 = 0.207274 Bấm máy, từ hình kết tính bước n = 2, ta dùng phím di chuyển lên đến phương trình 𝐵 = − 2𝐴 sửa thành 𝐵 = − 3𝐴 giải với 𝐴 = 0.264242 Cụ thể ⊲ ⊲ (𝑠ử𝑎 𝑡𝑕à𝑛𝑕 𝐵 = − 3𝐴) 𝐶𝐴𝐿𝐶 Rồi nhập 𝐴 bước để tính toán cho kết 0.207274 Các bước khác làm tương tự đến bước lặp muốn tính Tương tự với việc tính ngược 𝐼𝑛 −1 = 𝑛−1 (1 − 𝐼𝑛 ) Ví dụ Giải hệ ptđstt 𝐴𝑥 = 𝑏, 𝐴 ma trận vuông cấp 𝑛 𝐷𝑒𝑡 𝐴 ≠ det 𝐴𝑖 + Lý thuyết: Đây hệ Cramer, công thức nghiệm 𝑥𝑖 = , 𝐴𝑖 nhận det 𝐴 từ 𝐴 cách thay cột thứ 𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, cột 𝑏 + PPT: Ta phải tính 𝑛 + định thức, định thức có 𝑛! số hạng, số hạng có 𝑛 thừa số nên phải có 𝑛 − phép nhân Vì để giải toán cần 𝑛! 𝑛 + (𝑛 − 1) phép tính nhân (chưa kể phép tính khác) Giả sử có toán 20 biến (𝑛 = 20) (thực tế 𝑛 lên đến hàng ngàn, hàng vạn biến) máy tính thực 105 phép tính/1s Khi để thực hết phép tính nhân (với 𝑛 = 20) cần đến 108 năm! (Không ý nghĩa thực tế tốn kém) 1 11 1 1 𝑥1 1 1 1 13 Ví dụ Giải hệ 𝑥2 = 12 Đặt = 47 1 𝑥3 1 60 𝑥1 𝑥 + Lý thuyết: Nghiệm hệ = 𝑥3 Nguyễn Xuân Thảo- GV Khoa CNTT- Học viện nông nghiệp Việt Nam ≈ 0.333, tìm nghiệm theo phương pháp số tốt 𝑥1 1.090 (tính đến năm 2008) ta nhận 𝑥2 ≈ 0.488 Kết 𝑥3 1.491 không hoàn toán xác Nguyên nhân ma trận A có số điều kiện (cont (A)) xấu Nhận xét: Trong trình giải số toán nảy sinh nhiều vấn đề mà lý thuyết không quan tâm giải Do cần khoa học riêng chuyên nghiên cứu việc giải số toán Gọi phương pháp tính + PPT Khi tính toán, ta thay  Quan hệ phương pháp tính tin học Để giải toán thực tế, người ta phải thực công đoạn trình mô số sau: + Bước Xây dựng mô hình toán học cho toán thực tế + Bước Tính tương thích mô hình với tượng thực tế vấn đề tồn (và nhất) lời giải Phác thảo phương hướng tính toán + Bước Rời rạc hóa mô hình: Người ta thường dùng phương pháp sai phân, phần tử hữu hạn v.v… để quy toán lien tục toán với số ẩn hữu hạn + Bước Xây dựng thuật toán: Ở công đoạn này, người ta ý đến vấn đề độ phức tạp thuật toán, tính hội tụ, ổn định phương pháp giải + Bước Cài đặt khai thác tin học Chương Số xấp xỉ sai số § Số xấp xỉ Sai số tuyệt đối, sai số tương đối Trong thực tế nhiều đại lượng xác 𝐴 cần tính toán ta được, ta cần phải dùng số thay cho đại lượng để tính toán Định nghĩa Số xấp xỉ (số gần đúng) Ta gọi 𝑎 số gần số xác 𝐴, kí hiệu 𝑎 ≈ 𝐴, 𝑎 khác 𝐴 không nhiều dùng thay 𝐴 tính toán Nếu 𝑎 > 𝐴 𝑎 gọi số xấp xỉ 𝐴 Nếu 𝑎 < 𝐴 𝑎 gọi số xấp xỉ 𝐴 Định nghĩa Đại lượng ∆𝑎 = 𝑎 − 𝐴 sai số thật số xấp xỉ 𝑎 Đại lượng ∆= |∆𝑎| sai số tuyệt đối 𝑎 Bài giảng Phương Pháp Tính 2015 Vì 𝐴 chưa biết nên ∆𝑎 chưa biết Do ∆ chưa biết Trong tính toán ta dùng đại lượng ∆𝑎 ≥ ∆ làm sai số tuyệt đối giới hạn 𝑎 Tất nhiên, để xấp xỉ xác ∆𝑎 xác định nhỏ tốt Ví dụ Giả sử số xác 𝐴 = 𝜋 𝑎 = 3.14 Ở ∆𝑎 = 𝑎 − 𝐴 = 3.14 − 𝜋 chưa biết Ta có 3.14 < 𝐴 < 3.15 Ta đánh giá ∆𝑎 = 3.15 − 3.14 = 0.01 > ∆𝑎 Nếu lấy 3.14 < 𝐴 < 3.142 Ta đánh giá ∆𝑎 = 3.142 − 3.14 = 0.002 > ∆𝑎 ∆ Định nghĩa Sai số tương đối 𝑎 𝛿 = Trong tính toán dùng 𝛿𝑎 = ∆𝑎 |𝑎| |𝐴| thay cho 𝛿 Ví dụ Sản lượng nhà máy dự đoán 105 (tấn); thực tế sản xuất đạt 100 (tấn) Sai số ∆𝑎 = 𝑎 − 𝐴 = 105 − 100 = (tấn), ∆= (tấn) Nếu tính theo kg ∆𝑎 = 𝑎 − 𝐴 = 105000 − 100000 = 5000 (kg), ∆= 5000 (kg) Sai số tuyệt đối (trong trường hợp này) phụ thuộc vào đơn vị đo ∆ Nếu dùng sai số tương đối 𝛿 = = = 5% Sai số tương đối không phụ |𝐴| 100 thuộc vào giá trị đo Ví dụ Bạn có vui lòng trả thêm triệu để mua đồ vật? Nếu xăm xe máy chắn câu trả lời không Nếu ô tô chỗ câu trả lời có Do đó, vấn đề định số tiền trả thêm (độ tăng tuyệt đối) mà tỉ số số tiền tăng thêm giá trị đồ vật cần mua (sai số tuyệt đối) Quy ước: Viết số xác dạng 𝐴 = 𝑎 ± ∆𝑎 Sai số quy tròn  Thông thường ta viết số thực dạng hệ số thập phân Chẳng hạn 25 = × 101 + × 100 25.6 = × 101 + × 100 + × 10−1 −25.6 = −(2 × 101 + × 100 + × 10−1 ) Một số thập phân có dạng tổng quát 𝑎 = ±(𝛼𝑚 × 10𝑚 + 𝛼𝑚 −1 × 10𝑚 −1 + ⋯ + 𝛼𝑚 −𝑛+1 × 10𝑚 −𝑛 +1 ) với 𝑚 số nguyên dương; < 𝛼𝑚 ≤ 9; ≤ 𝛼𝑖 ≤ 9, 𝑖 = 𝑚 − 1, 𝑚 − 2, … , 𝑚 − 𝑛 + 1; 𝛼𝑖 nguyên với 𝑖 = 𝑚, 𝑚 − 1, … , 𝑚 − 𝑛 + Nếu 𝑚 − 𝑛 + ≥ 𝑎 số nguyên; 𝑚 − 𝑛 + = −𝑘, 𝑘 > 0, 𝑎 có phần lẻ gồm 𝑘 chữ số; 𝑛 = +∞ 𝑎 số thập phân vô hạn  Thu gọn 𝑎 vứt bỏ chữ số bên phải 𝑎 để số 𝑎1 ngắn gọn gần với 𝑎 Nguyễn Xuân Thảo- GV Khoa CNTT- Học viện nông nghiệp Việt Nam Chẳng hạn 𝜋 ≈ 3.141592 ≈ 3.14159 ≈ 3.1416 ≈ 3.142 ≈ 3.14; 4.25 ≈ 4.2; 4.135 ≈ 4.14 Quy tắc thu gọn  Sai số quy tròn tuyệt đối 𝜃𝑎 = |𝑎 − 𝑎1 | Tóm lại: Sai số gặp phải dùng số quy tròn 𝑎1 cho số 𝐴 𝑎1 − 𝐴 ≤ 𝑎1 − 𝑎 + 𝑎 − 𝐴 = 𝜃𝑎 + ∆𝑎 Chữ số có nghĩa chữ số đáng tin  Chữ số có nghĩa Định nghĩa Trong hệ thập phân chữ số có nghĩa chữ số tính từ chữ số khác không tính từ trái sang phải Chẳng hạn 0.0002405 có chữ số