Bài giảng đại số tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN HUỲNH HỮU DINH BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TPHCM - Ngày 17 tháng 12 năm 2012 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Mục lục Ma trận định thức 1.1 Ma trận 1.1.1 Các khái niệm ma trận 1.1.2 Các phép toán ma trận 1.1.3 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận 1.2 Định thức 1.2.1 Hoán vị nghịch 1.2.2 Định nghĩa định thức ma trận vuông 1.2.3 Phần bù đại số, ma trận phụ hợp công thức khai triển định thức 1.2.4 Một số tính chất định thức 1.3 Ma trận nghịch đảo 1.3.1 Tính chất 1.3.2 Phương trình ma trận AX D B XA D B 1.4 Hạng ma trận 1.4.1 Khái niệm hạng ma trận 1.4.2 Tính chất 5 16 17 17 19 Hệ phương trình tuyến tính 2.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 2.1.1 Khái niệm tổng quát 2.2 Phương pháp khử Gauss 2.3 Phương pháp Cramer 2.4 Phương pháp phân rã LU 2.4.1 Phương pháp Crout 2.4.2 Phương pháp Doolittle 2.5 Điều kiện có nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng quát 2.6 Hệ phương trình tuyến tính 2.7 Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng quát 65 65 65 67 71 76 77 80 22 27 35 40 41 44 44 45 84 86 91 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Không gian vector 3.1 Khái niệm không gian vector 3.2 Tổ hợp tuyến tính biểu thị tuyến tính 3.3 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 3.4 Cơ sở số chiều không gian vector 3.5 Tọa độ vector Ma trận chuyển sở 3.6 Không gian vector 3.6.1 Không gian sinh tập hợp 3.6.2 Không gian nghiệm 3.7 Không gian vector Euclide 3.7.1 Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt 103 103 106 108 115 122 129 130 133 135 Ánh xạ tuyến tính 4.1 Định nghĩa tính chất 4.2 Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu 4.2.1 Đơn cấu 4.2.2 Toàn cấu 4.2.3 Đẳng cấu 4.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính 4.4 Giá trị riêng, vector riêng ma trận vuông toán tử tuyến tính Vấn đề chéo hóa ma trận vuông 4.4.1 Hai ma trận đồng dạng 4.4.2 Đa thức đặc trưng ma trận vuông toán tử tuyến tính 4.4.3 Giá trị riêng, vector riêng ma trận vuông toán tử tuyến tính 4.4.4 Không gian riêng 4.4.5 Chéo hóa ma trận vuông toán tử tuyến tính 153 153 160 160 162 164 165 Dạng song tuyến tính dạng toàn phương 5.1 Khái niệm dạng song tuyến tính dạng toàn phương 5.1.1 Dạng song tuyến tính 5.1.2 Dạng toàn phương 5.1.3 Đổi sở cho dạng song tuyến tính dạng toàn phương 5.2 Dạng tắc dạng toàn phương Đưa dạng toàn phương dạng tắc 5.2.1 Dạng tắc dạng toàn phương 5.2.2 Đưa dạng toàn phương dạng tắc 5.3 Bài tập chương 207 207 207 212 138 173 173 174 178 180 187 217 219 219 220 234 Chương Ma trận định thức 1.1 Ma trận 1.1.1 Các khái niệm ma trận Các ví dụ ma trận p A gọi ma trận cấp 1 Bảng số A D @ 2 B Bảng số B D @ 2 p C A gọi ma trận cấp 3 1 Bảng số C D @ A gọi ma trận cột cấp 3 Bảng số D D gọi ma trận dòng cấp Các khái niệm ma trận Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Một bảng hình chữ nhật gồm m n số