có nghĩa  Chữ số đáng tin Định nghĩa Trong cách viết 𝑎 = ±(𝛼𝑚 × 10𝑚 + 𝛼𝑚 −1 × 10𝑚 −1 + ⋯ + 𝛼𝑚 −𝑛+1 × 10𝑚 −𝑛 +1 ) 1 số 𝛼𝑗 số đáng tin ∆𝑎 ≤ × 10𝑗 ; số nghi ngờ ∆𝑎 > × 10𝑗 , 𝑗 = 2 1, … , 𝑚 − 𝑛 + Ví dụ Số xấp xỉ 𝑎 = 3.7284 với ∆𝑎 = 0.0047 có chữ số đáng tin 3, 7, chữ số nghi ngờ 8, Vì - Đối với chữ số 4: × 10−4 = 0.5 × 10−4 < ∆𝑎 = 0.0047 - Đối với chữ số 8: × 10−3 = × 10−4 < ∆𝑎 = 0.0047 - Đối với chữ số 2: × 10−2 = 0.5 × 10−2 > ∆𝑎 = 0.0047, … Chú ý - Khi viết số gần (xấp xỉ) nên giữ lại chữ số nghi ngờ để tính toán, sai số tác động lên chữ số nghi ngờ mà - Sau chữ số nghi ngờ số nghi ngờ, trước chữ số đáng tin chữ số đáng tin § Xác định sai số hàm số biết sai số đối số Công thức tổng quát Xét hàm hai biến 𝑢 = 𝑓 𝑥, 𝑦 với 𝑥, 𝑦 biến Bài toán: Cho biết sai số tuyệt đối giới hạn, tương đối giới hạn biến 𝑥, 𝑦 Hãy tìm sai số tương ứng 𝑢 Công thức số gia: ∆𝑢 = 𝑓𝑥′ 𝑥, 𝑦 × ∆𝑥 + 𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 × ∆𝑦 Giả sử 𝑋, 𝑌 giá trị xác biến (nhưng được), ta có 𝑈 = 𝑓( 𝑋, 𝑌) giá trị xác hàm (cũng được) Giả sử 𝑥, 𝑦 giá trị xấp xỉ biến với sai số tuyệt đối giới hạn tương ứng ∆𝑥 , ∆𝑦 Ta có |∆𝑢| = |𝑓𝑥′ 𝑥, 𝑦 × ∆𝑥 + 𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 × ∆𝑦| ≤ |𝑓𝑥′ 𝑥, 𝑦 | × ∆𝑥 + |𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 | × ∆𝑦 Bài giảng Phương Pháp Tính 2015 Ta chọn ∆𝑢 = |𝑓𝑥′ 𝑥, 𝑦 | × ∆𝑥 + |𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 | × ∆𝑦 sai số tuyệt đối giới hạn cần tìm cho 𝑢 = 𝑓 𝑥, 𝑦 Sai số tương đối giới hạn: 𝛿𝑢 = ∆𝑢 |𝑢 | = |𝑓𝑥′ 𝑥,𝑦 |×∆𝑥 +|𝑓𝑦′ 𝑥,𝑦 |×∆𝑦 |𝑓 𝑥 ,𝑦 | = | ln 𝑢 ′𝑥 | × ∆𝑥 + | ln 𝑢 ′𝑦 | × ∆𝑦 Tổng quát: Cho hàm số khả vi 𝑢 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) + Sai số tuyệt đối giới hạn ∆𝑢 = 𝑛𝑖=1 |𝑓𝑥′𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) | × ∆𝑥 𝑖 + Sai số tương đối giới hạn 𝛿𝑢 = ∆𝑢 |𝑢 | = 𝑛 𝑖=1 | ln 𝑢 ′ 𝑥𝑖 | × ∆𝑥 𝑖 Ví dụ Cho hình thang có đáy lớn 𝑥 = 12 ± 0.5 𝑐𝑚 , đáy bé 𝑦 = ± 0.4 (𝑐𝑚), chiều cao 𝑕 = ± 0.3 (𝑐𝑚) Hãy tính gần diện tích 𝑆 sai số tuyệt đối giới 𝑕 hạn ∆𝑆 Biết 𝑆 = 𝑥 + 𝑦 × 2 Sai số tổng đại số ∆𝑥 +∆𝑦 ∆ Xét hàm 𝑢 = 𝑥 ± 𝑦 ta có: ∆𝑢 = ∆𝑥 + ∆𝑦 𝛿𝑢 = 𝑢 = |𝑢| |𝑢 | Chú ý sai số hiệu: Nếu 𝑥, 𝑦 gần 𝑢 = 𝑥 − 𝑦 nhỏ, 𝛿𝑢 = ∆𝑥 +∆𝑦 |𝑥−𝑦 | lớn Khắc phục: cố gắng tránh phép trừ hai số gần nhau; không tránh phải lấy nhiều chữ số đáng tin cậy để tăng độ tin cậy tính toán Sai số tích Xét hàm 𝑢 = 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 Ta có 𝛿𝑢 = 𝛿𝑥 + ⋯ + 𝛿𝑥 𝑛 ∆𝑢 = 𝛿𝑢 |𝑢| Hệ quả: 𝛿𝑥 𝑚 = 𝑚 × 𝛿𝑥 Sai số thương 𝑥 Xét hàm 𝑢 = (𝑦 ≠ 0) Ta có 𝛿𝑢 = 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦 ∆𝑢 = 𝛿𝑢 |𝑢| 𝑦 § Các loại sai số Trong tính toán ta thường gặp sai số Sai số giả thiết: Do mô hình hóa toán thực tế Sai số loại trừ Sai số phương pháp: Phương pháp thay toán phức tạp phương pháp đơn giản gọi phương pháp gần Sai số phương pháp gần tạo gọi sai số phương pháp Sai số số liệu: Các sai số thường đo thực nghiệm có sai số Nguyễn Xuân Thảo- GV Khoa CNTT- Học viện nông nghiệp Việt Nam Sai số tính toán: Các số tính toán vốn có sai số, thêm sai số qui tròn, nên sau tính toán xuất sai số tính toán Chương Tính gần nghiệm thực phương trình đại số siêu việt §1 Đặt vấn đề Bài toán Bài toán: Tìm nghiệm phương trình 𝑓 𝑥 = 0, 𝑓(𝑥) hàm đại số siêu việt Lý do: + Trừ số trường hợp đặc biệt 𝑓 𝑥 = có công thức giải đúng, nói chung phức tạp Do ta phải giải gần + Các hệ số 𝑓 𝑥 thực tế biết gần đúng, việc giải 𝑓 𝑥 = nhiều không thực mà nhiều ý nghĩa  Việc giải gần nghiệm thực 𝑓 𝑥 = tiến hành theo hai bước + Bước Tìm khoảng phân ly nghiệm 𝑓 𝑥 = + Bước Tìm nghiệm với độ xác cần thiết Khoảng phân li nghiệm Định nghĩa: Khoảng (𝑎, 𝑏) gọi khoảng phân li nghiệm 𝑓 𝑥 = 𝑎, 𝑏 chứa nghiệm 𝑓 𝑥 = Định lí: Nếu hàm số 𝑓(𝑥) liên tục (𝑎, 𝑏) 𝑓 𝑎 𝑓𝑏 < 0, 𝑓 ′ (𝑥) không đổi dấu (𝑎, 𝑏) (𝑎, 𝑏) khoảng phân li nghiệm 𝑓 𝑥 = Khoảng phân li nghiệm thường tìm qua việc khảo sát hàm số Khoảng phân li nghiệm hẹp việc tìm nghiệm xấp xỉ tốt ta chia đôi khoảng phân li ban đầu để tìm khoảng phân li nghiệm hẹp Ví dụ 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 5𝑥 − = có khoảng phân li nghiệm (-1, 0) (4,5) §2 Phương pháp chia đôi Nội dung phương pháp - Giả sử (𝑎, 𝑏) khoảng phân li nghiệm 𝑓 𝑥 = Bài giảng Phương Pháp Tính 2015 - Để cho tiện theo dõi ta gọi 𝑥 ∗ nghiệm phương trình 𝑓 𝑥 = 0, tức 𝑓 𝑥 ∗ =  Các bước tiến hành phương pháp chia đôi - Bước Chia đôi khoảng (𝑎, 𝑏) 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 + Nếu 𝑓 = 𝑥 ∗ = nghiệm phương trình + Nếu 𝑓 ( 𝑎+𝑏 2 𝑎+𝑏 2 ≠ chọn khoảng 𝑎1 , 𝑏1 = 𝑎, 𝑎+𝑏 𝑎1 , 𝑏1 = , 𝑏) cho 𝑓 𝑎1 )𝑓(𝑏1 < 𝑎 +𝑏 - Bước Tính 𝑓 1 lặp lại bước Cứ ta thu dãy lồng 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ⊂ 𝑎𝑛−1 , 𝑏𝑛 −1 ⊂ ⋯ ⊂ 𝑎1 , 𝑏1 ⊂ (𝑎, 𝑏) 𝑏−𝑎 có 𝑓 𝑎𝑛 )𝑓(𝑏𝑛 < 𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 = 𝑛 → (𝑛 → +∞) Do 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 → 𝑥 ∗ (𝑛 → +∞) 𝑏−𝑎  Sai số tuyệt đối giới hạn Δ𝑛 = 𝑛  Ưu điểm, nhược điểm phương pháp chia đôi - Ưu điểm: đơn giản, dễ lập chương trình chạy máy tính, chắn hội tụ - Nhược điểm: tốc độ hội tụ chậm  Sơ đồ khối Ví dụ Ví dụ Giải gần 𝑥 − 𝑥 − = (1, 2) phương pháp chia đôi sau bước lặp đánh giá sai số (tính toán chữ số phần thập phân) Giải Ta kiểm ta điều kiện phương pháp chia đôi với 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 − Vì 𝑓 = −1, 𝑓 = 5, nên khoảng (1, 2) khoảng phân li nghiệm Bảng giá trị tính toán 𝑏−𝑎 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 n f(𝑥𝑛 ) 𝑎𝑛 𝑏𝑛 Δ𝑛 = 𝑛 𝑥𝑛 = 1.5 0.875 1 1.25 1.5 -0.29688 1.25 1.375 1.5 0.22461 1.25 1.3125 1.375 -0.05151 1.3125 1.34375 1.375 0.08261 1.3125 1.32813 1.34375 0.01458 Ta có nghiệm xấp xỉ sau bước lặp 𝑥5 ≈ 1.32813 với sai số 𝑥5 − 𝑥 ∗ 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 ≤ 0.03125 Nguyễn Xuân Thảo- GV Khoa CNTT- Học viện nông nghiệp Việt Nam Trong thực hành máy Casio Fx 570 ES PLUS ( đọc tương ứng dòng) B lặp Bấm máy + Bấm n=0 1+2 Màn hình máy Casio = (nhấn nút + Kết qủa = 1.5 𝑆 ⇔ 𝐷 để chuyển phân số thập phân) + Trắng + Bấm 𝐴𝐶 + 𝐴𝑛𝑠 − 𝐴𝑛𝑠 − + 𝐴𝑛𝑠 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 𝑥 − 𝐴𝑛𝑠 − + = Từ hình kết bước n = ta bấm + △ (mũi tên lên phím mũi tên) + Di chuyển mũi tên phải, trái để sửa thành n=1 + Kết = 0.875 1+2 1+2 Giải thích + Tính 𝑎 +𝑏 1+2 𝑥𝑛 = 𝑛 𝑛 = = + Trở hình tính toán + Tính hàm hàm 𝑥3−𝑥−1 𝑥=32 𝑓 𝑥 = + đọc kết + trở tính bước lặp + 1.5 + Tính bước lặp 𝑥𝑛 = 1+1.5 1+1.5 + = + kết = 1.25 + đọc kết = 1.25 + △ (mũi tên lên phím mũi tên) + 𝐴𝑛𝑠 − 𝐴𝑛𝑠 − + Tính hàm + = + Kết -0.296875 hàm 𝑥3−𝑥−1 𝑥=54 𝑓 𝑥 = + đọc kết n = 2, Thao tác tương tự 3, … Ngoài có cách bấm máy khác, phép gán hàm…, phức tạp Các bạn đọc tìm hiểu thêm Ví dụ Giải gần 𝑥 − 𝑥 − = (1, 2) phương pháp chia đôi trường hợp sau a) Sai số không vượt × 10−2 b) Kết có chữ số đáng tin Gợi ý: a) Có cách làm Cách Làm tương tự ví dụ 1, đến cột sai số nhỏ × 10−2 Cách Theo công thức đánh giá sai số, ta tìm số bước lặp cần thực 10 Bài giảng Phương Pháp Tính 2015 b Nội dung phương pháp Tìm dãy xấp xỉ nghiệm 𝑥𝑛 𝑛≥0 cho nghiệm 𝑥 ∗ Thuật toán dừng bước thứ n thỏa mãn điều kiện dừng 𝜀 Xuất phát từ điểm 𝑥0 → 𝑥1 → ⋯ → 𝑥𝑛 → ⋯ theo công thức 𝑓 𝑥𝑛 (𝑥𝑛 − 𝑑) 𝑥𝑛 +1 = 𝑥𝑛 − (𝑛 = 0, 1,2, … ) 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑑) + 𝑑 = 𝑏 𝑏 điểm Fourier chọn 𝑥0 = 𝑎, + 𝑑 = 𝑎 𝑎 điểm Fourier chọn 𝑥0 = 𝑏  Sai số phương pháp (2 cách đánh giá) 𝑓(𝑥 𝑛 ) + Giả sử 𝑓 ′ (𝑥) ≥ 𝑚 > 0, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ta có 𝑥𝑛 − 𝑥 ∗ ≤ 𝑚 ′ ′ + Giả sử 𝑓 (𝑥) không đổi dấu [𝑎, 𝑏] < 𝑚 ≤ 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑀−𝑚 Ta có 𝑥𝑛 − 𝑥 ∗ ≤ 𝑥𝑛 +1 − 𝑥𝑛 𝑚  Ưu điểm, nhược điểm phương pháp + Ưu điểm: đơn giản, dễ lập trình + Nhược điểm: tốc độ hội tụ chậm, điều kiện chặt c Sơ đồ khối d Một số ví dụ Ví dụ Giải gần 𝑥 − 𝑥 − = (1, 2) phương pháp dây cung với độ xác 10−3 (tính toán chữ số phần thập phân) Giải Ta kiểm tra điều kiện thực phương pháp dây cung, với 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 − + 𝑓 𝑓 = −1 < 0, nên (1,2) khoảng phân li nghiệm + 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 − 1, 𝑓 ′′ 𝑥 = 6𝑥, 𝑓 ′′′ 𝑥 = > 0, ∀𝑥 ∈ (1,2) Do 𝑓 ′′ 𝑥 = 6𝑥 đồng biến (1,2) 𝑓 ′′ 𝑥 = 6𝑥 ≥ 𝑓"(1) = > 0, ∀𝑥 ∈ (1,2) Từ ta thấy 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 − đống biến 𝑓 ′ 𝑥 ≥ 𝑓 ′ = > 0, từ ta có 𝑚 = Do đạo hàm 𝑓 ′ 𝑥 𝑓 ′ ′ 𝑥 không đổi dấu (1,2) Hai điều kiện phương pháp dây cung thỏa mãn, nên ta thực phương pháp dây cung + Tìm điểm Fourier Kiểm tra ta có 𝑓 𝑓"(1) = (−1).6 < 0, 𝑓 𝑓"(2) = × 12 = 60 > Do điểm Fourier Vậy công thức lặp ta có d = 𝑥0 = 𝑓 𝑥 𝑛 (𝑥 𝑛 −𝑑) = 𝑥𝑛 𝑓 𝑥 𝑛 −𝑓(𝑑) 𝑥 𝑛 +1 −𝑥 𝑛 +1 −1 𝑓(𝑥 𝑛 +1 ) + Công thức lặp 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − Sai số 𝑥𝑛 +1 − 𝑥 ∗ ≤ 𝑚 = − (𝑥 𝑛 −𝑥 𝑛 −1)(𝑥 𝑛 −2) 𝑥 𝑛 −𝑥 𝑛 −6 , với 𝑥0 = 15 Nguyễn Xuân Thảo- GV Khoa CNTT- Học viện nông nghiệp Việt Nam + Bảng kết tính toán 𝑥𝑛 +1 Bước lặp n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 1.16667 1.25311 1.29344 1.31128 1.31899 1.32228 1.32368 1.32428 Sai số 𝑥 𝑛 +1 −𝑥 𝑛 +1 −1 0.28935 0.14268 0.06477 0.02829 0.01215 5.2× 10−3 2.2× 10−3 9.34× 10−4 Đến sai số nhỏ 10−3 nên ta dừng thuật toán kết luận nghiện gần cần tìm 𝑥8 = 1.32428 Thao tác máy tính bấm tay Ở tính song song cột 𝑥𝑛+1 sai số nên ta dùng biến gán, biến X dùng để tính 𝑥𝑛+1 biến Y dùng để tính sai số Nhập hàm Hàm tính sai số (bấm trước tính giá trị lặp tính 𝑥𝑛+1 ), bấm (máy tính với 𝑌 = 0) 𝑌 −𝑌−1 = kết 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 𝑕𝑦𝑝 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 𝑌 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 𝑥 − 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 𝑌 − ⊲ = 𝐴𝐶 Hàm tính 𝑥𝑛+1 , bấm 𝑋 − 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 𝑋 − (𝑋 −𝑋−1)(𝑋−2) 𝑋 −𝑋−6 = kết (máy tự tính với 𝑋 = 0) ( 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 𝑋 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 𝑥 − 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 𝑋 − ) ( 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 𝑋 − ) ⊲ ( 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 𝑋 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 𝑥 − 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 𝑋 − ) = 𝐴𝐶 Sau nhập hàm ta tính toán theo cách n Tính X Bấm máy Tính Y 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 𝑅𝐶𝐿 𝑋 Dịch chuyển mũi tên lên hàm tính theo X, bấm = 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 𝑅𝐶𝐿 𝑋 Màn hình tính Y 1→𝑋 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 𝑅𝐶𝐿 𝑌 Dịch chuyển mũi tên lên hàm tính theo Y, bấm = 16 X →𝑋 Giải thích X Y gán X=1 Gán kết X=1.16667 Kết s.số 𝑥1 X=1.16667 →𝑌 0.28935 x Gán kết Y=1.16667 Y=0.28935 Sai số ứng với 𝑥1 Bài giảng Phương Pháp Tính Dịch chuyển mũi tên lên hàm tính theo X, bấm = 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 𝑅𝐶𝐿 𝑋 1.25311 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 𝑅𝐶𝐿 𝑌 Dịch chuyển mũi tên lên hàm tính theo Y, bấm = 1.25311 →𝑋 2015 𝑥2 X=1.25311 1.25311 →𝑌 0.14268 Gán kết X=1.25311 Gán kết Y=1.25311 Y=0.14268 Sai số ứng với 𝑥2 2,3 Làm tương tự bước n = ,… Cách khác nhập tính 𝑥𝑛 +1 ví dụ (tính qua hàm bới biến Ans) đến khoảng 10 bước lặp (ngoài nháp), sau tính sai số ghi lại kết theo yêu cầu Dddd Hhhhhhhhhhhhhhhhhh §5 Phương pháp tiếp tuyến Nội dung phương pháp e Ý tưởng phương pháp Trong phương pháp ta giả thiết điều kiện sau thỏa mãn: + [a, b] khoảng phân li nghiệm 𝑓 𝑥 = + 𝑓(𝑥) khả vi hai lần trên [𝑎, 𝑏] 𝑓 ′ (𝑥), 𝑓 ′′ (𝑥) không đổi dấu [𝑎, 𝑏] Định nghĩa: Điểm 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] gọi điểm Fourier 𝑓 ′′ 𝑥 𝑓 𝑥 > f Nội dung phương pháp Tìm dãy xấp xỉ nghiệm 𝑥𝑛 𝑛≥0 cho nghiệm 𝑥 ∗ Thuật toán dừng bước thứ n thỏa mãn điều kiện dừng 𝜀 Xuất phát từ điểm 𝑥0 → 𝑥1 → ⋯ → 𝑥𝑛 → ⋯ theo công thức 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛 +1 = 𝑥𝑛 − (𝑛 = 0, 1,2, … ) 𝑓′ 𝑥𝑛 + 𝑏 điểm Fourier chọn 𝑥0 = 𝑏, + 𝑎 điểm Fourier chọn 𝑥0 = 𝑎  Sai số phương pháp (2 cách đánh giá) 𝑓(𝑥 𝑛 ) + Giả sử 𝑓 ′ (𝑥) ≥ 𝑚 > 0, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ta có 𝑥𝑛 − 𝑥 ∗ ≤ 𝑚 + Giả sử 𝑓 ′ (𝑥) không đổi dấu [𝑎, 𝑏] < 𝑚 ≤ 𝑓 ′ (𝑥) ≤ 𝑀, 𝑓 ′′ (𝑥) ≤ 𝑀 𝑀1 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] Ta có 𝑥𝑛 − 𝑥 ∗ ≤ 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 2𝑚  Ưu điểm, nhược điểm phương pháp + Ưu điểm:t.ốc dộ hội tụ nhanh phương pháp dây cung + Nhược điểm: Khó lập trình tính toán phương pháp dây cung 17 Nguyễn Xuân Thảo- GV Khoa CNTT- Học viện nông nghiệp Việt Nam g Sơ đồ khối h Một số ví dụ Ví dụ Giải gần 𝑥 − 𝑥 − = (1, 2) phương pháp dây cung với độ xác 10−3 (tính toán chữ số phần thập phân) Giải Ta kiểm tra điều kiện thực phương pháp tiếp tuyến, với 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 − + 𝑓 𝑓 = −1 < 0, nên (1,2) khoảng phân li nghiệm + 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 − 1, 𝑓 ′′ 𝑥 = 6𝑥, 𝑓 ′′′ 𝑥 = > 0, ∀𝑥 ∈ (1,2) Do 𝑓 ′′ 𝑥 = 6𝑥 đồng biến (1,2) 𝑓 ′′ 𝑥 = 6𝑥 ≥ 𝑓"(1) = > 0, ∀𝑥 ∈ (1,2) Từ ta thấy 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 − đống biến 𝑓 ′ 𝑥 ≥ 𝑓 ′ = > 0, từ ta có 𝑚 = Do đạo hàm 𝑓 ′ 𝑥 𝑓 ′ ′ 𝑥 không đổi dấu (1,2) Hai điều kiện phương pháp tiếp tuyến thỏa mãn, nên ta thực phương pháp tiếp tuyến + Tìm điểm Fourier Kiểm tra ta có 𝑓 𝑓"(1) = (−1).6 < 0, 𝑓 𝑓"(2) = × 12 = 60 > Do điểm Fourier Vậy công thức lặp ta có 𝑥0 = + Công thức lặp 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 − (𝑥 𝑛 −𝑥 𝑛 −1) 𝑓 ′ (𝑥) 3𝑥 𝑛 −1 𝑥 −𝑥 −1 𝑓(𝑥 𝑛 +1 ) = 𝑛 +1 𝑛 +1 𝑚 Sai số 𝑥𝑛 +1 − 𝑥 ∗ ≤ + Bảng kết tính toán N 𝑥𝑛+1 𝑥 , với 𝑥0 = −𝑥 −1 Sai số, 𝑛 +1 𝑛 +1 1.54545 0.57288 1.35961 0.07685 1.32580 2.3× 10−3 1.32472 2.3× 10−6 Đến ta kết luận, nghiệm gần cần tìm 𝑥5 ≈ 1.32472 Nhận xét, tốc độ hội tụ phương pháp tiếp tuyến nhanh Chỉ cần sau vòng lặp ta đạt độ xác 2.3× 10−6 (sau vòng lặp phương pháp dây cung đạt độ xác 9.34× 10−4 ) 18 Bài giảng Phương Pháp Tính 2015 Chương Giải hệ phương trình đại số §1 Đặt vấn đề Bài toán Bài toán: Giải hệ phương trình đại số 𝐴 𝑋 = 𝑏 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 mà trận hệ số, 𝑋 = 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 