thực thành m dòng n cột gọi ma trận cấp m n Ký hiệu: A D aij m n B B DB @ a11 a21 :: : am1 a12 : : : a1n a22 : : : a2n :: :: :: : : : am2 : : : amn C C C A i gọi số dòng j gọi số cột aij phần tử nằm dòng i cột j ma trận A Tập hợp tất ma trận cấp m n ký hiệu Mm n R/ Ma trận có số dòng số cột (m D n) gọi ma trận vuông cấp n, ký hiệu A D aij n a11 ; a22 ; :::; ann gọi phần tử nằm đường chéo a1n ; a2.n 1/ ; :::; an1 gọi phần tử nằm đường chéo phụ Tập hợp tất ma trận vuông cấp n ký hiệu Mn R/ Ví dụ 1.1 Các ma trận A D ! 2 @ IB D A ma trận vuông Ma trận vuông A D aij n gọi ma trận chéo aij D 0I 8i ¤ j , ký hiệu A D dig a11 ; a22 ; :::; ann / Ví dụ 1.2 Các ma trận A D @ 0 trận chéo 0 AIB D 0 e ! ma Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Ma trận chéo cấp n có tất phần tử đường chéo gọi ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In Từ định nghĩa ta nhận  à I2 D 1 0 I3 D @ A 0 :: : ::: B ::: B In D B :: :: : : @ : : : 0 ::: Ma trận vuông A D aij aij D 0I 8i > j n 0 :: : 1 C C C A gọi ma trận tam giác Dựa vào định nghĩa, ta suy dạng ma trận A sau a11 a12 : : : a1n B a22 : : : a2n C B C A D B :: :: : : :: C @ : : : A : 0 : : : ann Ma trận vuông A D aij aij D 0I 8i < j n gọi ma trận tam giác Rõ ràng A ma trận tam giác A có dạng a11 : : : B a21 a22 : : : C B C A D B :: :: :: C : : @ : : : : A an1 an2 : : : ann Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Ma trận cấp m n có tất phần tử không, ký hiệu Om n (đôi O), gọi ma trận không Từ định nghĩa ta suy ma trận Om n có dạng 0 ::: B 0 ::: C B C Om n D B :: :: : : :: C @ : : : : A 0 ::: Ma trận bậc thang Trước vào khái niệm ma trận bậc thang cần tìm hiểu số khái niệm liên quan Dòng không: Một dòng ma trận có tất phần tử không gọi dòng không Phần tử sở dòng: Phần tử khác không dòng tính từ trái sang gọi phần tử sở dòng Ma trận bậc thang: Ma trận bậc thang ma trận khác không thỏa hai điều kiện sau: Dòng không (nếu có) nằm dòng khác không Phần tử sở dòng nằm bên phải phần tử sở dòng Ví dụ 1.3 Các ma trận bậc thang: 1 B C C B @ ADB CIB D 0 A @ 0 0 0 0 Các ma trận không ma trận bậc thang: 0 1 B B C D @ 0 AID D B @ 0 0 1 A 9 8 C C C A Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Ma trận bậc thang có phần tử sở dòng một, phần tử lại không gọi ma trận bậc thang rút gọn Ví dụ 1.4 Các ma trận bậc thang rút gọn: 1 0 0 A D @ 0 AIB D @ A 0 0 1.1.2 Các phép toán ma trận Hai ma trận Định nghĩa 1.1 Hai ma trận gọi chúng cỡ có tất phần tử tương ứng vị trí Cho hai ma trận A D aij m n ; B D bij m n Khi đó, A D B , aij D bij I i D 1; m; j D 1; n Ví dụ 1.5 Tìm x; y; z; t để hai ma trận A D ! Giải Theo định nghĩa, hai ma trận A; B ˆ x C y D ˆ ˆ < x C z D ˆ t C y D ˆ ˆ : t C 2z D xCy xCz t C y t C 2z IB D Từ đẳng thức ta giải x D 2; y D ! 1; z D 0; t D Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Nhân số với ma trận Định nghĩa 1.2 Nhân số với ma trận nhân số với tất phần tử ma trận Cho A D aij với k R ta có kA D kaij m n Đặc biệt 1/ A D ký hiệu A aij m n gọi ma trận đối ma trận A, Ví dụ 1.6 Cho ma trận A D m n ! 