𝑇 ma trận ẩn, 𝑏 = 𝑏1 , … , 𝑏𝑛 𝑇 ma trận hệ số tự 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑗 Nếu 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 𝐴 𝑋 = 𝑏 ⟺ 𝑋 = 𝐴−1 𝑏 hay 𝑥𝑗 = , 𝑗 = 1, … , 𝑛 Như det 𝐴 biết, n đủ lớn việc tìm nghiệm theo công thức khó khăn Do cần nghiên cứu phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính * Hai loại phương pháp giải: nhóm phương pháp giải trực tiếp nhóm phương pháp lặp - Nhóm phương pháp trực tiếp: Cramer, Gauss, Gauss-Jordan,… Các phương pháp sử dụng với hệ có kích thước nhỏ hệ số - Nhóm phương pháp lặp: Giả sử 𝑋 ∗ nghiệm hệ 𝐴 𝑋 = 𝑏 Nhưng ta khó xác định 𝑋 ∗ (có thể n lớn), ta tìm dãy xấp xỉ nghiệm 𝑋 (𝑘) 𝑘≥0 hội tụ dần đến 𝑋 ∗ Ta dừng lại đạt độ xác cần thiết Phương pháp lặp có lợi giải hệ phương trình có kích thước lớn hệ số gần Khi giải hệ 𝐴 𝑋 = 𝑏, người ta thương phân biệt hai loại ma trận a) Ma trận lưu trữ được: ma trận mà phần tử lưu trữ xử lí nhớ Kích thước toán thường không lớn lắm, khoảng 𝑛 = 𝑂(103 ) b) Ma trận thưa: Ma trận có nhiều phần tử Các phần tử khác lưu trữ nhớ máy tính, tính theo công thức truy hồi Với loại ma trận người ta giải 𝐴 𝑋 = 𝑏 với 𝑛 = 𝑂(106 ) Trong chương trình xét ma trận dạng lưu trữ Số điều kiện ma trận a) Chuẩn ma trận: Chuẩn ma trận vuông 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 số thực thỏa mã điều kiện sau: N1) 𝐴 ≥ 0, ∀ 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 𝑛×𝑛 , kí hiệu 𝐴 , 𝐴 = 𝐴 ma trận không N2) 𝛼𝐴 = 𝛼 𝐴 , 𝛼 ∈ 𝑅 N3) 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 với 𝐴, 𝐵 ma trận vuông cấp 19 Nguyễn Xuân Thảo- GV Khoa CNTT- Học viện nông nghiệp Việt Nam N4) 𝐴 𝐵 ≤ 𝐴 𝐵 với 𝐴, 𝐵 ma trận vuông cấp Người ta thường dùng ba chuẩn sau: + chuẩn theo cột 𝐴 = max𝑗 =1,…,𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑎𝑖𝑗 + chuẩn Euclid 𝐴 = + chuẩn theo hàng 𝐴 ∞ 𝑛 𝑖,𝑗 =1 𝑎𝑖𝑗 2 = max𝑖=1,…,𝑛 𝑛 𝑗 =1 𝑎𝑖𝑗 Ví dụ Với ma trận 𝐴 = −1 ta có −3 𝐴 = max + + , + −1 + , + + −3 = 𝐴 𝐴 ∞ = max = 12 + 22 + 12 + 12 + (−1)2 + 32 + 12 + 22 + (−3)2 = 31 + + , + −1 + , + + −3 = Véc tơ ma trận 𝑋 = 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 + chuẩn theo cột 𝑋 + chuẩn Euclid 𝑋 = + chuẩn theo hàng 𝑋 = ∞ 𝑇 ta có 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 2 = max𝑖=1,…,𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 b) Số điều kiện ma trận vuông 𝐴 𝑐𝑜𝑛𝑑 𝐴 = 𝐴 ‖𝐴−1 ‖ Nếu 𝑐𝑜𝑛𝑑 𝐴 ≫ ma trận 𝐴 gọi có điều kiện xấu Sự không ổn định hêệ pương trình đại số tuyến tính Nhiều trường hợp ta gặp hệ phương trinìnđại số tuyến tính mà thay đổi nhỏ hệ số dẫn đến việc thay đổi lớn nghiệm hệ phương trình gọi hệ không ổn định tính toán; ngược lại hệ gọi ổn định 2𝑥1 + 𝑥2 = Ví dụ Hệ có nghiệm 𝑥1 = 0.5 𝑥2 = 2𝑥1 + 1.01𝑥2 = 2.01 2𝑥1 + 𝑥2 = Nếu thay đổi hệ số thành hệ có nghiệm 𝑥1 = 01𝑥1 + 1𝑥2 = 2.05 𝑥2 = −8 Nghiệm thay đổi nhiều, không ý nghĩa toán 20 Bài giảng Phương Pháp Tính thực tế Lý ma trận hệ số 𝐴 = 𝐴 𝐴−1 = 501.005 2015 có điều kiện xấu 𝑐𝑜𝑛𝑑 𝐴 = 1.01 Chú ý: Nếu 𝑐𝑜𝑛𝑑 𝐴 ≫ hệ không ổn định, 𝑐𝑜𝑛𝑑 𝐴 ≈ hệ ổn định § Phương pháp Gauss Nội dung phương pháp  Bài toán: Giải hệ phương trình đại số 𝐴 𝑋 = 𝑏 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 mà trận hệ số, 𝑋 = 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 𝑇 ma trận ẩn, 𝑏 = 𝑏1 , … , 𝑏𝑛 𝑇 ma trận hệ số tự  Nhắc lại phép biến đổi sơ cấp: + Đổi chỗ hai hàng + Nhân hàng với số khác + Nhân hàng với số cộng vào cào hàng khác  Nội dung phương pháp Gauss: có hai trình + Thuận: dùng phép biến đổi sơ cấp đưa phương trình 𝐴 𝑋 = 𝑏 phương trình 𝐴′ 𝑋 = 𝑏′ 𝐴′ ma trận tam giác thu từ 𝐴 phép biến đổi sơ cấp 𝐵𝑖ế𝑛 đổ𝑖 𝑠ơ 𝑐ấ𝑝 Sơ đồ 𝐴 ⋮ 𝑏 𝐴′ ⋮ 𝑏′ ′ + Ngược: Từ 𝐴 𝑋 = 𝑏′ ta tìm nghiệm theo thứ tự từ 𝑥𝑛 → 𝑥𝑛 −1 → ⋯ → 𝑥2 → 𝑥1 Quá trình tính toán lưu bảng (xem ví dụ)  Khối lượng tính toán: 𝑆𝑛 = 𝑛 𝑛 −1 (2𝑛 +5) 4𝑛 +9𝑛 −7𝑛 𝑛 𝑛 −1 (2𝑛 +5) phép nhân, 𝑛(𝑛+2) phép chia, phép cộng trư  Sai số phương pháp Gaus: Chỉ có sai sôố qui troò, sai số tính toán, sai số phương pháp (𝑘)  Ưu điểm, nhược điểm phương pháp Gauss: Khi có hệ số 𝑎𝑖𝑗 = bước k, phương pháp Gauss phải đổi cột đổi phương trình Điều đẫn đến sai số không xác phương pháp chí không thực Ví dụ Giả hệ phương trình sau phương pháp Gauss 21 Nguyễn Xuân Thảo- GV Khoa CNTT- Học viện nông nghiệp Việt Nam 𝑥1 + 𝑥2 + 1.1𝑥3 = 3.1 2𝑥1 + 𝑥2 + 3.3𝑥3 = 6.3 3𝑥1 + 4.1𝑥2 + 𝑥3 = 8.1 Giải Ta thực phương pháp Gauss theo bảng sau: Giải thích 𝑥1 𝑥2 𝑥3 Để nguyên H1 −2𝐻1 + 𝐻2 → 𝐻2 1 4.1 -1 1.1 3.3 1.1 1.1 −3𝐻1 + 𝐻3 → 𝐻3 1.1 -2.3 1 -1 1 1.1 1.1 -1.09 1.1 -1.1 3.1 0.1 -1.09 3.1 -0.1 6.2 0.2 -2.18 6.2 -0.2 1 1 1.1𝐻2 + 𝐻3 → 𝐻3 −1𝐻2 → 𝐻2 𝐻3 → 𝐻3 −1.09 1 Đến ta có nghiệm h.số tự Tổng hệ Quá số trình 3.1 6.2 6.3 12.6 8.1 16.2 3.1 