15 , 3A D ! Cộng hai ma trận Định nghĩa 1.3 Cộng hai ma trận cấp cộng phần tử tương ứng vị trí Nếu A D aij m n B D bij m n A C B D aij C bij m n Ví dụ 1.7 Thực phép tính ma trận Cho A D Cho A D @ ! B D ! Tính A C B A B D @ 1 8 A Tính 5A 2B Giải Ta có A C B D ! C ! D 10 1C6 4C3 5C1 2C7 ! D 7 ! Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Định lý 5.5 Cho q dạng toàn phương không gian vector n chiều V, B sở V Khi đó, tồn sở P V cho T Œ'B CB!P ma trận chéo, hay biểu thức q CB!P sở P có dạng tắc Hệ 5.4 Cho q dạng toàn phương không gian vector Rn Khi đó, tồn sở P Rn cho CETn !P Œ' CEn !P ma trận chéo, hay biểu thức q sở P có dạng tắc 5.2.2 Đưa dạng toàn phương dạng tắc Theo định lý 5.5, q dạng toàn phương ta tìm sở q tắc Việc tìm sở q tắc V gọi phép đưa dạng toàn phương q dạng tắc Sau ta tìm hiểu số phương pháp đưa dạng toàn phương dạng tắc Phương pháp Lagrange Cho V không gian vector n chiều, q dạng toàn phương V Giả sử biểu thức tọa độ q sở B D X1 ; X2 ; : : : ; Xn / có dạng X q X/ D a11 x12 C a22 x22 C : : : C ann xn2 C aij xi xj B B với ŒXB D B @ x1 x2 :: : xn 1Äi[...]... có nghiệm 2ÄxÄ2 2 Ä x Ä 2 1.2.3 Phần bù đại số, ma trận phụ hợp và công thức khai triển định thức Phần bù đại số Định nghĩa 1.6 Cho ma trận vuông A D aij n Định thức của ma trận thu được từ A bằng cách xóa bỏ dòng i và cột j nhân với 1/i Cj được gọi là phần bù đại số của phần tử aij , ký hiệu Aij 22 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 0 1 1 2 A Tính A11 ; A22 ; A23 ; A33 0 1 0 @ Ví dụ... giữ nguyên dấu của tích dạng / Ngược lại, nếu hoán vị 1/ ; 2/ ; :::; n// là hoán vị lẻ thì chúng ta đổi dấu tích số dạng / Như vậy, số tích số giữ nguyên dấu và số tích 1 số đổi dấu là bằng nhau và bằng nŠ Khi đó, chúng ta có nŠ 2 tích số dạng ˙a1 1/ a2 2/ :::an n/ / 2 Tổng của nŠ tích số dạng / được gọi là định thức (cấp n) của ma trận vuông A D aij n Ký hiệu: det A hoặc ˇ ˇ ˇ a11 a12 : : : a1n... xét 1.2 Tích hai ma trận tồn tại khi số cột của ma trận đứng trước bằng với số dòng của ma trận đứng sau Ma trận tích có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước và có số cột bằng số cột của ma trận đứng sau Phép nhân hai ma trận, nói chung, không có tính giao hoán Ví dụ 1.10 Tính AB và BA với 0 1 1 1 3 @ A 1 2 IB D 1 0 1 1 0 1 @ 1 A D 1 1 1 1 2 A D 0 B B 3 A D B @ 0 0 0 0 9 0 9 1 1 0 0 0 0 1 0... nghịch thế 1 Cho tập chỉ số f1; 2; :::; ng Mỗi cách sắp xếp n số đã cho theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị của n số đó 17 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Mỗi hoán vị của tập f1; 2; :::; ng được kí hiệu là 1/ ; 2/ ; :::; n// với i / 2 f1; 2; :::; ng và i / ¤ j / với mọi i ¤ j Từ n số đã cho chúng ta có thể lập được nŠ hoán vị Ví dụ 1.17 Từ tập chỉ số f1; 2g chúng ta có... thức tính định thức cấp 2 Giải Giả sử AD a11 a12 a21 a22 ! Ta sẽ xây dựng công thức tính det A Tập chỉ số f1; 2g chỉ có hai hoán vị 1; 2/ và 2; 1/ Để xây dựng công thức tính định thức của ma