6.2 0.1 0.2 Thuận -1.2 -2.4 2 Ngược 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = Cột tổng hệ số giúp kiểm tra nhanh xem kết tính toán không Tương ứng hàng, sai số giá trị tổng tổng hệ số thành phần Phương pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo 𝐵𝑖ế𝑛 đổ𝑖 𝑠ơ 𝑐ấ𝑝 Sơ đồ 𝐴 ⋮ 𝐼 [I⋮𝐴−1 ] Với 𝐼 ma trận đơn vị cấp với A Việc thực bảng giống việc giải hệ phương trình Dđ 22 Bài giảng Phương Pháp Tính 2015 §3 Một số phương pháp lặp A Phương pháp lặp Jacobi Nội dung phương pháp  Bài toán: Tìm nghiệm gần phương trình 𝐴 𝑋 = 𝑏 với độ xác 𝜀, tức tìm véc tơ 𝑋 ′ xấp xỉ nghiệm 𝑋 ∗ thỏa mãn 𝑋′ − 𝑋 ∗ 𝑝 < 𝜀 Với 𝑝 = 1,2, ∞ Thông thường chọn 𝑝 = ∞ (dễ kiểm tra hơn)  Nội dung phương pháp: Từ 𝐴 𝑋 = 𝑏 biến đổi thành 𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝛽 với 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑛×𝑛 𝛽 = 𝛽1 , … , 𝛽𝑛 𝑇 Sau tìm tìm dãy lặp 𝑋 (𝑘) 𝑘≥0 theo công thức 𝑋 (𝑘+1) = 𝐵𝑋 (𝑘) + 𝛽, ∀𝑘 ≥ với 𝑋 (0) tùy ý, thường chọn 𝑋 (0) = 𝛽 - Điều kiện hội tụ: 𝐵 𝑝 ≤ 𝑞 < - Sai số: + Sai số tiên nghiệm: 𝑋 (𝑘+1) − 𝑋 ∗ + Sai số hậu nghiệm: 𝑋 (𝑘+1) − 𝑋 ∗ 𝑝 𝑝 ≤ ≤ ( 𝐵 𝑝 )𝑘+1 𝑋 (1) − 𝑋 (0) 𝑝 1− 𝐵 𝑝 𝐵 𝑝 𝑋 (𝑘+1) − 𝑋 (𝑘) 𝑝 1− 𝐵 𝑝 - Ưu điểm, nhược điểm phương pháp + Ưu điểm: Phương pháp lặp có khả tự sửa sai, có đánh giá tiên nghiệm hậu nghiệm, dễ lập trình tính toán + Nhược điểm: Nếu 𝐵 𝑝 ≥ phương pháp không hội tụ Khi 𝐵 𝑝 bé gần hội tụ chậm  Ma trận chéo trội: Định nghĩa Ma trận 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 gọi chéo trội |𝑎𝑖𝑖 | > 𝑗 ≠𝑖 |𝑎𝑖𝑗 | với 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 Khi 𝐴 ma trận chéo trội phương pháp lặp gọi phương pháp lặp Jacobi phép lặp chắn hội tụ Đồng thời, từ 𝐴 𝑋 = 𝑏 biến đổi thành 𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝛽 cách chia hai vế phương trình thứ i hệ cho 𝑎𝑖𝑖 (𝑖 = 1,2, … , 𝑛), sau chuyển vế tách thành 𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝛽, 𝐵 ma trận có phần tử đường chéo 𝐵 ∞ < (sXem thêm ví dụ) Một số ví dụ Ví dụ Dùng phương pháp lặp đơn tìm nghiệm gần hệ phương trình sau bước lặp đánh giá sai số (tính toán chữ số phần thập phân) 23 Nguyễn Xuân Thảo- GV Khoa CNTT- Học viện nông nghiệp Việt Nam 4𝑥1 + 0.24𝑥2 − 0.08𝑥3 = 0.09𝑥1 + 3𝑥2 − 0.15𝑥3 = (*) 0.04𝑥1 + 0.08𝑥2 + 4𝑥3 = 20 0.24 −0.08 Ta có ma trận hệ số 𝐴 = 0.09 −0.15 ma trận chéo trội Ta 0.04 0.08 thực phương pháp lặp đơn 𝑥1 = −0.06𝑥2 + 0.02𝑥3 + + 0.05𝑥3 + (**) Hệ (*) tương đương với hệ 𝑥2 = −0.03𝑥1 𝑥3 = −0.01𝑥1 + 0.02𝑥2 +5 −0.06 0.02 Ta có ma trận 𝐵 = −0.03 0.05 có 𝐵 −0.01 0.02 Từ (**) ta có công thức lặp 𝑋 (𝑘+1) = 𝐵𝑋 (𝑘) ∞ = 0.08 < 𝛽 = + 𝛽, ∀𝑘 ≥ với 𝑋 (0) = 𝛽= , tức giải hệ 𝑥1 (𝑘+1) 𝑥1 (𝑘) 𝑥1 (0) −0.06 0.02 2 (𝑘+1) = (𝑘) + (0) = × với 𝑥2 𝑥2 𝑥2 −0.03 0.05 3 , ∀𝑘 ≥ −0.01 0.02 5 𝑥3 (𝑘+1) 𝑥3 (𝑘) 𝑥3 (0) Kết tính toán ghi bảng sau k (𝑘) 𝑥1 𝑥2 (𝑘) 𝑥3 (𝑘) Đánh giá sai số 𝑋 (3) − 𝑋 ∗ 1.92 3.19 5.04 ∞ ≤ 𝐵 ∞ 1− 𝐵 ∞ 1.9094 3.1944 5.0446 𝑋 (3) − 𝑋 (2) 1.9092 3.1949 5.0447 ∞ = 4.4× 10−5 Thực máy Casio: Cách Gán 𝑋 (0) ≔ Mat A, B≔ Mat B, 𝛽 ≔ Mat C Khi kết phép lặp 𝑋 (1) = 𝐵𝑋 (0) + 𝛽 máy tính kết 𝑀𝑎𝑡 𝐵 × 𝑀𝑎𝑡 𝐴 + 𝑀𝑎𝑡 𝐶, sau bước cho 𝑋 (1) 𝑙à 𝑀𝑎𝑡𝐴𝑛𝑠 Kết cá phép lặp 𝑋 (𝑘+1) = 𝐵𝑋 (𝑘) + 𝛽, 𝑘 ≥ thực 𝑀𝑎𝑡 𝐵 × 𝑀𝑎𝑡𝐴𝑛𝑠 + 𝑀𝑎𝑡 𝐶, lần lặp lần bấm phím = 24 Bài giảng Phương Pháp Tính Nhập số liệu: Nhập Bấm máy Mat A 𝑀𝑜𝑑𝑒 (chọn ma trận) = = = Mat B 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 2 (𝑐𝑕ọ𝑛 𝑚𝑎 𝑡𝑟ậ𝑛) = −0.06 = … 0.02 = = MatC 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 3 (𝑐𝑕ọ𝑛 𝑚𝑎 𝑡𝑟ậ𝑛) = = = Màn hình −0.06 0.02 −0.03 0.05 −0.01 0.02 2015 Giải thích Nhập ma trận cấp × Nhập ma trận cấp × (thực hình nhập Mat A) Nhập ma trận cấp × (thực hình nhập Mat B) Sau nhập số liệu ta tính toán + phép toán 𝑋 (1) = 𝐵𝑋 (0) + 𝛽 tức 𝑀𝑎𝑡 𝐵 × 𝑀𝑎𝑡 𝐴 + 𝑀𝑎𝑡 𝐶 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 4 (Mat B) × 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 3 (Mat A) + 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 = 1.92 Kết Ans = 3.19 (tức 𝑋 (1) ) 5.04 + phép tính 𝑋 (2) = 𝐵𝑋 (1) + 𝛽 tức 𝑀𝑎𝑡 𝐵 × 𝑀𝑎𝑡 𝐴𝑛𝑠 + 𝑀𝑎𝑡 𝐶 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 4 (Mat B) × 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 (Mat Ans) + 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 = 1.9094 Kết Ans = 3.1944 (tức 𝑋 (2) ) 5.0446 (𝑘+1) + Tính 𝑋 = 𝐵𝑋 (𝑘) + 𝛽, 𝑘 ≥ 2, lúc ta cần bấm phím = lần bấm dấu = cho ta kết phép lặp Cách (Trực quan cách 1, thủ công hơn) Ta gán 𝑥1 ≔ 𝑋, 𝑥2 ≔ 𝑌, 𝑥3 ≔ 𝐴 Khi (**) trở thành 𝑋= −0.06𝑌 + 0.02𝐴 + 𝑌 = −0.03𝑋 + 0.05𝐴 + 𝐴 = −0.01𝑋 + 0.02 𝑌 +5 Nhập hàm, nhập vế phải hệ phương trình, cách dấu “:” (hàm 1) −0.06 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 𝑌 + 0.02 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 