trận A, chúng ta cần phải xác định hai tích a1 1/ a2 2/ cùng với dấu của chúng Cụ thể, ta có bảng sau: 1/ ; 2// 1; 2/ 2; 1/ Hoán vị chẵn/ lẻ chẵn lẻ 20 ˙a1 1/ a2 2/ a11 a22 a12 a21 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học... 1; 2; 3/ không có nghịch thế 3 Nếu số các nghịch thế trong một hoán vị bằng không hoặc là một số chẵn thì ta nói đó là một hoán vị chẵn Ngược lại, nếu số các nghịch thế trong một hoán vị là một số lẻ thì ta nói đó là một hoán vị lẻ Ví dụ 1.20 Hoán vị 1; 2/ là hoán vị chẵn Hoán vị 2; 1/ là hoán vị lẻ Ví dụ 1.21 Các hoán vị 1; 2; 3/I 3; 1; 2/ là các hoán vị chẵn (vì có số nghịch thế lần lượt bằng 0 và... thức của A2 cho ta tính được phần tử ở dòng 3 cột 2011 của A2 là: 9 1 C 3 C 32 C 33 C ::: C 32010 D 9 1 Ví dụ 1.13 Cho A D 0 9 2011 33011 1 D 3 3 1 2 ! 1 Tính A2 ; A3 và từ đó suy ra An 1 Giải Ta có 1 A2 D 0 1 1 ! 1 A3 D A2 A D 0 1 0 ! 1 D 1 ! 2 1 1 0 0 0 1 0 ! 1 2 0 1 ! 1 1 D 1 0 ! 3 1 ! n 1 1 Từ đây ta suy ra An D 0 Ví dụ 1.14 Cho A D 1 ! Tính I2 14 A/2011 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp... a21 a33 / Nhận xét 1.5 Bằng cách lí luận tương tự như trong ví dụ 1.23 và 1.24 ta sẽ xây dựng cách tính định thức của ma trận vuông với cấp tùy ý ˇ ˇ ˇ 1 4 ˇ ˇ Ví dụ 1.25 Tính định thức ˇˇ 1 2 ˇ 21 Huỳnh Hữu Dinh Giải Ta có Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM ˇ ˇ ˇ 1 4 ˇ ˇ ˇ ˇ 1 2 ˇD2 ˇ ˇ 1 3 2 ˇ Ví dụ 1.26 Tính định thức ˇˇ 1 1 2 ˇ 2 6 4 Giải ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 4/ D 6 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ Ta có ˇ 1 3 2 ˇˇ 1 1 2 ˇˇ D... số f1; 2g chúng ta có 2Š D 2 hoán vị là: 1; 2/ và 2; 1/ Ví dụ 1.18 Từ tập chỉ số f1; 2; 3g chúng ta có 3Š D 6 hoán vị là: 1; 2; 3/ I 1; 3; 2/ I 2; 1; 3/ I 2; 3; 1/ I 3; 1; 2/ I 3; 2; 1/ 2 Trong một hoán vị nếu mỗi lần xảy ra trường hợp số lớn đứng trước số bé i / > j / với i < j thì ta nói có một nghịch thế Ví dụ 1.19 Tìm số nghịch thế của các hoán vị 1; 2; 3/I 1; 3; 2/ I 3; 1; 2/ I 3; 2; 1/ Giải Dựa... C ::: C anj Anj ; j D 1; n Một số kết quả quan trọng rút ra từ định lý trên: Nếu A D aij /n là một ma trận tam giác thì det A D a11 a22 : : : ann Nếu tồn tại i; j sao cho aik D 0; 8k ¤ j thì det A D aij Aij Nhận xét 1.6 Để việc tính định thức cho đơn giản thì ta thường khai triển định thức theo các hàng (cột) có càng nhiều số không càng tốt 24 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 0 1 0 ... Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Không gian vector 3.1 Khái niệm không gian vector 3.2 Tổ hợp tuyến tính biểu thị tuyến tính 3.3 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính. .. trận vuông toán tử tuyến tính 153 153 160 160 162 164 165 Dạng song tuyến tính dạng toàn phương 5.1 Khái niệm dạng song tuyến tính dạng toàn phương 5.1.1 Dạng song tuyến tính ... trận tồn số cột ma trận đứng trước với số dòng ma trận đứng sau Ma trận tích có số dòng số dòng ma trận đứng trước có số cột số cột ma trận đứng sau Phép nhân hai ma trận, nói chung, tính giao