𝐴 + 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 : (𝑕à𝑚 2, 𝑣𝑖ế𝑡 𝑙𝑖ề𝑛 𝑣à 𝑛𝑕ậ𝑝 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự) 𝐴𝑙𝑝𝑕𝑎 : (hàm 3) 25 Nguyễn Xuân Thảo- GV Khoa CNTT- Học viện nông nghiệp Việt Nam Đến máy hỏi ẩn có phương trình, từ phương trình 1, đến phương trình 3, phương trình khuyết X, nên ta nhập giá trị biến tương ứng xong ấn phím = đọc kết Bước Bấm máy Màn hình Giải thích Nhập X Y A Nhập hàm −0.06𝑌 + 0.02𝐴 + 2: hàm − 0.03𝑋 + 0.05𝐴 vế phải + 3: − 0.01𝑋 + 0.02 𝑌 +5 c.bị Hỏi biến Bắt dầu tính với biến ban đầu = = 𝑋 (0) n=0 = Y=3, A=5, X=2 Nhậpgiá trị biến bước lặp n =1 (pt tìm X) 1.92 X=1.92 = (pt tìm Y) 3.19 Y=3.19 = (pt tìm A) 5.04 A=5.04 = 3.19 (Y?) 3.19 = (A?) 5.05 = (X?) 1.92 = Ví dụ Dùng phương pháp lặp đơn tìm nghiệm gần hệ phương trình sau bước lặp đánh giá sai số (tính toán chữ số phần thập phân) 6𝑥1 + 15𝑥2 + 2𝑥3 = 72 𝑥1 + 𝑥2 + 54𝑥3 = 110 (***) 27𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑥3 = 85 Giải Đây chưa phải hệ có ma trận hệ số chéo trội, ta dùng phép biến đổi sơ cấp đưa hệ tương đương có ma trận hệ số chéo trội Chẳng hạn đổi phương trình thứ lên phương trình đầu, phương trình thứ xuống phương trình thứ Ta hệ sau tương đương với hệ (***) sau 26 Bài giảng Phương Pháp Tính 2015 27𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑥3 = 85 6𝑥1 + 15𝑥2 + 2𝑥3 = 72 (****) 𝑥1 + 𝑥2 + 54𝑥3 = 110 Đến ta thực bước ví dụ hệ (*) Ta có kết bảng sau k (𝑘) 3.1481 2.1569 2.491 2.4009 2.4315 𝑥1 (𝑘) 4.800 3.2691 3.6852 3.5451 3.5833 𝑥2 2.0370 1.8898 1.9365 1.9226 1.9269 𝑥3 (𝑘) Sai số 𝑋 (4) − 𝑋 ∗ ∞ ≤ 0.0161 Mmm B Phương pháp lặp Seidel Nội dung phương pháp  Bài toán: Tìm nghiệm gần phương trình 𝐴 𝑋 = 𝑏 với độ xác 𝜀, tức tìm véc tơ 𝑋 ′ xấp xỉ nghiệm 𝑋 ∗ thỏa mãn 𝑋′ − 𝑋 ∗ 𝑝 < 𝜀 Với 𝑝 = 1,2, ∞ Thông thường chọn 𝑝 = ∞ (dễ kiểm tra hơn)  Nội dung phương pháp: Từ 𝐴 𝑋 = 𝑏 biến đổi thành 𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝛽 với 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑛×𝑛 𝛽 = 𝛽1 , … , 𝛽𝑛 𝑇 Ta tách ma trận 𝐵 = 𝐵 + 𝐵 𝐵 ma trận tam giác thu từ 𝐵 mà phần tử dường chéo 𝐵 (các phần tử khác (nếu có) 𝐵 nằm đường chéo chính), 𝐵 = 𝐵 − 𝐵 Sau tìm tìm dãy lặp 𝑋 (𝑘) 𝑘≥0 theo công thức 𝑋 (𝑘+1) = 𝐵𝑋 (𝑘+1) + 𝐵𝑋 (𝑘) + 𝛽, ∀𝑘 ≥ với 𝑋 (0) tùy ý, thường chọn 𝑋 (0) = 𝛽 - Điều kiện hội tụ: 𝐵 𝑝 ≤ 𝑞 < - Sai số (đánh giá theo chuẩn ∞ ) Với 𝑝1 = 0, 𝑝𝑖 = 𝑖−1 𝑗 =1 |𝑏𝑖𝑗 |, 𝑞𝑖 = 𝑞𝑖 𝜇 = max𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 1−𝑝 𝑖 + Sai số tiên nghiệm: 𝑋 (𝑘+1) − 𝑋 ∗ + Sai số hậu nghiệm: 𝑋 (𝑘+1) −𝑋 ∞ ∗ ∞ ≤ ≤ 𝜇 𝑘+1 1−𝜇 𝜇 1−𝜇 𝑛 𝑗 =𝑖 |𝑏𝑖𝑗 |, 𝑋 (1) − 𝑋 (0) 𝑋 (𝑘+1) −𝑋 ∞ (𝑘) ∞ - Ưu điểm, nhược điểm: + Ưu điểm: tốc độ hội tụ nhanh phương pháp Jacobi 27 Nguyễn Xuân Thảo- GV Khoa CNTT- Học viện nông nghiệp Việt Nam + Nhược điểm: Đánh giá sai số phức tạp phương pháp Jacobi Ví dụ Ví dụ Dùng phương pháp lặp Seidel tìm nghiệm gần hệ phương trình sau bước lặp đánh giá sai số (tính toán chữ số phần thập phân) 4𝑥1 + 0.24𝑥2 − 0.08𝑥3 = 0.09𝑥1 + 3𝑥2 − 0.15𝑥3 = (I) 0.04𝑥1 + 0.08𝑥2 + 4𝑥3 = 20 0.24 −0.08 Ta có ma trận hệ số 𝐴 = 0.09 −0.15 ma trận chéo trội Ta 0.04 0.08 thực phương pháp lặp đơn 𝑥1 = −0.06𝑥2 + 0.02𝑥3 + + 0.05𝑥3 + (II) Hệ (*) tương đương với hệ 𝑥2 = −0.03𝑥1 𝑥3 = −0.01𝑥1 + 0.02𝑥2 +5 −0.06 0.02 Ta có ma trận 𝐵 = −0.03 0.05 có 𝐵 ∞ = 0.08 < 𝛽 = Ta −0.01 0.02 0 0 −0.06 0.02 tách 𝐵 = 𝐵 + 𝐵 𝐵 = −0.03 0 𝐵 = 0 0.05 −0.01 0.02 0 0 (𝑘+1) (𝑘+1) (𝑘) Từ ta có công thức lặp 𝑋 =𝐵𝑋 + 𝐵𝑋 + 𝛽, ∀𝑘 ≥ với 𝑋 (0) = 𝛽 = , tức giải hệ (𝑘+1) (𝑘+1) 𝑥1 𝑥1 (𝑘) 0 𝑥1 −0.06 0.02 (𝑘+1) = (𝑘+1) + (𝑘) + 𝑥2 −0.03 0 𝑥2 0 0.05 × 𝑥2 (𝑘+1) (𝑘+1) (𝑘) −0.01 0.02 𝑥3 0 𝑥3 𝑥3 𝑥1 (0) (0) với 𝑥2 = , ∀𝑘 ≥ (0) 𝑥3 Kết tính toán ghi bảng sau k (𝑘) 1.92 1.9093 1.9092 1.9092 𝑥1 (𝑘) 3.1924 3.19495 3.19496 3.19496 𝑥2 5.0446 5.0448 5.0448 5.0448 𝑥3 (𝑘) 𝜇 Vì 𝑋 (4) ≡ 𝑋 (3) nên sai số 𝑋 (4) − 𝑋 ∗ ∞ ≤ 𝑋 (4) − 𝑋 (3) ∞ = 1−𝜇 28 Bài giảng Phương Pháp Tính 2015 Thực máy Casio fx 570: Làm tương tự cách ví dụ 1, trình nhập hàm số ta nhập đầy đủ phương trình Bước Bấm máy Màn hình Giải thích Nhập X Y A Nhập hàm X=−0.06𝑌 + 0.02𝐴 + hàm 2: 𝑌 = −0.03𝑋 + hệ phương trình 0.05𝐴 + 3: 𝐴 = −0.01𝑋 + 0.02 𝑌 +5 c.bị Hỏi biến Bắt dầu tính với = = biến ban đầu 𝑋 (0) n=0 Y=3, A=5, X=2 Nhậpgiá trị biến bước lặp n =1 (pt tìm X) 1.92 X=1.92 = (pt tìm Y) 3.19 Y=3.19 = (pt tìm A) 5.04 A=5.04 = n= Chỉ cần bấm phím 2,3,… = máy hỏi giá trị biên, ta lấy giá trị xuất hình nnnn C nnnn 29 [...]... nghiệm theo công thức này rất khó khăn Do đó cần nghiên cứu các phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính * Hai loại phương pháp giải: nhóm phương pháp giải trực tiếp và nhóm phương pháp lặp - Nhóm phương pháp trực tiếp: Cramer, Gauss, Gauss-Jordan,… Các phương pháp này sử dụng với hệ có kích thước nhỏ và hệ số đúng - Nhóm phương pháp lặp: Giả sử 𝑋 ∗ là nghiệm đúng của hệ 𝐴 𝑋 = 𝑏 Nhưng ta khó... 5  Sai số của phương pháp Gaus: Chỉ có thể có sai sôố qui troò, sai số tính toán, không có sai số phương pháp (𝑘)  Ưu điểm, nhược điểm của phương pháp Gauss: Khi có một hệ số 𝑎𝑖𝑗 = 0 ở bước k, thì phương pháp Gauss phải đổi cột hoặc đổi phương trình Điều này đẫn đến sai số hoặc không chính xác của phương pháp thậm chí không thực hiện được Ví dụ 1 Giả hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss 21 Nguyễn... trong tính toán Ví dụ 2 Giải gần đúng 𝑥 3 − 𝑥 − 1 = 0 trên (1, 2) bằng phương pháp lặp đơn với độ chính xác 10−4 Hướng dẫn: Làm tương tự như ví dụ 1, đến khi gặp sai số cần thiết thì dừng lại Ví dụ 3 Tìm nghiệm gần đúng của f x = x 3 + x − 1000 = 0 trên (9,10) bằng phương pháp lặp đơn sau 5 bước lặp 3 Ddđ 4 Nnnnn §4 Phương pháp dây cung 1 Nội dung phương pháp a Ý tưởng phương pháp Trong phương pháp. .. gần đúng cần tìm là 𝑥5 ≈ 1.32472 Nhận xét, tốc độ hội tụ của phương pháp tiếp tuyến nhanh hơn Chỉ cần sau 5 vòng lặp ta đã đạt được độ chính xác 2.3× 10−6 (sau 8 vòng lặp phương pháp dây cung mới đạt được độ chính xác 9.34× 10−4 ) 18 Bài giảng Phương Pháp Tính 2015 Chương 3 Giải hệ phương trình đại số §1 Đặt vấn đề 1 Bài toán Bài toán: Giải hệ phương trình đại số 𝐴 𝑋 = 𝑏 trong đó 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 là mà trận... các kết quả tính toán đúng không Tương ứng trên mỗi hàng, nếu không có sai số thì giá trị tổng sẽ bằng tổng của các hệ số thành phần 2 Phương pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo 𝐵𝑖ế𝑛 đổ𝑖 𝑠ơ 𝑐ấ𝑝 Sơ đồ 𝐴 ⋮ 𝐼 [I⋮𝐴−1 ] Với 𝐼 là ma trận đơn vị cùng cấp với A Việc thực hiện trên bảng cũng giống như việc giải hệ phương trình 3 Dđ 22 Bài giảng Phương Pháp Tính 2015 §3 Một số phương pháp lặp A Phương pháp lặp Jacobi... −8 Nghiệm thay đổi rất nhiều, có thể không còn ý nghĩa đối với các bài toán 20 Bài giảng Phương Pháp Tính thực tế Lý do ma trận hệ số 𝐴 = 𝐴 2 𝐴−1 2 = 501.005 2015 2 1 có điều kiện rất xấu 𝑐𝑜𝑛𝑑 𝐴 = 2 1.01 Chú ý: Nếu 𝑐𝑜𝑛𝑑 𝐴 ≫ 1 hệ không ổn định, còn 𝑐𝑜𝑛𝑑 𝐴 ≈ 1 hệ ổn định 4 § Phương pháp Gauss 1 Nội dung phương pháp  Bài toán: Giải hệ phương trình đại số 𝐴 𝑋 = 𝑏 trong đó 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 là mà trận hệ số,... khi nhập hàm ta tính toán theo cách n Tính X 0 Bấm máy Tính Y 1 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 𝑅𝐶𝐿 𝑋 Dịch chuyển mũi tên lên hàm tính theo X, bấm = 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 𝑅𝐶𝐿 𝑋 Màn hình tính Y 1→𝑋 7 6 𝑆𝑕𝑖𝑓𝑡 𝑅𝐶𝐿 𝑌 Dịch chuyển mũi tên lên hàm tính theo Y, bấm = 16 X 7 →𝑋 6 Giải thích X Y gán X=1 Gán kết quả X=1.16667 Kết quả s.số 𝑥1 X=1.16667 7 →𝑌 6 0.28935 x Gán kết quả Y=1.16667 Y=0.28935 Sai số ứng với 𝑥1 Bài giảng Phương Pháp Tính 1 Dịch chuyển... Hhhhhhhhhhhhhhhhhh §5 Phương pháp tiếp tuyến 1 Nội dung phương pháp e Ý tưởng phương pháp Trong phương pháp này ta luôn giả thiết các điều kiện sau thỏa mãn: + [a, b] là khoảng phân li nghiệm của 𝑓 𝑥 = 0 + 𝑓(𝑥) khả vi hai lần trên trên [𝑎, 𝑏] và 𝑓 ′ (𝑥), 𝑓 ′′ (𝑥) không đổi dấu trên [𝑎, 𝑏] Định nghĩa: Điểm 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] được gọi là điểm Fourier nếu 𝑓 ′′ 𝑥 𝑓 𝑥 > 0 f Nội dung phương pháp Tìm dãy xấp xỉ nghiệm... nhất 8 phép lặp §3 Phương pháp lặp 1 Nội dung phương pháp  Mô tả phương pháp: Giả sử phương trình 𝑓 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝜑 𝑥 (1) Khoảng (𝑎, 𝑏) phân li nghiệm Giả sử 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) bất kì Đặt 𝑥𝑛 +1 = 𝜑 𝑥𝑛 , ∀𝑛 ≥ 0  Sự hội tụ của phương pháp Ta có định lí sau: Định lí 1 Giả sử 𝜑 𝑥 là hàm số liên tục, khả vi trên (𝑎, 𝑏) sao cho a) ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 : 𝜑 ′ (𝑥) ≤ 𝑞 < 1 b) ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 : 𝜑 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 Khi đó i) Phương trình 𝑥 = 𝜑... 𝑥0 = 𝑎  Sai số phương pháp (2 cách đánh giá) 𝑓(𝑥 𝑛 ) + Giả sử 𝑓 ′ (𝑥) ≥ 𝑚 > 0, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ta có 𝑥𝑛 − 𝑥 ∗ ≤ 𝑚 + Giả sử 𝑓 ′ (𝑥) không đổi dấu trên [𝑎, 𝑏] và 0 < 𝑚 ≤ 𝑓 ′ (𝑥) ≤ 𝑀, 𝑓 ′′ (𝑥) ≤ 𝑀 𝑀1 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] Ta có 𝑥𝑛 − 𝑥 ∗ ≤ 1 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 2 2𝑚  Ưu điểm, nhược điểm của phương pháp + Ưu điểm:t.ốc dộ hội tụ nhanh hơn phương pháp dây cung + Nhược điểm: Khó lập trình tính toán hơn phương pháp dây cung 17 ... bảng giống việc giải hệ phương trình Dđ 22 Bài giảng Phương Pháp Tính 2015 §3 Một số phương pháp lặp A Phương pháp lặp Jacobi Nội dung phương pháp  Bài toán: Tìm nghiệm gần phương trình